YoLo

Chứng minh rẳng tồn tại vô hạn các số nguyên dương n thoả mãn :  $ n^2 \mid 3^{n} + 1 $

Giả sử tồn tại hữu hạn các số nguyên dương  $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}$ thỏa mãn bài và $p_{k}>p_{k-1}>...>p_{1}>1$

Chỉ ra $2$ giá trị nguyên dương khác $1$ bất kỳ của $n$ thỏa mãn bài => $k\geq 2$

Nếu có số nguyên dương $n$ chẵn thỏa mãn đề bài khi đó $3^{n}+1\equiv 2(mod4)$ , $n^{2}\equiv 0(mod4)$ (vô lý)

=> tất cả các ước số nguyên tố của $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}$ đều là số lẻ

Đặt $a=LCM(p_{k},p_{k-1})$=> $a$ lẻ

=> $a$ lớn hơn tất cả các số $p_{i}$ bên trên 

mặt khác $\frac{a}{p_{k}},\frac{a}{p_{k-1}}$ đều là các số lẻ

=>$3^{a}+1\vdots 3^{p_{k}}+1\vdots p_{k}^{2}$

và $3^{a}+1\vdots 3^{p_{k-1}}+1\vdots p_{k-1}^{2}$

=> $3^{a}+1\vdots LCM(p_{k}^{2},p_{k-1}^{2})$

=> $3^{a}+1\vdots a^{2}$

=> $a$ là một số lớn hơn tất cả số kia tm bài

=> gs sai

=> có vô hạn $n$ thỏa mãn

P/s : Hình như có thể thay số $3$ bằng bất kỳ số nguyên dương lẻ khác $1$

Bài V:

 Không mất tính tổng quát giả sử $2018$ đỉnh đó là đỉnh của $1$ đa giác đều nội tiếp đường tròn

An đi trước vẽ đường kính của đường tròn đó mà đi qua $2$ trong số $2018$ điểm trên

Khi đó đường tròn chia làm $2$ nửa đến lượt Bình. Bình sẽ vẽ 1 dây cung bất kỳ nối bởi 2 điểm . dây đó không thể cắt đường kính mà An vừa vẽ

=> mọi dây Bình vẽ phải nằm về 1 phía của đường tròn

 Khi đó đến lượt An sẽ vẽ dây cung đối xứng với dây cung BÌnh vẽ qua đường kính ban đầu trên nửa đường tròn còn lại

Tiếp theo đến lượt Bình vẽ dây cung tùy ý trên một trong 2 nửa đường tròn chia bởi đường kính, An lại tiếp tục lấy đối xứng

Cứ thực hiện như vậy đến $1$ lúc nào đó Bình sẽ thua, giả sử An thua , tức là sau khi Bình vẽ dây cung $AB$ nào đó An sẽ không thể vẽ được dây nào nữa

nghĩa là dây cung đối xứng với dây Bình vừa vẽ gọi là $A'B'$ sẽ cắt 1 dây cung từ trước đó gọi là dây $CD$ mà $\exists C'D'$ là dây đối xứng với dây $CD$ qua đường kính được vẽ từ trước mà $A'B'$ cắt $CD$ suy ra $AB$ cắt $C'D'$ suy ra dây Bình vẽ đã cắt 1 dây vẽ từ trước => vô lý

Vậy Bình thua

P/s: Bài tổ đề Tin còn hay hơn đề Toán

2. Tìm n sao cho đa thức $(x+1)^n+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$.

Chắc $n$ nguyên dương nhỉ

Có $f(x)=(x+1)^{n}+x^{n}+1=(x^{2}+x+1).Q(x)$

Có $x^{2}+x+1=0$ có 2 nghiệm phức là $x_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;x_{2}=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

suy ra $f(x_{1})=0;f(x_{2})=0$

=> $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

và $(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

từ 2 cái này ta có thể dễ dàng suy ra $n$ chẵn (phản chứng $n$ lẻ thì vô lý)

khi $n$ chẵn viết lại được thành $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+1=0$

mà theo Vi-ét $x_{1}+x_{2}=-1;x_{1}.x_{2}=1$

=> $n=2$

3. Cho $m,n \in \mathbb{Z}$ và $m,n \ge 2$. CMR các đa thức:

$$ f(x)=1+x+x^2+...+x^{m-1}$$

$$ g(x)=1+x+x^2+...+x^{n-1}$$

là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ta viết lại $f(x)=\frac{x^{m}-1}{x-1};g(x)=\frac{x^{n}-1}{x-1}$

