use your brains

Cho tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại X. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc với $BC$ tại $M$. $X'$ là điểm đối xứng với $X$ qua $I$. Chứng minh $A,M,X'$ thẳng hàng

bài này có trong quyển sách lớp 8 tham khảo nào đó thì pk, thảm khảo dưới 

Num1: 

Num2:

Num3: 

=)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

ừ bài này bổ đề lớp 8 lên lớp 10 có thể chứng minh lại bằng vecto $S_{MNRS}=\frac{1}{3}S_{ABCD}$ và tương tự trong $S_{XYZT}=\frac{1}{3}S_{MNRS}$ 

Cho tứ giác $ABCD$ và các cặp điểm $M, N, P, Q, R, S, U, V$ theo thứ tự thuộc các cạnh $AB, BC, CD,DA$ của tứ giác sao cho: $AM=MN=NB; BP=PQ=QC; CR=RS=SD; DU=UV=VA$. $VP$ theo thứ tự cắt $MS, NR$ tại $X, Y$. $QU$ theo thứ tự cắt $NR, MS$ tại $Z, T$. Chứng minh rằng diện tích tứ giác $XYZT$ bằng $\frac{1}{9}$ diện tích tứ giác $ABCD$.

Cho hai tam giác $A_1BC, A_2BC$. Gọi $I_1, I_2$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của chúng. Chứng minh rằng: $I_1I_2\leq A_1A_2$

Cho lục giác $ABCDEF$. Các điểm $M, N, P, Q, R, S$ theo thứ tự thay đổi trên các cạnh $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ sao cho: 

$\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CD}=\frac{DQ}{DE}=\frac{ER}{EF}=\frac{FS}{FA}$. Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác $MPR, NQS$ luôn đối xứng với nhau qua một điểm cố định.

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $X,Y,Z,T$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $BCD, CDA, ADB, ABC.$ Chứng minh rằng $AX,BY,CZ,DT$ đồng quy tại một điểm và điểm đó chia mỗi đoạn theo cùng một tỉ số.

Cho tam giác $ABC$ không đều. $BC$ là cạch nhỏ nhất. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác theo thứ tự tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $X, Y, Z$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $XYZ$. Trên các tia $BA, CA$ theo thứ tự lấy các điểm $E, F$ sao cho $BE=CF=BC$. Chứng minh $IG\perp EF$

P.s: đầu năm nhưng bí sml mọi người giúp một chút nha

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Trên các tia $BA, CA$ theo thứ tự lấy các điểm $E, F$ sao cho $BE=CF=BC$. Chứng minh rằng $I, E, F$ thẳng hàng.

Cho hai tam giác $ABC, A_1B_1C_1$. Gọi $A_2, B_2, C_2$ theo thứ tự là trọng tâm tam giác $A_1BC, B_1CA, C_1AB$. $G,G_1,G_2$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $ABC, A_1B_1C_1, A_2B_2C_2$. Chứng minh $G, G_1, G_2$ thẳng hàng.

Cho tứ giác $ABCD$ có $AD=BC$. Về phía ngoài tứ giác, ta dựng các tam giác bằng nhau $ADE,BCF$. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn$AB,EF,CD$ cùng thuộc một đường thẳng.

Cho góc $\widehat{xOy}$. Các đoạn $AB,CD$ có độ dài bằng nhau và theo thứ tự thuộc các tia $Ox,Oy$. Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm $AC,BD$. Chứng minh rằng $IJ$ hoặc cùng phương hoặc vuông góc với phân giác của $\widehat{xOy}$.

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $(x+2)(y+2)=\frac{25}{4}$. Chứng minh: $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\geq \sqrt{5}$

Cho x,y là các số tự nhiên thỏa mãn $3y^2+1=x^2$. Chứng minh x là tổng bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=3a^4b^4c^4$. Chứng minh:$\frac{1}{a^3b+2b^2+1}+\frac{1}{b^3c+2c^2+1}+\frac{1}{c^4a+2a^2+1}\leq \frac{3}{4}$

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=3a^4b^4c^4$. Chứng minh:$\frac{1}{a^3b+2b^2+1}+\frac{1}{b^3c+2c^2+1}+\frac{1}{c^4a+2a^2+1}\leq \frac{3}{4}$