Minhcamgia

Gọi $E,F$ là trung điểm $AB,AC$. Gọi $CN,BM$ cắt $(K,KB)$ tại $R,P$, dt qua $C$ vg $AC$ cắt tt $CM$ tại $L$, $BM,CN$ cắt $(L,LC)$ tại $S,W$. Ta có $BE^2 = EM.ER = EB.EA = EM.EC$ suy ra $ER = EC$ nên $ARBC$ là hinh bình hành. TT $ABCS$ là hbh. $BR$ cắt $CS$ tại $Q$, $RPB = BNC = BAC = BQC$ nên $RPQS$ đồng viên, tt $RSWQP$ đồng viên có $ABC$ là medial triangle nên $H$ là tâm (PQR). Suy ra $HK$ _|_ $PR$ || $CM$ nên $KH$ _|_ $CM$ (dpcm). 

Tìm $x$ biết $x^2-2x+1=25$.

Bài 96. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ và $P$ là điểm nằm trên cung nhỏ $BC$, , trung trực $AB,AC$ cắt $AP$ tại $E,F$, $BE$ cắt $CF$ tại $Q$. Chứng minh rằng $AP = BQ + CQ$.

Xin được làm câu hình đầu tiên ý b.

Cách khác. Ta có $\triangle CED \sim \triangle BAE \rightarrow CE.CB = CD.AB = 2OD.OM = 2OE.OC = OC^2 \rightarrow $ làm tiếp ...

Bài hình cuối.

Ta có $M$ thuộc đường tròn $(BOC)$ ($O$ là tâm ngoại tiếp)

suy ra $\angle PMQ = 120 \rightarrow APMQ$ nội tiếp mà $\angle OMC = \angle OBC = 30 = \angle OAP \rightarrow APMO$ nội tiếp $\rightarrow A,P,Q,M,O$ thuộc một đường tròn

suy ra $\triangle OAQ = \triangle OBP \rightarrow AP + AQ = AB = 1$.

Ta có $O$ là điểm chính giữa của cung $PQ$ của $(APMOQ)$ nên $S_{APMQ} \leq S_{APOQ} = S_{AOB}$.

Bài 95. Cho đường tròn $(O)$ và dây $BC$ cố định không đi qua tâm , điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$, $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB,AC$ tại $D,E$. Chứng minh rằng $ED$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $A$ di động.

Kéo dài $DY$ cắt $AC$ tại $I$.

Suy ra $ZI \perp AC$

Từ $Y$ kẻ đường thẳng vuông góc với $YZ$ cắt $AB$, $AC$ tại $P,Q$. 

Ta có hai tứ giác $ZYPX$ và $ZYIQ$ nội tiếp.

Kết với với $\widehat{ZXY}=\widehat{ZIY}$ thì ta có: $\widehat{ZPY}=\widehat{ZQY}$ 

Suy ra $YP=YQ$ mà $MB=MC$ từ đó ta có $PQ || BC$. Suy ra đcpcm

Xin trình bày một bổ đề quan trọng đã được Khoa linh sử dụng trong chứng minh.

Bổ đề: Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, trên $AM$ lấy $K$, một đường thẳng qua $K$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$ sao cho $KE = KF$. Khi đó $EF$ song song $BC$.

CM: Qua $K$ dựng đường thẳng song song $BC$ cắt $AB,AC$ tại $R,S$, giả sử $R,E$ phân biệt, $S,F$ phân biệt.

Khi đó dễ dàng chứng minh $KS = KR,KE=KF \rightarrow ESFR$ là hình bình hành nên $ES \parallel FR$ (mâu thuẫn)

Suy ra $R \equiv F,S \equiv E$ nên $BC \parallel EF$.

Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình $(x^2 + 4y +8)(y^2+4x+8) = (3x+5y+4)(3y+5x+4)$

câu 3.

a. Chứng minh được $BMKE$ nội tiếp.

suy ra $\angle BEC = \angle BKC = \angle BAE \rightarrow BE^2 = BC.BA$.

b. theo hệ thức lượng $BE^2 = BC.BA = BN^2$ kết hợp với $\angle BNP = \angle BAP = \angle BEP \rightarrow dpcm$.

.

