Tantran2510

Tìm $x\in \mathbb{Z}$ để $\frac{6\sqrt{x}-2}{7\sqrt{x}-1} \in \mathbb{Z}$

Dùng phép đổi biến trong tọa độ cực: $\left\{\begin{matrix} x=rcos\varphi \\ y=rsin\varphi \end{matrix}\right.$ 

Từ $x^2+y^2 \leq 2y$ ta được $r \leq 2sin\varphi$, khi đó được miền mới: $D_{r\varphi}=\left \{ (r,\varphi)\in \mathbb{R}^2, 0\leq r \leq2sin\varphi, 0\leq \varphi \leq \pi \right \}$ 

TÍch phân: $I = \int _{D_{r\varphi}} r^3\left \| {2cos\varphi -r} \right \| d(r,\varphi)$

Miền $D_{r\varphi}$ là phần màu đỏ nằm trên trục Or, ta chia thành các miền $D_1, D_2, D_3, D_4$ 

Trong $D_1, D_2$ thì $2cos\varphi \geq r$, cụ thể là: 

$D_1=\left \{ 0\leq \varphi \leq \dfrac{\pi}{4}, 0\leq r\leq 2sin\varphi \right \}$

$D_2=\left \{ \frac{\pi}{4}\leq \varphi \leq\frac{\pi}{2}, 0\leq r\leq2cos\varphi \right \}$

Trong $D_3, D_4$ thì $2cos\varphi \leq r$, cụ thể là: 

$D_3=\left \{ \frac{\pi}{4}\leq \varphi \leq\frac{\pi}{2}, 2cos\varphi \leq r\leq2sin\varphi \right \}$

$D_2=\left \{ \frac{\pi}{2}\leq \varphi \leq \pi, 0\leq r\leq2sin\varphi \right \}$

Cuối cùng chỉ cần tính tích phân trên 4 miền đã chia

Tính $I=\int_{D}\left | 2x-x^2 - y^2\right | d(x,y)$ với D giới hạn bởi $x^2+y^2\leq 2y$

Cho đồ thị hàm số $y=f'(x)$ như hình vẽ bên dưới.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f(x^{2}-2mx+11-m)$ có đúng 3 điểm cực trị ?

Bài 2 bạn ghi sai đề r thì phải. Đó phải là $\frac{9}{512}$ mới đúng

Ta có: BĐT cần cm $<=> \frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{b^4}{(3bc+5ab)^3}+\frac{c^4}{(3ac+5bc)^3}\geq \frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{9(3ab+5ac)}{4096}\geq \frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}<=>\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}-\frac{9(3ab+5ac)}{4096}$

Tương tự ta sẽ có $VT\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9(ab+bc+ca)}{512}=\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM dạng Engel ta có:

$\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{256(ab+bc+ca)}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{256(ab+bc+ca)} =\frac{9}{256}$$<=>VT\geq \frac{9}{256}-\frac{9}{512}=\frac{9}{512}$

Dấu "$=$"xảy ra $<=> a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

cảm ơn cậu, mình ghi nhầm 

cho đường tròn (O) và các đường tròn $(O_1),(O_2),(O_3)$ cùng tiếp xúc trong với (O) và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Các điểm $A_1,A_2,A_3$ theo thứ tự là tiếp điểm của (O) với $(O_1),(O_2),(O_3)$. Các điểm $B_1,B_2,B_3$ theo thứ tự là tiếp điểm của các cặp đường tròn $(O_2),(O_3);(O_3),(O_1);(O_1),(O_2)$. CMR $A_1B_1,A_2B_2,A_3B_3$ đồng quy.

Gọi 4 đỉnh của tứ giác là $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ , tạo thành tứ giác $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$

Gọi 4 điểm trong tứ giác là $B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$

Xét điểm $B_{1}$ , tạo với 4 đỉnh tứ giác 4 tam giác là : $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$

Xét điểm $B_{2}$ :

Trường hợp 1 :   $B_{2}$ nằm trong 1 trong 4 tam giác: $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$.

