buingoctu

1, Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:

A=$\sqrt{(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})}}$

2, Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = $\sqrt[4]{abcd}$ Chứng minh rằng:

B=$\frac{a+d^{2}}{b}+\frac{c+a^{2}}{d}+\frac{b+c^{2}}{a}+\frac{d+b^{2}}{c}\geq 4(1+E)$

3, Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:

C=$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+xz$

4, Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng

$5(x+y+z)+18\geq 8(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})$

5, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3(a + b + c) ≥ ab + bc + ca + 2.Chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}+bc}{2}+\frac{b^{3}+ca}{3}+\frac{c^{3}+ab}{5}\geq \frac{\sqrt{abc(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}}{3}$

6, Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

$abc+bcd+dac+dab\leq \frac{1+176abcd}{27}$.

7,Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b+c }}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c+a}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a+b}}\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

8, Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức

$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

9, Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng

$\sqrt{x+\sqrt[3]{y+\sqrt[4]{z}}}\geq \sqrt[32]{xyz}$

10, Cho a,b thực dương sao cho a+b=ab. Chứng minh 

P=$\frac{1}{a^{2}+2a}+\frac{1}{b^{2}+2b}+\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})}\geq \frac{21}{4}$

11,Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

$\sqrt{b+c}(\sqrt{a+c}+\sqrt{a+b})\geq \frac{b+c}{2}+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}$
12, Cho a, b, c $\geq$ 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

$\frac{1+ab^{2}}{c^{3}}+\frac{1+bc^{2}}{a^{3}}+\frac{1+ca^{2}}{b^{3}}\geq \frac{18}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

13, Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6. Chứng minh

rằng

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abcd\geq 6$

14, Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng

$9(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)\leq 8(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}$

15, Cho a, b, c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng

$ba^{2}+cb^{2}+ac^{2}\leq \frac{4}{27}$

16, Cho a,b,c thực dương 

a, $\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+2ca}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}}\geq 3$

b,$3(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc})\leq (8+\frac{2\sqrt{ab}}{a+b})(a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3})$

< ấn nát cả tay, đau hết cả mắt, mong anh em like và tích cựa trả lời cho mình, yêu anh em diễn đàn nhiều>

Cho a, b, c là các số dương tùy ý. CMR 

$\frac{2\sqrt{3a}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{6b}{\sqrt{(a+b)(b+c)}} + \frac{6c}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}< 5\sqrt{3}$

 

Ta có: $\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \leq a\sqrt{3}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})$

$\frac{6b}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}=\frac{2\sqrt{3}b}{\sqrt{(a+b)(\frac{b+c}{3})}} \leq b\sqrt{3}(\frac{1}{a+b}+\frac{3}{b+c})$

$\frac{6c}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}=\frac{2\sqrt{3}c}{\sqrt{(a+c)(\frac{b+c}{3})}} \leq c\sqrt{3}(\frac{1}{a+c}+\frac{3}{b+c})$

Cộng theo vế 3 BĐT trên:

$$\frac{2\sqrt{3a}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} + \frac{6b}{\sqrt{(a+b)(b+c)}} + \frac{6c}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \leq \frac{a\sqrt{3}+b\sqrt{3}}{a+b}+\frac{a\sqrt{3}+c\sqrt{3}}{a+c}+\frac{3b\sqrt{3}+3c\sqrt{3}}{b+c}=5\sqrt{3}$$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a+b=a+c=\frac{b+c}{3}$, không thể xảy ra nên $VT<VP$.

là $2a\sqrt{3}$ đúng không, bạn nhấn đề sai à

e,Cho $0< a,b,c< 1$

CM: $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}< 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

< chúc mừng năm mới nha mọi người>

 câu e, với 0< a <1

=>$1> a> a^{2}> a^{3}> 0$$

Tương tự: $1> b> b^{2}> b^{3}$

$1> c> c^{2}> c^{3}$

Dễ thấy $(a^{2}-1)(b-1)> 0$

<=>$a^{2}b-a^{2}-b+1> 0$

<=>$a^{2}b+1> a^{2}+b$

Tương tự... ròi cộng vào

=>$3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a> a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c>2(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