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) ,AD , BE , CF là các đường cao cắt nhau tại H (D thuộc BC, E thuộc AC , F thuộc AB)

1, cm tứ giác BDHF nội tiếp ,BFEC nội tiếp

2. đường  thẳng FE giao (O) tai M và N (F nằm giữa Mvà E )

 cm cung AM= cung AN

3, cm AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD

cảm ơn m.n

1. Chứng minh được tứ giác $BDHF,BFCE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH,BC$.

2. Chứng minh được $OA \perp EF \rightarrow dpcm$.

3. kẻ đường kính $AL$ cắt $FE$ tại $K \rightarrow AM^2 = AK.AL$ (hệ thức lượng)

mặt khác $\angle ALC = \angle ABC = \angle AEF \rightarrow KECL$ nội tiếp $\rightarrow AK.AL = AE.AC = AH.AD =AM^2 \rightarrow dpcm$.

Cho (O) đường kính AB, C nằm giữa cung AB.Trên AB lấy điểm E sao cho BE =AC.Vẽ EH vuông vs AC ở H, pg góc BAC x EH ở K và đường tròn Ở D. AC x BD ở M. CK x AB ở I và (O) ở F. CM: I là trung điểm AE.

From: thanhdatqv2003

Tính chất tia phân giác và Ta let:

$\frac{IE}{BE} = \frac{IK}{CK} = \frac{IA}{AC}$ mà $BE = AC \rightarrow dpcm$

Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn $xy + yz + zx - xyz =2$. Tìm min của $A = x^2 + y^2 + z^2$.

ace vào giải đề nay nhóe vừa lấy trên facebook song

Câu 4.

Gọi $K$ đối xứng với $D$ qua $BC$.

Ta có $\angle \angle MKN = 360 - \angle BKC -\angle MKB - \angle NKC$.

Ta có $\angle MKB = \angle KMB,\angle NKC = \angle KNC,\angle BKC=\angle BDC$.

Suy ra $\angle MKC = 360 - \angle BDC - (\angle KMB + \angle KNC) = 180 + \angle BAC - (\angle BAC + \angle MKN) \rightarrow \angle MKN = 90$.

$\rightarrow IN = IM = IK \rightarrow \triangle IKB = \triangle IMB,\triangle IKC = \triangle INC \rightarrow \angle BIC =90$ nên $I$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ cố định.

Câu 5.

a. Áp dụng hệ thức lượng $\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AD^2} = \frac{1}{AB^2} \ge \frac{2}{AC.AD} \rightarrow AC.AD \ge 2AB^2$. Dấu bằng xảy ra khi $MN \perp AB$.

b. $K$ là tâm $(CDM)$, $P$ trung điểm $CD$. Dễ dàng chứng minh $MCND$ nội tiếp và $AP \perp MN$.

$\rightarrow KPAO$ là hình bình hành $\rightarrow PK =R \rightarrow $ dpcm.

c. theo ceva có $\frac{AO}{BO}.\frac{BF}{FC}.\frac{CM}{MA}=1 \rightarrow \frac{BF}{CF} = \frac{AM}{CM} \rightarrow FM \perp BC$.

mà $\angle AEM = \angle ANM = \angle ACF \rightarrow EMCF$ nội tiếp

suy ra $\angle MEC =90 \rightarrow $ dpcm.

Gọi đường thẳng qua $I$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ tại $R,S$.

Ta có $\angle OIRM,OINS$ nội tiếp $\rightarrow \angle ORI = \angle OMI = \angle ONI = \angle OSI \rightarrow IR = IS \rightarrow KB = KC$.

Vòng 2.

Câu 4.

a. Ta có $\angle BCE = \angle BAC = \angle BMO \rightarrow \triangle BCE \sim \triangle BMO \rightarrow BM.BE = BC.BO$.

b. Gọi $P,Q$ là trung điểm $OM,CE$.

Dễ dàng chứng minh $\triangle EAC \sim \triangle OMA \rightarrow OA.AC = EC.MA \rightarrow OC.AC = EC.AM \rightarrow \triangle EOC \sim \triangle CMA \rightarrow \angle EMC = \angle CMA \rightarrow MAON,CNBE $nội tiếp $\rightarrow P,Q$ là tâm $(MAON),(CNBE) \rightarrow PQ$ là trung trực $BN \rightarrow $ dpcm.

c. Gọi $H$ là giao của $AB,OM$.

$AB$ nhỏ nhất khi $OH$ lớn nhất mà $OH.OM = R^2 \rightarrow $ khi $OH$ lớn nhất thì $M$ là chân đường cao từ $O$ lên $d$.