Darkness17

$1.$Cho $x,y,z \in N^*$ và $2^x-1=y^z$ và $x>1$. Chứng minh $z=1$.

$2.$Chứng minh rằng $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số với mọi số nguyên dương $n$.

Tìm $p,q$ là các số nguyên tố để $p^q.q^p=(2p+q+1)(2q+p+1)$

Cho $a,b>1$ và $|a-b|<1$. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}<3$

Cho các số thực $x,y,z$ không âm đôi một phân biệt. Tìm $Min$ của

$P=(x^2+y^2+z^2)[\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}]$

Bài hình (Nguồn: Thầy Lê Hữu Phước )

Đề thi thử chuyên KHTN lần 4 vòng 1

Gọi $v\,,w\,\,\,(v< w)$ là 2 nghiệm của phương trình: $2\,u^{2}- 2\,u- 1= 0$

 

 

Khi đó:

 

 

$a^{2}+ b^{2}+ x^{2}+ y^{2}+ b\,x+ ay- \sqrt{3}\,(a\,x- by)$

 

 

$= -\,vw\,[(v\,x+ wy+ a+ b)^{2}+ (-vy+ w\,x- a+ b)^{2}]\geqq 0$

Bạn có thể giải thích kĩ về cách làm của bạn được không ? Mình không hiểu cho lắm   

Cho các số thực $a,b,x,y$ thỏa mãn $ax-by=\sqrt{3}$. Tìm Min của $A=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay$

Bài 19:

Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} \ge \frac{9}{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}$

 (Sưu tầm)

P/s: bài này đừng giải theo kiểu Iran 1996

Chém tạm bài này vậy

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có

$(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}]\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geq (\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}\geq \frac{9}{4(a^2+b^2+c^2)}$$(Q.E.D)$

P/s: mọi người nên hạn chế post bài mới nên giải thêm các bài toán đã được đăng mà chưa có lời giải để tránh làm loãng Topic

Tìm $x;y$ biết $\sqrt{8-x^2}+\sqrt{2-y^2}= 6-(x+y)$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng

$(3a^2+1)(3b^2+1)(3c^2+1)\geq 64$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^3-x^2+x+y-2=0 & \\ y^3-y^2+y+2z-3=0 & \\ z^3-z^2+z+3x-4=0 & \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng

$$ab+bc+ca\geq 3+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$$

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Tìm $Max$ của 

$P=\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+2b^3+c^3+2}+\frac{1}{a^3+b^3+2c^3+2}$

Cho hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2x-2y=11 & \\ xy(x-2)(y-2)=m+1 & \end{matrix}\right.$

Tìm $m$ để hệ phương trình có $4$ nghiệm phân biệt