KMTTQ , tam giác đó là $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ 

Số tam giác tạo thành tăng thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{2}$ ,$\Delta B_{2}B_{1}A_{1},\Delta B_{2}A_{1}A_{2}$

Trường hợp 2 : $B_{2}$ nằm trên 1 trong 4 cạnh :$B_{1}A_{1};B_{1}A_{2};B_{1}A_{3};B_{1}A_{4}$

KMTTQ, cạnh đó là $B_{1}A_{2}$

Số tam giác được tạo thành thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2};\Delta B_{1}A_{2}A_{3}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{1};\Delta B_{2}B_{1}A_{3};\Delta B_{2}A_{2}A_{1};\Delta B_{2}A_{2}A_{3}$)

Cứ từ điểm thứ 2, số tam giác tạo thành luôn tăng thêm 2. Như vậy số tam giác tạo thành là $4+2+2+2=10$

Tồn tại 1 trong số 10 tg đó , 1 tg có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{10}$

KMTTQ là gì ạ .-.

Gọi 4 đỉnh của tứ giác là $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ , tạo thành tứ giác $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$

Gọi 4 điểm trong tứ giác là $B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}$

Xét điểm $B_{1}$ , tạo với 4 đỉnh tứ giác 4 tam giác là : $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$

Xét điểm $B_{2}$ :

Trường hợp 1 :   $B_{2}$ nằm trong 1 trong 4 tam giác: $\Delta B_{1}A_{1}A_{2} ,\Delta B_{1}A_{2}A_{3} ,\Delta B_{1}A_{3}A_{4},\Delta B_{1}A_{4}A_{1}$.

KMTTQ , tam giác đó là $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ 

Số tam giác tạo thành tăng thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{2}$ ,$\Delta B_{2}B_{1}A_{1},\Delta B_{2}A_{1}A_{2}$

Trường hợp 2 : $B_{2}$ nằm trên 1 trong 4 cạnh :$B_{1}A_{1};B_{1}A_{2};B_{1}A_{3};B_{1}A_{4}$

KMTTQ, cạnh đó là $B_{1}A_{2}$

Số tam giác được tạo thành thêm 2 ( Từ $\Delta B_{1}A_{1}A_{2};\Delta B_{1}A_{2}A_{3}$ thành $\Delta B_{2}B_{1}A_{1};\Delta B_{2}B_{1}A_{3};\Delta B_{2}A_{2}A_{1};\Delta B_{2}A_{2}A_{3}$)

Cứ từ điểm thứ 2, số tam giác tạo thành luôn tăng thêm 2. Như vậy số tam giác tạo thành là $4+2+2+2=10$

Tồn tại 1 trong số 10 tg đó , 1 tg có diện tích nhỏ hơn $\frac{1}{10}$

Đại khái thì :

Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm trong đa giác đó

Xét lần lượt n điểm trong đa giác đó

Điểm đầu tiên tạo ra : n tam giác 

Điểm thứ 2 đến điểm thứ n ( Có n-1 điểm ) lần lượt tạo ra 2 tam giác ( Tham khảo bài trên)

Nên số tam giác tạo thành là [n +2(n-1)] , tồn tại 1 tam giác nhỏ hơn $\frac{1}{3n-2}$

cảm ơn ạ

Lấy 4 điểm ở miền trong của 1 tứ giác lồi để cùng với 4 đỉnh ta được 8 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác là 1. CMR: tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh lấy từ 8 điểm đã cho có diện tích không vượt quá $\frac{1}{10}$. Tổng quát hóa bài toán cho n-giác lồi với n điểm nằm trong đa giác đó

Bạn có thể dùng các sách chuyên khảo ( dãy số, phương trình hàm, đa thức) , cách sách số học, tổ hợp,hình học ôn thi hsg nhưng mà nếu có máy tính sử dụng thì nên tra tài liệu trên mạng của từng chuyên mục : tổ hợp, số học, hình học, đại số về học sẽ tốt hơn. Mà trên diễn đàn hình như cũng có topic tổng hợp các tài liệu word, pdf từng mảng rồi đấy, thử tìm xem

xin lỗi bạn nhưng bạn có thể cho mình thêm 1 số thông tin cụ thể không ạ, ví dụ tên sách hay hoặc là link được không, mình cũng không rành lắm nên không biết tìm thế nào. Xin cảm ơn bạn ^^

mấy anh chị cho em hỏi em vừa đậu vào lớp 10 toán chuyên nên vừa bước vào chương trình cấp 3 và không biết phải mua sách nào hay để tham khảo và nghiên cứu? em cũng có ý định thi vào đội tuyển hsg của trường nên cần tìm tư liệu.

Mong anh chị tư vấn ạ, em xin cảm ơn