Arthur Pendragon

Chứng minh được $1<x_n<2$ với mọi $n$. Xét $f(x)=1+x-\frac{x^2}{2}$. Có $x_{n+1}=f(x_n)$, và $f'(x)=1-x<0 \forall x \in (1;2)$. Từ đó chia dãy chẵn - lẻ và ta có $\lim x_{2n+1} = \lim x_{2n} = \sqrt{2}$.

Câu 10:  Ta có $(A-I)X=-B$. Cần chứng minh $A-I$ khả nghịch, hay $\det (A-I) \neq 0$, tức chứng minh $1$ không là giá trị riêng của $A$. 

Phản chứng, giả sử $\lambda =1$ là một giá trị riêng của $A$, khi đó tồn tại vector cột $x=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & ... & x_n\end{bmatrix}^T$ thỏa mãn $Ax=x$. Giả sử $\vert x_i\vert=\max \{\vert x_1\vert;\vert x_2\vert;...;\vert x_n\vert\}$. Chọn vector $x$ sao cho $\vert x_i \vert \geq 1$ và $\vert x_j\vert \leq 1$ với mọi $j \neq i$. Ta có: 

$\vert x_i \vert = \vert \sum_{j=1}^{2021} a_{ij}x_j\vert \leq \sum_{j=1}^{2021}\vert a_{ij}x_j \vert =\vert a_{ii} x_i \vert + \sum_{j=1,j \neq i}^{2021}\vert a_{ij}x_i \vert \leq \vert a_{ij} x_i\vert +\sum_{j=1,j \neq i}^{2021} \vert a_{ij} \vert < \vert a_{ii}x_i\vert + 1-\vert a_{ii}\vert$

Từ đó suy ra $1-\vert a_{ii} \vert > \vert x_i \vert (1-\vert a_{ii}\vert ) \geq 1-\vert a_{ii}\vert$, vô lý. 

Do đó $A-I$ chéo hóa được, và do đó $X=(A-I)^{-1}(-B)$, và do đó $X$ là duy nhất. 

Đặt $a=\tan x, b=\tan y, c = \tan z$ với $x,y,z \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Khi đó từ điều kiện, ta dễ có $\tan x = \tan (y-z)$, hay $x-y+z=0$. Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 

$$2\cos^2x-2\cos^2y+3\cos^2z \leq \frac{10}{3}$$

Điều kiện: $x \neq k\pi$

Phương trình tương đương với:

$2\sin^2{x}+\cos{x}=4\sin^2{x}\cos{x}+\sin{x}$

$\Leftrightarrow (2\sin^2{x}-\sin{x})-(4\sin^2{x}\cos{x}-\cos{x})=0$

$\Leftrightarrow (2\sin{x}-1)(\sin{x}-2\sin{x}\cos{x}-\cos{x})=0$

Hệ đã cho tương đương với:

$\begin{cases}2\vert x+1 \vert +\vert x-2y \vert =4 \\ (x^2+2x+1)+(x^2-4xy+4y^2)=5 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}2\vert x+1 \vert +\vert x-2y \vert =4 \\ (x+1)^2+(x-2y)^2=5 \end{cases}$