Kiryuu Sento

Tìm tất cả các số nguyên x để  $\sqrt{x+19};\sqrt{2x+10};\sqrt{3x+13};\sqrt{4x+37}$ đều là số nguyên

1.Cho a > 0, b > 0 và $a+b\leqslant 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A=$\frac{a^{2}b^{2}}{a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{2}+b^{2}}$
 

1.Cho tứ giác ABCD có AD=BC AB<CD Gọi I, Q, H, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng
2.Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.

a.Tứ giác ACED là hình gì?
b.Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC CMR: $\frac{HM}{HK}\cdot \frac{MK}{MC}=\frac{CD}{4R}$
c. Gọi C' là điểm đối xứng với C qua A Chứng minh C' nằm trên 1 đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB ( M thuộc AB)
3.Tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 45 độ sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB,AC tại E,F. Chứng minh $S \Delta MEF < \frac{1}{4}S\Delta ABC$

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường trong (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K

a. Chứng minh BHCK là hình bình hành
b. Kẻ OM vuông góc với BC tại M. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh S AHG = 2S AGO

Cho n là số tự nhiên, tìm số nguyên tố p có 2 chữ số sao cho

p=ƯCLN(2n-3;3n+15)