hothithuy htt

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của $A=\sqrt{a^{2}+a+4}+\sqrt{b^{2}+b+4}+\sqrt{c^{2}+c+4}$

a+b+c=3 => a,b,c thuộc [0;3] 

ta chứng minh được $\sqrt{a^{2}+a+4}\leq \frac{2a+6}{3}$ , <=> 5x(x-3) $\leq$ 0 ( đúng ) 

=> A(max)=8 

Dấu '=' xảy ra <=> a=3, b=c=0 và hoán vị

 

 

a)  $\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

 

$\frac{\sqrt[4]{(x+\sqrt{x^{2}-1})(x-\sqrt{x^{2}-1)}}{\sqrt[4]{x+\sqrt{x^{2}+1}}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}}=2$

<=> $\frac{1}{\sqrt[4]{x+\sqrt{x^{2}+1}}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+1}}=2$

Đặt $\frac{1}{\sqrt[4]{x+\sqrt{x^{2}+1}}}=a$ 

<=> $a^{2}+\frac{1}{a}=2$

 

c)   $18x^{2}-18x+5=3\sqrt[3]{9x^{2}-9x+2}$

$2(9x^{2}-9x+2)-3\sqrt[3]{9x^{2}-9x+2}+1=0$

Đặt $\sqrt[3]{9x^{2}-9x+2}=a$

<=> $2a^{3}-3a+1=0$ 

 

b)   $\sqrt{4x+3}+\sqrt{2x+1}=6x+\sqrt{8x^{2}+10x+3}-16$

 

Vì $u_{n+1}\ge 3 u_n>0, \forall n\in \mathbb{N}$ nên $\lim u_{n}=\infty.$

 

Đặt $f(x)= \sqrt{9x^2+11x+3}.$

 

Khi đó, $\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{f(u_n)-u_n}{f(u_n)+u_n}.$

 

Từ $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}= \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}-1}{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}.$

Suy ra 

$$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{1}{2}.$$

 tớ cảm ơn  c nhé