Unrruly Kid

$\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}$

$\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}-\sum \frac{a}{b+c}=\sum bc(b-c)[\frac{1}{(c^2+a^2)(c+a)}-\frac{1}{(a^2+b^2)(a+b)}]$

$=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum \frac{bc(b-c)^2)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geq 0$

Vài năm rồi, mình mới động lại bất đẳng thức, mở bát đầu năm mới xua đi xui xẻo  

Để chứng minh bài toán này dễ dàng hơn thì cần dùng tới bổ đề sau (các bạn tự chứng minh thử)

Với $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1$, ta có:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+6\geq \frac{3}{2}(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Với bài toán ban đầu, ta chỉ cần chứng minh với trường hợp $a\geq b\geq c$.

Ta có $\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Áp dụng bổ đề trên thì

$\sum \frac{a^2}{b^2}+6\geq \frac{3}{2}\sum \frac{a^2+b^2}{ab}$

$\Rightarrow (\sum \frac{a}{b})^2=\sum \frac{a^2}{b^2}+\sum \frac{b}{a}+\sum \frac{b}{a}\geq \frac{3}{2}\sum \frac{a^2+b^2}{ab}-6+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}=\frac{5}{2}\sum \frac{a^2+b^2}{ab}-6$

Ta cần chứng minh

$\frac{5}{2}\sum \frac{a^2+b^2}{ab}-6\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{5}{ab}-\frac{9}{ab+bc+ca})\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{5c}{a}+\frac{5c}{b}-4)\geq 0$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$, ta có

$\frac{5a}{b}+\frac{5a}{c}-4\geq \frac{5b}{c}+\frac{5b}{a}-4\geq \frac{5c}{a}+\frac{5c}{b}-4$

Lại có $\frac{5b}{c}+\frac{5b}{a}-4+ \frac{5c}{a}+\frac{5c}{b}-4 \geq \frac{5(b^2+c^2)}{bc}-8\geq 2$

Hoàn tất chứng minh.

$9R^2-a^2-b^2-c^2=OH^2 \geq 0$ với H là trực tâm 

Chắc ý bạn là $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

$A^{2}=(\sqrt{a+c}.\sqrt{\frac{2a}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{a+b}.\sqrt{\frac{2b}{(a+b)(b+c)}}+\sqrt{b+c}.\sqrt{\frac{2c}{(c+a)(c+b)}})^{2}$

$A^{2}\leq (a+c+a+b+b+c)(\frac{2a}{(a+b)(a+c)}+\frac{2b}{(a+b)(b+c)}+\frac{2c}{(c+a)(b+c)})$

$A^{2}\leq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a))}\leq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}=9$

$A\leq 3$

https://diendantoanh...y3zxfracz2z3xy/