Vậy ta chứng minh $(m,n)=1\Leftrightarrow (x^{m}-1,x^{n}-1)=x-1$

Gọi $D(x)$ là ước chung lớn nhất của $x^{m}-1$ và $x^{n}-1$

Có $(m,n)=1$ khi đó $\exists u,v$ là các số nguyên dương sao cho $mu-nv=1$ hay $mv-nu=1$

Xét 1 TH : TH kia hoàn toàn tương tự

có $x^{m}-1\vdots D(x)\Rightarrow x^{mu}-1\vdots D(x)\Rightarrow x^{nv+1}-1\vdots D(x)\Rightarrow x(x^{nv}-1)+x-1\vdots D(x)$ (vì $mu=nv+1$)

mà $x^{n}-1\vdots D(x)\Rightarrow x^{nv}-1\vdots D(x)\Rightarrow x-1\vdots D(x)\Rightarrow D(x)=x-1$

=> đpcm

Chiều ngược lại đơn giản rồi $(m,n)=d\Rightarrow (x^{m}-1;x^{n}-1)=x^{d}-1\Rightarrow d=1$

P/s: Dấu $\vdots$ ở đây mk dùng hơi bừa bãi chỉ là cho nhanh thôi chứ đánh ra "chia hết cho" lâu lắm

 Tìm x,y nguyên để $E=\frac{x^3+x}{xy-1}$ là số nguyên dương

$(x^{3}y+xy)\vdots (xy-1)=>((x^{2}+1)(xy-1)+x^{2}+1)\vdots (xy-1)=>x^{2}+1\vdots (xy-1)=>x(x+y)\vdots (xy-1)$

mà $(x,xy-1)=1$

=>$x+y\vdots (xy-1)$

$E>0=>x(xy-1)>0$

TH1: $x>0;xy>1=> x,y>0$

$x+y=k(xy-1)$

=>$k>0$; Xét 1 số TH gì gì đó để cm $x+y<2(xy-1)$ =>$k=1$

TH2: $x<0;xy-1<0$

TH này có vẻ dài dài, bạn xem lại tìm nghiệm nguyên dương hay nguyên

      Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn có BC>CA. Gọi O,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của tam giác ABC; F là chân đường cao hạ từ C của tam giác ABC. Đường thẳng vuông góc với OF tại F cắt đường thẳng chứa cạnh AC tại P. Chừng minh $\widehat{FHP}=\widehat{BAC}$

tam giác $ABC$

Kéo dài $FC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ là $M$

Kéo dài $PF$ cắt $MB$ tại $K$

Xuất hiện bài toán con bươm bướm

suy ra $F$ là trung điểm $PK$

mà $F$ là trung điểm $MH$

=> $MB//HP$

=> $\angle HMB=\angle MHB=\angle PHF$

=> $\angle BAC=\angle PHF$

P/s:Mà anh có phải: Nguyenphuctang ko

Ông này không phải Nguyenphuctang đâu , bạn nghĩ gì????

P/s: với lại cái fermat lớn ở chữ ký của bạn phát biểu sai rồi , là không có nghiệm nguyên khac 0( bây giờ mới có dịp nhắc)

        Lời giải (Theo sách các câu chuyện toán học tập 2)

     Ta có: Với chú ý trên thì: $z^n - y ^n = (z-y)(z^{n-1}+z^{n-2}y+z^{n- 3}y^2+...+y^{n-1})>1nx^{n-1} > x^n$  (2)

Từ (2) ta có: $x^n+y^n < z^n$                (3)

Từ (3) ta thấy định lý lớn Fermat là đúng bởi vì (3) khác (1)

   Bạn có nhận xét gì về bài giải trên?

Bạn luyên thuyên vừa chứ có $z>x$ thì suy ra $z^{n-1}>x^{n-1}$ kiểu gì ????

P/s: Tôi nghĩ bạn nên bớt spam và đi vào những cái thực tiễn, muốn mở rộng phát triển cái gì thì tìm hiểu kĩ chút trước khi đăng

Cho hình vuông $ABCD$ có $O$ là tâm$.$ Trên tia đối tia $AC$ lấy điểm $M$$,$ gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $BC$$.$ Gọi $E$ là giao điểm của $HO$ với $CD$ và $F$ là trung điểm của $AD$$.$ Chứng minh rằng ba điểm $E,F,M$ thẳng hàng$.$ 

Có hứng làm tí hình

Kéo dài $MF$ cắt $HO$ tại $E'$ , Hạ $OP\perp CD$

Có $\frac{E'O}{E'H}=\frac{FO}{MH}$

Có $\frac{PO}{HC}=\frac{EO}{HE}=\frac{FD}{HC}$

=> $\frac{E'O}{HE'}=\frac{EO}{HE}=>\frac{EO}{HO}=\frac{E'O}{HO}$

=> $OE=OE'=> E\equiv E'$

=> ....

