minhbeo12

Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến tại A, B của (O1) cắt nhau ở D. Xét điểm C trên đường tròn (O1). Các đường thẳng AC, BC cắt lại (O2) tại E, F theo thứ tự đó. Chứng minh CD luôn đi qua trung điểm EF

Ta có n⁵ + n⁴ + 1 = (n² + n + 1)(n³ - n + 1) = p^k

Gọi (n² + n + 1, n³ - n + 1) = d

Ta có d/(n² + n + 1) => d/(n³ - 1)

Lại có d/ (n³ - n + 1) => d/(n - 2).   n² + n + 1 = n² - 4+ n - 2 + 7 => d/7. Do đó d = 1 hoặc 7

 

TH1: d = 7 => n = 7t + 2.  Đặt n² + n + 1 = 7^a

                                                n³ - n + 1 = 7^b

Thay vào ta được 7t² + 5t + 1 = 7^a-1  => 7/(t - 4)

                             49t³ + 42t² + 11t + 1 = 7^b-1 => 7/(t - 5)    (MT)

Do đó a hoặc  b phải bằng 1 

 

TH2: d = 1 thì đơn giản rồi

Ta có: ab - cd = (a + b - c - d)(a + b + c + d)    (1)

Giả sử a + b + c + d là số nguyên tố

 

(1) => (a + b + c + d)/(ab - cd) => (a + b + c + d)/a(a + b + c + d) - (ab - cd)

                                                => (a + b + c + d)/(a + c)(a + d)

Do đó a + b + c + d là ước của a + c hoặc b + d  (vô lý)

Ta có ĐPCM

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x⁴y² + x³y - x²y² - 3xy - y² - 2x - 2y - 2 = 0

Giả sử cả 3 số a, b, c đều không chia hết cho 3

Ta có a³ chia 9 dư 1 hoặc -1 

=> a³ + b³ + c³ không chia hết cho 9

f(x + f(y)) = f(x + xy) + yf(1 - x)      (1)

 

Kí hiệu P(u, v) là cách thay tương ứng giá trị x, y vào (1)

 

TH1: f(1) = 0

P(0, y): f(f(y)) = f(0)

P(0, 0): f(f(0)) = f(0) => f(a) = a (a = f(0))

P(1, a): f(1 + a) = f(1 + a) + a² => a = 0 => f(0) = 0

Do đó f(f(y)) =0

P(1, y): f(1 + f(y)) = f(1 + y)   (2)

Trong 2 thay y bởi f(y) => 0 = f(1) = f(1 + f(y)) => f(y + 1) = 0  

 

TH2: f(1) # 0:

P(0, y): f(f(y)) = f(0) + yf(1) => f là đơn ánh

P(x, 0): f(x + f(0)) = f(x) => f(0) = 0

P(1, y): f(1 + f(y)) = f(1 + y) => f(y) = y

Vậy f(x) = 0 hoặc f(x) = x

Ta có: c(ac + 1)² = (2c + b)(3c + b)       (1)

Gọi (b, c) = d. Đặt b = db₁

                              c = dc₁          (b₁, c₁) = 1

(1) <=> c₁(ac + 1)² = d(2c₁ + b₁)(3c₁ + b₁)        (2)

 

Gọi (ac + 1, d) = k. Ta có c chia hết cho d => c chia hết cho k => 1 chia hết cho k

Do đó (ac + 1, d) = 1 

(2) => c₁ chia hết cho d. Đặt c₁ = c₂d.

 

(2) <=> c₂(ac + 1)² = (2c₁ + b₁)(3c₁ + b₁)

Gọi (c₂, 2c₁ + b₁) = x. Ta có c₁ chia hết cho c₂ => c₁ chia hết cho x => b₁ chia hết cho x (Loại do (b₁, c₁) = 1)

Tương tự (c₂, 2c₁ + b₁) = 1.

Do đó c₂ = 1=> c₁ = d => c = d²

Theo nguyên lý Đi-rich-le, trong 3 số a - 1, b - 1, c - 1 có 2 số cùng dấu. Giả sử hai số đó là a - 1, b - 1

Ta có (a - 1)(b - 1) > 0 <=> ab + 1 > a + b 

                                    <=> ab > a + b - 1

Ta có: 9 = 2(a² + b² + c²) + 3abc > 2(a² + b² + c²​) + 3(a + b - 1)c

                                                     > (a + b)² + 2c²​ + 3ac + 3bc - 3c             (2a² + 2b²> (a + b)²)

Do đó  36 > 4(a + b)² + 8c² + 12ac + 12bc - 12c =  4(a + b)² + 12c(a + b) + 9c² - c² - 12c 

     <=>(c + 6)²> (2a + 2b + 3c)²

     <=> c + 6 > 2a + 2b + 3c

     <=> 3 > a + b + c

TH1: a chẵn, b chẵn

Khi đó a² + b² chia hết cho 4. Đặt a² + b² = 4k (k>0). Chọn c = (k - 1)

 

TH2: a lẻ, b chẵn. Khi đó a² chia 4 dư 1 => a² + b² chia 4 dư 1. Đặt a² + b² = 4k + 1 (k>0). Chọn c = (2k)

 

TH3: a chẵn, b lẻ tương tự TH2

Ta có: d² < 2021 => d < 45 => n² < 45 => n < 7

          4d² > 2021 => d > 22 => n² > 22 => n > 4

 

TH1: n = 5 => d = 25

Khi đó a² + b² + c² = 1396 (1). Do 1396 chia hết cho 4 => a, b,c đều chia hết cho 4.

