minhhungtuan

Không mất tính tổng quát gs $a\geq b\geq c$

Nếu $c\leq \frac{1}{3}$ thì$\frac{1}{a^{2}}$$\geq 9= (a+b+c)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Nếu $c\geq \frac{1}{3}\Rightarrow a\leq \frac{7}{3}$

Ta chứng minh bdt sau với $\frac{1}{3}\leq a\leq \frac{7}{3}$ (1)

$\frac{1}{a^{2}}-a^{2}\geq -4a+4 \leftrightarrow a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-1\leq 0 \leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{2}-2a-1)\leq 0$

Ta có:$a^{2}-2a-1=(a-1)^{2}-2$

Mà $\frac{1}{3}\leq a\leq \frac{7}{3}$ nên $\left | a-1 \right |\leq \frac{4}{3}\Rightarrow (a-1)^{2}-2< 0$

Vậy (1) đúng

Thiết lập các bất đằng thức tương tự (1) với a,b,c rồi cộng lại có dpcm.

Chứng minh rằng hiệu (hay tổng) của hai số vô tỷ phân biệt bất kỳ không thể là một số hữu tỷ.

Áp dụng để giải bài toán sau:

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x, y, z sao cho $\sqrt{x+2\sqrt{3}} = \sqrt{y} + \sqrt{z}$

Hình như bài đầu sai

$\sqrt{3}+1$ là số vô tỉ ,$\sqrt{3}$ là số vô tỉ mà $(\sqrt{3}+1)-\sqrt{3}=1$ là số hữu tỉ

Dễ thấy x$\geq$2 nên chứng minh được 

$(x^{x}-1)(x^{x}-2)(x^{x}-3)> x^{x}> x!$

Xét x$\geq$y thì x!$\geq$y! nên $(x^{x}-1)(x^{x}-2)(x^{x}-3)>y!$ ,vô lí

Xét x<y thì y!$\vdots$x

Lại có $(x^{x}-1)(x^{x}-2)(x^{x}-3)$ đồng dư -6 mod x nên -6 $\vdots$x

Suy ra x= 2 hoặc 3 hoặc 6

Với x=2 thì y=3

Với x=3 hoặc 6 thì không tồn tại y thoả đề

Vậy x=2,y=3

Cách 2 cho câu d.

Gọi J là giao điểm CD,AB

Ta có JC/CM=JF/FB(do CF//MB)

Gọi H là giao điểm OM và AB

MA²=MC.MD mà MA²=MH.MO nên MC.MD=MH.MO

Suy ra DMCH đồng dạng DMOD nên MHC=MDO nên CDOH nội tiếp

Suy ra MHC=MDO=OCD=OHD

Cmđ AB^OM nên cmđ HJ là đường phân giác DCHD nên JC/JD=HC/HD

HM^HJ nênHM là phân giác ngoài CHD nên MC/MD=HC/HD

Suy ra MC/MD=JC/JD nên DJ/DC=JC/JM=JF/JB

Suy ra S_DJF/S_DMF= S_DJF/S_DFB hay S_DMF=S_DBF

Gọi T là giao điểm DF và MB thì S_DMT/S_DMF= DT/DF=S_DTB/S_DFB nên S_DMT= S_DTB

suy ra MT=TB nên T trùng S hay D,F,S thẳng hàng

Gọi m là tổng các số các ô a_ij cho i lẻ j lẻ

Gọi n là tổng các số các ô a_ij cho i chẵn j chẵn

Gọi p là tổng các số các ô a_ij cho i lẻ j chẵn

Các ô a_ij thoả i-j chia hết cho 2 gồm i lẻ j lẻ và i chẵn j chẵn nên m+n=15

Trong bảng có 5 hàng số lẻ:hàng 1,3,5,7,9 nên tổng các số ở hàng lẻ là 5.3=15 hay m+p=15(hàng lẻ thì i lẻ)

Suy ra n=p

Trong bảng có 5 cột số chẵn:cột 2,4,6,8,10 nên tổng các số ở cột chẵn là 5.3=15 hay n+p=15(cột chẵn thì j lẻ)

Suy ra n=p=7.5(vô lí).Vậy không có cách thoả đề