minhhungtuan

Đây là 1 bdt tự chế:

Cho các số thực a,b,c$\geq$0 thoả a+b+c=3.CM:

$\frac{(7a^{3}+3)(b+c)}{7a+3}+\frac{(7b^{3}+3)(c+a)}{7b+3}+\frac{(7c^{3}+3)(a+b)}{7c+3}\geq 6$

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh

$\frac{x^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Chứng minh rằng hiệu (hay tổng) của hai số vô tỷ phân biệt bất kỳ không thể là một số hữu tỷ.

Áp dụng để giải bài toán sau:

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x, y, z sao cho $\sqrt{x+2\sqrt{3}} = \sqrt{y} + \sqrt{z}$

Hình như bài đầu sai

$\sqrt{3}+1$ là số vô tỉ ,$\sqrt{3}$ là số vô tỉ mà $(\sqrt{3}+1)-\sqrt{3}=1$ là số hữu tỉ

Dễ thấy x$\geq$2 nên chứng minh được 

$(x^{x}-1)(x^{x}-2)(x^{x}-3)> x^{x}> x!$

Xét x$\geq$y thì x!$\geq$y! nên $(x^{x}-1)(x^{x}-2)(x^{x}-3)>y!$ ,vô lí

Xét x<y thì y!$\vdots$x

Lại có $(x^{x}-1)(x^{x}-2)(x^{x}-3)$ đồng dư -6 mod x nên -6 $\vdots$x

Suy ra x= 2 hoặc 3 hoặc 6

Với x=2 thì y=3

Với x=3 hoặc 6 thì không tồn tại y thoả đề

Vậy x=2,y=3

Gọi m là tổng các số các ô a_ij cho i lẻ j lẻ

Gọi n là tổng các số các ô a_ij cho i chẵn j chẵn

Gọi p là tổng các số các ô a_ij cho i lẻ j chẵn

Các ô a_ij thoả i-j chia hết cho 2 gồm i lẻ j lẻ và i chẵn j chẵn nên m+n=15

Trong bảng có 5 hàng số lẻ:hàng 1,3,5,7,9 nên tổng các số ở hàng lẻ là 5.3=15 hay m+p=15(hàng lẻ thì i lẻ)

Suy ra n=p

Trong bảng có 5 cột số chẵn:cột 2,4,6,8,10 nên tổng các số ở cột chẵn là 5.3=15 hay n+p=15(cột chẵn thì j lẻ)

Suy ra n=p=7.5(vô lí).Vậy không có cách thoả đề

Kẻ đường kính DK. BK cắt AC tại F.Tiếp tuyến tại K cắt BC,BA tại Q,P.R,S là tiếp điểm của (I) với BA,BC

KQ.DC=QS.SC

Cmđ tam giác QIC vuông tại I,đường cao IS nên QS.SC=IS²

Vậy KQ.DC=IS²

Cmtt:KP.DA=IR² nên KQ.DC=KP.DA hay KP/KQ=DC/DA

Mà KP/FA=BK/BF=KQ/FC(định lí talet) nên KP/KQ=FA/FC

Suy ra DC/DA=FA/FC nên DC/AC=FA/AC hay DC=FA

Mà MA=MC nên MD=MF hay M là trung điểm DF

Mà I là trung điểm DK nên MI là đường trung bình DKF nên MI//KF hay NI//BK

Mà NB//KI suy ra NBKI là hình bình hành nên NB=IK=ID

Mà NB//ID nên NBID là hình bình hành

Xin lỗi,mình chép nhầm dấu$\leq$ thành$\geq$

Cho x,y,z,t là các số thực dương

Chứng minh

$\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{y+z+t}}+\sqrt{\frac{z}{z+t+x}}+\sqrt{\frac{t}{t+x+y}}\leq \frac{4}{\sqrt{3}}$