Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


nmlinh16

Đăng ký: 18-03-2018
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 05:18
-----

Chủ đề của tôi gửi

Một chút giải tích hàm

02-03-2019 - 04:18

Note này viết về một số kết quả cơ bản của giải tích hàm. Hầu như không có chứng minh nào hoặc rất tóm tắt. Mình rất mong được trao đổi.

 

Đầu tiên chúng ta bắt đầu với

 

I - Định lý Baire về phạm trù.

 

Def. Trong một không gian tô-pô,

  1. một tập $G_\delta$ là giao của một họ đếm được các tập mở,
  2. một tập $G_\delta$-trù mật là giao của một họ đếm được các tập mở trù mật.

Def. Một không gian tô-pô được gọi là Baire nếu mọi tập $G_\delta$-trù mật đều trù mật.

Nói cách khác, một không gian $X$ là Baire nếu với mọi cách viết $X$ thành giao của một họ đếm được các tập đóng, ít nhất một trong các tập đó có phần trong khác rỗng. Dễ thấy không gian con mở của một không gian Baire cũng là Baire.

 

Định lý [Baire]. Không gian mê-tríc đầy đủ và không gian Hausdorff, com-pắc địa phương là các không gian Baire.

 

Def. Một tính chất được gọi là đúng hầu khắp nơi theo nghĩa Baire nếu nó đúng trên một tập $G_\delta$-trù mật.

 

Định lý. Giả sử $X$ là một không gian Baire, $(Y,d)$ là một không gian mê-tríc và $f_n: X \to Y$ $(n \in \mathbb{N})$ là một dãy hàm liên tục, hội tụ điểm về $f$. Khi đó $f$ liên tục hầu khắp nơi theo nghĩa Baire.

 

Chứng minh

Với $n, p \in \mathbb{N}$, đặt $$F_{n,p}:= \{x \in X \, | \, \forall q \geqslant p, \, d(f_p(x),f_q(x)) \leqslant 2^{-n} \}.$$ Đây là một tập đóng, hơn nữa với mỗi $n \in \mathbb{N}$, dễ thấy $$\bigcup_{p \in \mathbb{N}}F_{n,p} = X.$$

Với $U \subseteq X$ là một tập mở tùy ý, ta có $$\bigcup_{p \in \mathbb{N}}(U \cap F_{n,p}) = U,$$ hơn nữa $U$ là một không gian Baire nên tồn tại $p = p(n,U) \in \mathbb{N}$ sao sao cho $$A_{n,U} := \text{int}(U \cap F_{n,p}) \neq \varnothing.$$

Khi đó, với mỗi $n$, $$A_n := \bigcup_{U \text{ mở}} A_{n,U}$$ là tập mở trù mật. Do đó $$A = \bigcap_{n \in \mathbb{N}}A_n$$ là một $G_\delta$-trù mật. Ta dễ dàng chứng minh được $f$ là liên tục trên $A$. $\square$

 

Ví dụ. Cho $I \subset \mathbb{R}$ là một khoảng mở, $F$ là một không gian Banach và $f: I \to F$ là một hàm khả vi. Khi đó $f'$ là liên tục hầu khắp nơi theo nghĩa Baire. (chứng minh: áp dụng lý trên cho dãy hàm $(f_n)_{n \in \mathbb{N}})$ xác định bởi $f_n(x) = n(f(x+1/n) - f(x))$.

 

 

 

II - Nguyên lý bị chặn đều, định lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng

 

Def [Tô-pô sinh bởi một họ nửa chuẩn]. Khi $E$ là một không gian véc-tơ thực và $p_\alpha: E \to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ $(\alpha \in \mathcal{A})$ là một họ các nửa chuẩn, ta có thể định nghĩa trên $E$ một tô-pô sinh bởi cơ sở là các tập có dạng $$\{y \in E \, | \, \forall \beta \in \mathcal{B},\,p_\beta(x-y) < r\}$$ trong đó $x \in E$, $r > 0$ và $\mathcal{B}$ là một tập con hữu hạn của $\mathcal{A}$. Tô-pô này khiến cho $E$ trở thành một không gian véc-tơ tô-pô.

 

Def. Một họ nửa chuẩn $(p_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$ được gọi là tách nếu với mỗi điểm $x \in E$, từ chỗ $p_\alpha(x) = 0$ với mọi $\alpha \in \mathcal{A}$ suy ra $x = 0$.

