PugMath

có ai giải 5b chưa ạ cho em tham khảo với ??? 

Cho a,b,c > 0 và $(a+b+c)(ab+bc+ac)=9$

CMR : $3(a+b+c)\leqslant \sqrt[3]{26+a^3}+\sqrt[3]{26+b^3}+\sqrt[3]{26+c^3}$

--------------------By pugmath 

cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn đk $a+b+c+1=4abc$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=\frac{\sqrt{4bc-1}}{bc}+\frac{\sqrt{4ac-1}}{ac}+\frac{1}{ab}$

câu 1b) $xt=\frac{x^2(x^2+x+1)}{x^4+x^2+1}=A(x^2+x+1)=>\frac{t}{A}=\frac{x^2+x+1}{x}=\frac{x^2-x+1+2x}{x}=\frac{1}{t}+2=>A=\frac{t^2}{1+2t}$

câu 2b) $2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0<=>2x(x+y-2)-y(x+y-2)-(x+y-2)=0<=>(x+y-2)(2x-y-1)=0=>.$

câu 3b) $a=\sqrt[3]{3x^2-x+1};b=\sqrt[3]{3x^2-7x+2} =>a-b-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{a^3-b^3-2}<=>a^3-b^3-2-3ab(a-b)-3(a-b)\sqrt[3]{2}(a-b-\sqrt[3]{2})=a^3-b^3-2<=>ab(a-b)+(a-b)\sqrt[3]{2}(a-b-\sqrt[3]{2})=0<=>(a-\sqrt[3]{2})(a-b)(b+\sqrt[3]{2})=0$

$\sum{\frac{a}{\frac{a+b}{2}+\frac{a+c}{2}+a+\frac{a+b}{2}+\frac{a+c}{2}}}\leqslant \frac{1}{25} \left ( \frac{4a}{a+b}+\frac{4b}{a+b}+\frac{4c}{a+c}+\frac{4a}{a+c}+\frac{4b}{c+b}+\frac{4c}{c+b}+3 \right )=\frac{1}{25}.15=\frac{3}{5}$

câu 1 ) $P=\frac{xyz(\sum{x})}{\sum{x^2}\sum{xy}}+\frac{xyz}{\sqrt{\sum{x^2}}\sum{xy}}=\frac{xyz(\sum{x})}{\sum{x^2}\sum{xy}}+\frac{1}{\sqrt{\sum{x^2}}\left ( \sum{\frac{1}{x}} \right )}\leqslant \frac{(\sum{xy})^2}{3\sum{x^2}\sum{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{(\sum{x})(\frac{9}{x+y+z})}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}$

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=11$. Tìm GTNN của P=$(x^{3}+y^{3}+z^{3})(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}})$

$(x^3+y^3+z^3)(1+1+1)(1+1+1)(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})(1+1+1)(1+1+1)\geqslant (x+y+z)^3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^3=11^3=>3^4P\geqslant 11^3=>P\geqslant \frac{11^4}{3^4}$

cái này áp dụng bđt holder nha 

Cho các số thực dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{x^{4}y}{x^{2}+1}$

cái VP đâu 

$2(x-2)[\sqrt{x^2+2x-3}-2]=-x^3+11x-14<=>2(x-2)\frac{x^2+2x-7}{\sqrt{x^2+2x-3}+2}=-(x-2)(x^2+2x-7)<=>(x-2)(x^2+2x-7)\left ( \frac{2}{\sqrt{x^2+2x-3}+2} +1\right )=0=>x=2 \vee x^2+2x-7=0$