 

Dãy 2, 3, 5, 6, 7, 10, ... Chứa các số hạng không là số chính phương cũng không là lập phương, viết theo thứ tự tăng dần. Hỏi số thứ 2005 của dãy là bao nhiêu?

 

Bài này sử dụng nguyên lý bù trừ

Gọi $\left \lfloor x \right \rfloor$ là phần nguyên của $x$

Gọi số thứ $2005$ của dãy số là $a$

số lượng các số chính phương nhỏ hơn $a$ là $\left \lfloor \sqrt{a} \right \rfloor+1$

số lượng các số là lập phương của số tự nhiên nhỏ hơn $a$ là $\left \lfloor \sqrt[3]{a} \right \rfloor+1$

số lượng các số vừa chính phương vừa lập phương ( tức là lũy thừa bậc $6$ của số tự nhiên ) là$\left \lfloor \sqrt[6]{a} \right \rfloor+1$

Có  $a-(\left \lfloor \sqrt{a} \right \rfloor+1+\left \lfloor \sqrt[3]{a}+1 \right \rfloor)+\left \lfloor \sqrt[6]{a} \right \rfloor+1=2015$

Giải tìm $a$

P/s : Nếu biết được trước giá trj của $a$ , thay luôn giá trị $a$ vào cái phương trình tổ bố kia rồi phán luôn đúng là xong

Còn chưa biết thì dò bằng máy tính xong phán, chứ giải ...mệt

Bài 3:(ITOT 2016???)

Có $N$ bạn học sinh đứng xếp thành $1$ hàng thẳng. Chiều cao của các bạn ấy đôi một phân biệt. Thầy giáo muốn thực hiện việc chuyển chỗ theo quy tắc sau. Mỗi lần chuyển chỗ , trước hết các bạn học sinh được chia thành các nhóm với chiều cao tăng dần từ trái qua phải (mỗi nhóm có thể gồm $1$ bạn) sao cho số các nhóm là ít nhất. Sạu đó thầy giáo xếp lại sao cho thứ tự các bạn trong nhóm bị đảo ngược nghĩa là trong mỗi nhóm các học sinh sẽ đứng theo chiều cao giảm dần từ trái qua phải.(Sau mỗi bước chuyển chỗ thì việc chia nhóm được lặp lại theo quy tắc trên) Chứng minh thầy giáo sau $N-1$  bước đổi chỗ như vậy, các bạn học sinh sẽ đứng theo chiều cao giảm dần từ trái qua phải.

Bài 1: Ta xếp 2017 số$a_{1};a_{2};a_{3};...;a_{2017}$ lên vòng tròn theo chiều kim đồng hồ ( cho dễ nhìn)

Như vậy theo đề bài thì $\exists 1$ số trên đường tròn sao tổng k số về 2 phía của số đó >0

Vì giả thiết đúng với mọi k nên cho $k=2$

=> $\exists a_{i}$ mà $a_{i}+a_{i-1}>0;a_{i}+a_{i+1}>0$

=>$a_{i}=a_{i-1}=a_{i+1}=1$

Tức là nếu với 1 số lượng số bằng $-1$ mà $\exists$ 1 dãy không có 3 số 1 đứng liền nhau sẽ vô lý

Dễ thấy nếu có $673$ số bằng $-1$

Có dãy $-1;1;1;-1;1;1;...;-1;1;1;-1$ không thỏa mãn bài

Nếu có $672$ số $-1$ khi đó tồn tại $3$ số $1$ đứng cạnh nhau

chọn $a_{i}=1$ khi đó $\exists a_{i}$ thỏa mãn bài

P/s: Theo mk hiểu đề bài  thì là dãy số trên đúng với mọi cách chọn với số lượng các số -1 hay tìm sao cho $\exists$ 1 dãy với số lượng các số  -1 tm bài ???

Cho $3$ hình tròn đường kính $1$ và $1$ hình vuông cạnh $1$ cùng nằm trên một mặt phẳng. CMR: dù có đặt $3$ hình tròn ở vị trí nào thì cũng tồn tại một điểm thuộc hình vuông mà không thuộc bất kỳ hình tròn nào trong $3$ hình trên.