 

Không khó để chứng minh được rằng,

  1. một dãy điểm $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$  trong $E$ hội tụ về một điểm $x$ theo nghĩa tô-pô khi và chỉ khi với mọi $\alpha \in \mathcal{A}$, ta có $p_\alpha(x_n - x) \to 0$,
  2. một họ nửa chuẩn là tách khi và chỉ khi tô-pô sinh bởi họ đó là Hausdorff,
  3. tô-pô sinh bởi một họ con của $(p_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$ thì thô hơn tô-pô sinh bởi $(p_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$,
  4. một tập con $A \subseteq E$ là bị chặn khi và chỉ khi với mọi $\alpha \in \mathcal{A}$, tồn tại $C > 0$ sao cho với mọi $x \in A$, ta có $p_\alpha(x) \leqslant C$.

Def. Một không gian tiền Fréchet là một không gian véc-tơ cùng một dãy tăng các nửa chuẩn tách.

 

Khi ta có một dãy nửa chuẩn bất kỳ, ta có thể dễ dàng thay nó bởi một dãy tăng, vì tổng của hai nửa chuẩn vẫn là một nửa chuẩn.

 

Def. Giả sử $E$ là một không gian tiền Fréchet với dãy nửa chuẩn $(p_j)_{j \in \mathbb{N}}$. Khi đó ta có thể mê-tríc hóa tô-pô tương ứng bằng cách đặt $$\forall x,y \in E, \qquad d(x,y) := \sum_{j \in \mathbb{N}} 2^{-n} \min(1, p_j(x-y)).$$

Một không gian Fréchet là một không gian tiền Fréchet đầy đủ.

 

Chẳng hạn, một họ gồm một chuẩn duy nhất là một họ tách. Vì thế các không gian định chuẩn đều là tiền Fréchet và các không gian Banach đều là Fréchet.

 

Mệnh đề. Một toán tử tuyến tính $T: (E, (p_j)_{j \in \mathbb{N}}) \to (F, (q_k)_{k \in \mathbb{N}})$ giữa hai không gian tiền Fréchet là liên tục khi và chỉ khi với mọi $k \in \mathbb{N}$, tồn tại $C > 0$ và $n \in \mathbb{N}$ sao cho với mọi $x \in E$, ta có $q_k(Tx) \leqslant Cp_j(x)$.

 

Chứng minh

"Chỉ khi". Cố định $k \in \mathbb{N}$. Vì $T$ liên tục nên tồn tại lân cận mở $U$ của $0$ sao cho $q_k(Tx) < 1$ với mọi $x \in U$. Đương nhiên $U$ chứa một tập mở trong cơ sở, nghĩa là tồn tại $j \in \mathbb{N}$ và $r > 0$ sao cho $$\{x \in E \, | \, p_j(x) < r\} \subseteq U.$$ Ta lấy $C = 2/r$ và dùng tính thuần nhất của nửa chuẩn để kết luận.

 

"Khi". Cố định $x \in E$ và gọi $V$ là một lân cận mở của $Tx$ trong $F$. Tương tự như trên, tồn tại $k \in \mathbb{N}$ và $r > 0$ sao cho $$\{x \in E \, | \, q_k(y - Tx) < r\} \subseteq V.$$ Khi đó, với mọi $x' \in E$ thỏa mãn $p_j(x - x') < r/C$, ta có $q_k(Tx - Tx') < r$, nghĩa là $Tx' \in U$. Vậy $T$ liên tục tại $x$. $\square$

 

 

Định lý [Banach-Steinhauss hay Nguyên lý bị chặn đều]. Cho $(E, (p_j)_{j \in \mathbb{N}})$ là một không gian Fréchet,  $(F, (q_k)_{k \in \mathbb{N}})$ là một không gian tiền Fréchet và $T_\alpha: E \to F$ $(\alpha \in \mathcal{A})$ là một họ các toán tử tuyến tính liên tục sao cho với mọi $x \in E$, họ $(T_\alpha x)_{\alpha \in \mathcal{A}}$ là bị chặn trong $F$. Khi đó họ $(T_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$ là đồng liên tục, tức là $$\forall k \in \mathbb{N}, \exists C > 0, \exists j \in \mathbb{N},\forall x \in E, \forall \alpha \in \mathcal{A},q_k(T_\alpha x) \leqslant C{p_j}(x).$$

 

Hệ quả.

  1. Cho $(E, (p_j)_{j \in \mathbb{N}})$ là một không gian Fréchet,  $(F, (q_k)_{k \in \mathbb{N}})$ là một không gian tiền Fréchet và $T_n: E \to F$ $(n \in \mathbb{N})$ là một dãy các toán tử tuyến tính liên tục hội tụ điểm về $T$. Khi đó $T$ là một toán tử tuyến tính liên tục. Hơn nữa, nếu $x_n \to x$ thì $T_nx _n\to Tx$.
  2. Giả sử $G$ là một không gian Banach và $B \subseteq G$ là một tập con thỏa mãn: với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục $f: B \to \mathbb{R}$, $f(B)$ là bị chặn. Khi đó $B$ là bị chặn.