$x=\sqrt{2}-1$

$[x^4(x+1)-2x^2(x+1)+2x(x+1)-9(x+1)+11]^{2015}+2016=[\sqrt{2}x^4-2\sqrt{2}x^2+2\sqrt{2}x-9\sqrt{2}+11]^{2015}+2016=[\sqrt{2}x^3(x+1)-\sqrt{2}x^2(x+1)-\sqrt{2}x(x+1)+3\sqrt{2}x+3\sqrt{2}-12\sqrt{2}+11]^{2015}+2016=[2x^3-2x^2-2x+17-12\sqrt{2}]^{2015}+2016=[2x^2(x+1)-4x(x+1)+2(x+1)+15-12\sqrt{2}]^{2015}+2016=[2\sqrt{2}x^2-4\sqrt{2}x-10\sqrt{2}+15]^{2015}+2016=[2\sqrt{2}x(x+1)-6\sqrt{2}(x+1)-4\sqrt{2}+15]^{2015}+2016=[4x-12-4\sqrt{2}+15]^{2015}+2016=(-1)^{2015}+2016=2015$

cách khác :

giả sử x,y,z là 3 cạnh tam giác => ta có BĐT phụ $xyz\geqslant(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$

=>$9xyz\geqslant1-2(x+y+z)+4(xy+yz+xz)=-1+4(xy+yz+xz)=>xy+yz+xz\leqslant \frac{9}{4}xyz+\frac{1}{4}$

từ đó => $xy+yz+xz-xyz\leqslant \frac{9}{4}xyz+\frac{1}{4}-xyz=\frac{5}{4}xyz+\frac{1}{4}\leqslant \frac{5}{4}.\frac{(x+y+z)^3}{27}+\frac{1}{4}=\frac{8}{27}$

$x^3+8+8+y^3+8+8-32+\frac{x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{y}{4}+\frac{1}{y}+x^2+4+y^2+4-8+\frac{19(x+y)}{4}\geqslant 12(x+y)-32+1+1+4(x+y)-8+\frac{19(x+y)}{4}\geqslant 12.4-32+2+4.4-8+19=45$\

giải thích : 

$x+y+xy=8\leqslant \frac{1}{4}(x+y)^2+(x+y)=>x+y\geqslant 4$

$A=\frac{3a^2+3b^2+14ab}{a^2+2ab+3b^2}=\frac{\frac{3a}{b}+\frac{3b}{a}+14}{\frac{a}{b}+2+\frac{3b}{a}}=\frac{3t+\frac{3}{t}+14}{t+2+\frac{3}{t}}=\frac{3t^2+3+14t}{t^2+2t+3}<=>t^2(3-A)+2t(7-A)+3-3A=0=>\Delta=49-14A+A^2-9+9A+3A-3A^2=-2A^2-2A+40\geqslant0 =>\frac{161}{4}\geqslant 2(A+\frac{1}{2})^2=>>>$

$\sum{\frac{x^2}{3x\sqrt{x+2y-1}-4x}}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3x\sqrt{x+2y-1}-4x+3y\sqrt{y+2z-1}-4y+3z\sqrt{z+2x-1}-4z}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3\sqrt{(x+y+z)(x^2+2xy-x+y^2+2zy-y+z^2+2xz-z)}-4(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^2}{3\sqrt{(x+y+z)[(x+y+z)^2-(x+y+z)]-4(x+y+z)}}=\frac{x+y+z}{3\sqrt{x+y+z-1}-4}=\frac{t^2+1}{3t-4}$

$A=\frac{t^2+1}{3t-4}<=>t^2+1=3tA-4A=>t^2-3tA+1+4A=0=>\Delta=9A^2-16A+\frac{64}{9}\geqslant \frac{100}{9}<=>3A-\frac{8}{3}\geqslant \frac{10}{3}=>A\geqslant 2$

khi x=y=z=$\frac{10}{3}$

Em làm như vậy . Nhưng e thấy không ra mọi người cho e hỏi e dự đoán dấu bằng hay cách làm sai ạ 

theo bác thì dự đoán x=y=z=$\frac{1}{3}$ chứ nhỉ =>x+2y-1=0 nên khi cô si ngược 1.(x+2y-1) => x+2y-1=1 vô lý