MathematicsLover

Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định (BC<2R). A là điểm di chuyển trên cung lớn BC (A khác B, C). Gọi M là trung điểm của đoạn AC, H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC để đoạn thẳng CH có độ dài lớn nhất. 

4,

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \forall x,y> 0$

Ta có:$A=\frac{ab}{c+12}+\frac{bc}{a+12}+\frac{ca}{b+12}= \frac{ab}{(a+c)+(b+c)}+\frac{bc}{(a+b)+(a+c)}+\frac{ca}{(a+b)+(b+c)}$

$A\leq \frac{ab}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})+\frac{bc}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})+\frac{ac}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c})$

$A\leq \frac{1}{4}(a+b+c)=3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

5,

$a+b\geq 2\sqrt{ab}=>12\geq (a+b)^3+4ab\geq 8(\sqrt{ab})^{3}+4(\sqrt{ab})^{2}$

$\Rightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0\Rightarrow \sqrt{ab}\leq 1$

$\Rightarrow (\sqrt{ab}-1)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 0$

$\Leftrightarrow (a+b+2)(1+\sqrt{ab})\leq 2(a+1)(b+1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Cần chứng minh: $\frac{2}{1+\sqrt{ab}} +2015ab\leq 2016$

Đặt $\sqrt{ab}=t(0\leq t\leq 1)$

$\frac{2}{t+1}+2015t^2\leq 2016\Leftrightarrow 2015t^3+2015t^2-2016t-2014\leq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(2015t^2+4030t+2014)\leq 0$ (luôn đúng)

Vậy $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1

2.

Có: $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^2a)+(b^3+c^2b)+(c^3+a^2c)+a^2b+b^2c+c^2a$

$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

$A \geq a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Đặt: $a^2+b^2+c^2=t \Rightarrow 3t\geq (a+b+c)^2=9\Rightarrow t\geq 3$

$A\geq t+\frac{9-t}{2t}=t+\frac{9}{2t}-\frac{1}{2}=(\frac{t}{2}+\frac{9}{2t})+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\geq 4$

GTNN của A là 4 <=> a=b=c=1

a)

$(x^{2}-x+1)\sqrt{3x^2+2x+4}-2x^{3}+x^{2}-x-1=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1)\sqrt{3x^2+2x+4}-(2x^{3}+2)+x^{2}-x+1=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1)\sqrt{3x^2+2x+4}-2(x+1)(x^{2}-x+1)+(x^{2}-x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1)(\sqrt{3x^2+2x+4}-2x-1)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x^2+2x+4}=2x+1$ $x\geq -1/2$

$\Leftrightarrow 3x^2+2x+4=4x^2+4x+1$

$\Leftrightarrow x^2+2x-3=0$

$\Rightarrow x=1$