4,

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \forall x,y> 0$

Ta có:$A=\frac{ab}{c+12}+\frac{bc}{a+12}+\frac{ca}{b+12}= \frac{ab}{(a+c)+(b+c)}+\frac{bc}{(a+b)+(a+c)}+\frac{ca}{(a+b)+(b+c)}$

$A\leq \frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})+\frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})+\frac{ac}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c})$

$A\leq \frac{1}{4}(a+b+c)=3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

dấu "=' xảy ra <=> a=b=c=4

Mỗi thế thui còn lại cách làm là đúng rùi

C2 câu 4: Anh chị em xem thử có đúng ko.

Có $\frac{ab}{c+12}\leq \frac{(a+b)^{2}}{4(c+12)}\doteq \frac{(a+b)^{2}}{96-4(a+b)}$$= \frac{x^{2}}{96-x}$

(với x=a+b)

Tương tự: $\frac{bc}{a+12}\leq \frac{y^{2}}{96-4y}$

(với y=b+c)

$\frac{ca}{b+12}\leq \frac{z^{2}}{96-4z}$

(với z=c+a)

Có x+y+z=24

Lại có :$\frac{x^{2}}{4x-96}+\frac{y^{2}}{4y-96}+\frac{z^{2}}{4z-96}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{4(x+y+z)-288}\geq -3$

Suy ra:$\frac{x^{2}}{96-4x}+\frac{y^{2}}{96-4y}+\frac{z^{2}}{96-4z}\leq 3$

Vậy điều cần CM là đúng

Dấu đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=4

 

1, Cho $(\sqrt{a}+2)(\sqrt{b}+2)\geq 9$

Tìm GTNN của P= $\frac{a^{3}}{a^{2}+2b^{2}}$$+\frac{b^{3}}{b^{2}+2a^{2}}$

2, Cho a,b dương và a+b+ab $\leq 3$

CM: $\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+b-3}-(a+b)\geq \frac{1}{4}(ab-3)$

3, Cho x,y,z là 3 số thực, tìm GTLN của :

A=$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+xz)}$

4, Cho a,b,c>0 và a+b+c=12

CMR: $\frac{ab}{c+12}+\frac{bc}{a+12}+\frac{ac}{b+12}\leq 3$

5, Cho a,b dương và $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$

CM: $\frac{1}{a+1} +\frac{1}{b+1}+2015ab\leq 2016$

6, Cho a,b,c thực dương và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CM: $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ac}\leq \frac{3}{2}$

Câu 3a:  có (1-b)(1-c)=1-b-c+bc=a+2$\sqrt{abc}$+bc=$\left ( \sqrt{a}+\sqrt{bc} \right )^{2}$

Tương tự, rồi thay vào pt thui, suy ra A=2018

Câu 2b: bình phương 2 vế đc

$x^{2}-2xy+2y-x+2=0$

=> $2x^{2}-4xy+4y-2x+4=0$

<=>$\left ( x-2y \right )^{2}-(2y-1)^{2}+(x-1)^{2}=-4$......

. 

 

PT

<=> $x^3+y^3-xy(x+y )-8xy(\sqrt{2(x^2+y^2)}-(x+y))=0$

<=> $(x+y)(x-y)^2-8xy(x-y)^2/(\sqrt{2(x^2+y^2)}-(x+y))=0$

<=> (x-y)²=0 or  $(x+y)(\sqrt{2(x^2+y^2)}+(x+y))=8xy$

TH1 tự giải quyết

TH2 theo Côsi cm VT>=VP dấu bằng xảy ra <=> x=y

sai dấu dòng thứ 3 kìa bạn, trong phần ngoặc đơn bên tay phải, phải là dấu cộng chứ.