Giả sử ngược lại nghĩa là tồn tại cách đặt $3$ đường tròn trên mà tất cả các điểm thuộc hình vuông đều thuộc những hình tròn đó

Xét $4$ đỉnh của hình vuông giả sử là $A,B,C,D$

Theo Đi dép lê có $2$ đỉnh $\in$ cùng $1$ trong $3$ đường tròn gọi đó là đường tròn (1)

mà khoảng cách giữa chúng là $1$ => $\exists 1$ đường tròn mà đường kính của nó chính là cạnh hình vuông giả sử đó là cạnh $AB$

Xét điểm $E\in AD;F\in BC;G\in CD$ sao cho $DE=0.9;FC=0.95;G$ là trung điểm của$CD$

với lưu ý tất cả các điểm này sẽ ko thuộc đường tròn (1)

Theo Đi dép lê với $2$ đường tròn còn lại sẽ có $2$ điểm $\in$ cùng $1$ đường tròn

Mà khoảng cách giữa chúng đều$> 1$ => Ko thể có $2$ điểm nào cùng $\in$ cùng 1 đường tròn đường kính $1$

1) Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện $a+2b+5c=0$. Chứng minh phương trình $a²+bx+c=0$ có nghiệm.
 

Bạn xem lại đây là đề chung hay chuyên vậy chứ mk nghĩ đề chuyên phải có tổ hợp chứ

Bài 13: Cho các đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn $P(x)=Q(x)+(x^2-x+1).Q(1-x)$ với mọi $ x \in \mathbb{R}$. Biết rằng các hệ số của $P(x)$ là các số nguyên không âm và $P(0)=$. Tính giá trị $Q(2017)$.

 

Bài 14:  Cho đa thức $P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (với $a,b,c,d$ là các số thực) thỏa mãn $P(1)=3,P(2)=6,P(3)=11$. Tính $S=10P(4)+P(-2)$.

 

Bài 15: Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) thảo mãn P(x)=Q(x) + Q(1-x) với mọi số thực x. Biết rằng các hệ số của đa thức p(x) là các số tự nhiên và P(0)=0. Tính P(P(2017)).

Bài 13: $P(0)=.$ là sao bạn

Bài 14 : $Q(x)=P(x)-x^{2}-2$

$P(x)$ là đa thức monic và bậc là 4 =>$Q(x)$ là đa thức monic và bậc là 4

$Q(1)=Q(2)=Q(3)=0$

=>$Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x+a)(a\in \mathbb{R})$

=>$P(x)=...$

Thay vào tính nó tự triệt tiêu $a$ đi

Bài 15:$P(x)=Q(x)+Q(1-x)$

Thay $x$ bởi $1-x$=> $P(1-x)=Q(1-x)+Q(x)$

$P(0)=0=>P(1)=0$

=> tổng tất cả hệ số bằng 0

mà các hệ số là số tự nhiên => tất cả hệ số của $P(x)$ đều bằng nhau và bằng $0$

=>$P(x)=0\forall x$

Mình xin đóng góp cho Topic một số bài:

Bài 16: Giả sử $f(n+1)=(-1)^{n+1}.n-2f(n)$ ; n=1,2,3,....Và f(1) =f(2016) . Tính $$ f(1)+f(2)+....+f(2015)$$

Bài 17: Cho P(x) =0là 1 phương trình trong đó P(x) là 1 đa thức với hệ số nguyên và có ít nhất 1 nghiệm nguyên. Giả sử $P(2)=13;P(10)=5$ Tính nghiệm của PT

Bài 18: Cho đa thức bậc 2000 thỏa mãn $f(n)=\frac{1}{n}$ ; n=1,2,...,2001. Tính $f(2002)$

 

Bài 16: Thay $n$ với các giá trị từ$1$ đến $2015$ rồi cộng hết lại

Bài 17: Nghiệm đó là ước của hệ số tự do

Bài 18: đặt  $Q(x)=x.f(x)-1$

$Q(x)=0$ có 2001 nghiệm là $1,2,3,...,2001$ và có bậc là 2001

=>$Q(x)=(x-1)(x-2)...(x-2001)$

=> $Q(2002)=...$

=>....

Bài 8: Một tập số nguyên không âm ${x,y,z}$ với $z>y>x$ thỏa mãn ${z-y;y-x}={1699;1969}$ được gọi là tập đặc biệt . Chứng minh tập các số nguyên không âm có thể phân hoạch thành các tập đặc biệt

P/s: Số trên chỉ mang tính tượng trưng