(1) => 1396 < 3c² => 21 < c. Lại có c < d => c = 24

Do đó a² + b² = 820 => 820 < 2b² => 21 < b

Lại có b² < 820 => b < 29. Do b chia hết cho 4 nên b = 24 hoặc b = 28

  +Nếu b = 24 (loại do a nguyên)

  +Nếu b = 28 => b > c (loại)

 

TH2: n = 6 => d = 36

Khi đó a² + b² + c² = 725 (2) => 725 < 3c² => 16 < c

Ta có (a + b + c)² < 3(a² + b² + c² ) => (m² - 36)² < 2175 => m² - 36 < 46 => m²< 84

Lại co a + b + c + 36 = m² => c + 36 < m² => 52 < m²

Do đó m = 8 hoặc m = 9

 

 + Nếu m = 8. Khi đó a + b + c = 28. Lại có a + b + c, a² + b² + c²  cùng tính chẵn lẻ (Loại)

 + Nếu m = 9. Khi đó a + b + c = 45.

Ta có nhận xét từ (2) => có 2 số chẵn và 1 số lẻ (Nếu có 3 số lẻ thì VT chia 4 dư 3, VP chia 4 dư 1)

Từ (2) => c² < 725 => c < 26.

Do đó 16 < c < 26

Xét c = 16 => a + b = 29; a² + b² = 469 => 2b²> 469 => b > 16 => b = 16 (Loại do không tồn tại a)    (a < b < c)

Xét c = 17 => a + b = 28; a² + b² = 436 => 2b²> 436 => b > 15. Do c lẻ nên a, b phải chẵn => b = 16 (Loại do không tồn tại a)

Tương tự ta sẽ tìm được một bộ a = 10, b = 15, c = 20, d = 36

Từ đề => a^2*b^2 + ab + b^2 chia hết cho ab^2  + b + 7

 

Ta có a^2*b^2 + ab + b^2 = a(ab^2 + b + 7) + b^2 - 7a

Do đó b^2 - 7a chia hết cho ab^2 + b + 7

 

+TH1: (b^2 - 7a) >= ab^2 + b + 7

<=> (b^2 - b - 7) >= a(b^2 + 7)

Lại có b^2 - b - 7 < b^2 + 7

Nên a < 1 (Loại)

 

+TH2: (7a - b^2) >= ab^2 + b + 7

Lại có (7a - b^2) < 7a

Do đó ab^2 + b + 7 < 7a

Nều b>= 3 thì ab^2 + b + 7 >= 9a + 10 (loại)

Do đó b = 2 hoặc b = 1. Từ đây thay vào đề bài dê dàng làm tiếp

Gọi $P(m, n)$ là cách thay giá trị lần lượt của $m,n$ vào ii).

$P(1,1):f(2)=2f(1)+2$ (1)

$P(1,2):f(3)=f(2)+f(1)+4=3f(1)+6$ (2)

$P(1,3):f(4)=f(3)+f(1)+6=4f(1)+12$ (3)

Sử dụng quy nạp ta chứng minh được $f(n)=nf(1)+(n-1)*n.$

Từ (1) $\Rightarrow f(1)$ lẻ (nếu $f(1)$ chẵn thì $f(2)$ chia $4$ dư $2$ mâu thuẫn với $f(2)$ là số chính phương)

Đặt $f(1)=(2a+1)^2,$ từ (3) $\Rightarrow 16a^2+16a+16=k^2.$

Lại có $(4a+2)^2<16a^2+16a+16<(4a+3)^2(a>0) \Rightarrow a = 0.$

Do đó $f(1)=1 \Rightarrow f(n)=n^2.$

$\frac{2^{p-1}-1}{p}$ = $a^{2}$    (1)

  . Nếu p = 4k+1, Lại có $a^{2}$p $\equiv 3 (mod4)$ suy ra $a^{2}$ $\equiv 3 (mod4)$ (loại)

Do đó p = 4k+3

(1) trở thành $2^{4k+2} - 1 = pa^2$

             <=> $[2^{2k+1} - 1][2^{2k+1} + 1] = pa^2$

Gọi $(2^{2k+1} - 1; 2^{2k+1} + 1) = d$

=> $\frac{d}{2}$$   =>$d=1$ (do cả hai số đều lẻ)

Nên môi số sẽ có một trong các dạng sao $b^2$ hoặc $pc^2$    ($bc=a, (b,c)=1 $)

Do $2^{2k+1} - 1$ chia 4 dư 3 => $2^(2k+1) - 1$ sẽ có dạng $pc^2$

Ta có $2^{2k+1} + 1 = b^2$

   <=> $2^{2k+1} = (b - 1)(b + 1)$

Từ đây đặt $b - 1 = 2^a$

                  $b + 1= 2^b$

Dê dàng tìm được p