tr2512

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+3} \geqslant \dfrac{21}{abc+27}$$

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\sqrt{(a+2b)(a+2c)}+\sqrt{(b+2a)(b+2c)}+\sqrt{(c+2a)(c+2b)} \leq a+b+c+\sqrt{3(ab+bc+ca)}$$

Trong topic này mình sẽ gửi đến 1 số bất đẳng thức đối xứng mình thấy là hay, và mọi người cũng có thể đóng góp các bài bất đẳng thức đối xứng khác cũng như lời giải

Bài 1: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh: 

$$\dfrac{a}{7a+b+c}+\dfrac{b}{7b+a+c}+\dfrac{c}{7c+a+b} \leq \dfrac{49}{243}+\dfrac{32(ab+bc+ca)}{81(a+b+c)^2} $$

$$\text{Lê Khánh Sỹ}$$

Tổng quát hơn là:

$*$Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ và 1 số thực $k \ge 1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a}{ka+b+c}+\dfrac{b}{kb+c+a}+\dfrac{c}{kc+a+b} \leq \dfrac{3k^2-4k+28}{\left( k+2\right) ^3}+\dfrac{48(k-1)}{\left( k+2\right) ^3}\dfrac{ab+bc+ca}{\left( a+b+c\right) ^2}$$

Bài 2: Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:
  $$ \dfrac{5-3ab}{1+c}+\dfrac{5-3bc}{1+a}+\dfrac{5-3ac}{1+b} \geqslant ab+bc+ca $$
  $$\text{-Vasile Cirtoaje-}$$

Bài 3: Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ac}+\dfrac{c^3}{2c^2+ab} \leqslant \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$
$$\text{- Vasile Cirtoaje -}$$

Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh: 

$\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}} - 8 \ge 4\sqrt 2 \left( {1 - \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right)$