Chứng minh

1. Hiển nhiên theo Nguyên lý bị chặn đều và tiêu chuẩn liên tục của toán tử tuyến tính giữa hai không gian tiền Fréchet ở trên.

2. Áp dụng nguyên lý bị chặn đều cho $E = G^\ast$, $F = \mathbb{R}$ và họ toán tử $(T_b)_{b \in B}$ trong đó $T_b(f) = f(b)$, ta thấy tồn tại $C > 0$ sao cho với mọi phiếm hàm $f \in G^\ast \to \mathbb{R}$ và mọi $b \in B$, ta có $|f(b)| \leqslant C \| f \|$, từ đó dễ thấy $B$ bị chặn. $\square$

 

Định lý [Ánh xạ mở]. Mọi toán tử tuyến tính liên tục toàn ánh giữa hai không gian Fréchet đều mở.

 

Định lý [Đồ thị đóng]. Một toán tử tuyến tính giữa hai không gian Fréchet là liên tục khi và chỉ khi đồ thị của nó là đóng trong không gian tích.

 

Một bài tập vui. Cho $f$ và $f_n$ $(n \in \mathbb{N})$ là các hàm thực khả vi liên tục trên $[0,1]$. Chứng minh rằng nếu $f_n$ hội tụ đều về $f$ thì $f_n'$ hội tụ đều về $f'$.

 

 

III - Định lý Hahn - Banach

 

Định lý [Hahn - Banach dạng giải tích]. Cho $E$ là một không gian véc-tơ thực và $p: E \to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ là một phiếm hàm dưới cộng tính thuần nhất dương, nghĩa là

  1. $\forall x, y \in E$, $p(x+y) \leqslant p(x) + p(y)$,
  2. $\forall x \in E, \lambda \geqslant 0$, $p(\lambda x) = \lambda p(x)$.

Giả sử $F$ là một không gian con của $E$ và $f: F \to \mathbb{R}$ là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn bởi $p$, khi đó $f$ thác triến được thành một phiến hàm tuyến tính trên $E$, bị chặn bởi $p$.

 

Hệ quả. Giả sử $E$ là một không gian định chuẩn. Khi đó,

  1. mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên một không gian con của $E$ đều thác triển được lên toàn $E$ thành một phiếm hàm với cùng chuẩn.
  2. với mỗi $x \in E$ đều tồn tại một phiếm hàm liên tục $f$ có chuẩn bằng $x$ sao cho $f(x) = \| x \|^2$,
  3. với mỗi $x \in E$, ta có $\|x\| = \sup\limits_{\substack{f \in E^\ast \\ \|f\| \leqslant 1}}|f(x)|$.

Chứng minh

1. Giả sử $f$ là một phiếm hàm liên tục xác định trên một không gian con $F$ của $E$. Áp dụng định lý Hahn-Bach cho $p = \| f \|_{E^\ast} \cdot \| \cdot \|_E$.

2. Xét toán tử tuyến tính $f$ xác định trên đường thẳng sinh bởi $x$ cho bởi $f(x) = \|x\|^2$.

3. Bất đẳng thức $\|x\| \geqslant \sup\limits_{\substack{f \in E^\ast \\ \|f\| \leqslant 1}}|f(x)|$ là hiển nhiên. Bất đẳng thức ngược lại suy ra từ phần trên. $\square$

 

Def. Giả sử $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô. Một siêu phẳng affine trong $E$ là một tập con có dạng $$H = [f = \alpha] := \{x \in E \,| \, f(x) = \alpha\}$$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ và $f$ là một phiếm hàm tuyến tính khác $0$.

 

Mệnh đề. $H$ là đóng khi và chỉ khi $f$ là liên tục.

 

Def. Một không gian véc-tơ tô-pô được gọi lồi địa phương nếu $0$ có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi.

Rõ ràng điều kiện trên có thể thanh bởi "$0$ có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi đối xứng", vì nếu $C$ là một tập lồi trong cơ sở lân cận này thì ta chỉ cần thay nó bởi $C \cap (-C)$.

 

Def. Cho $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô và $C \subseteq E$ là một tập lồi khác rỗng và là một lân cận của $0$. Thang (gauge) của $C$ là ánh xạ cho bởi $$\|\cdot\|_C:E \to \mathbb{R}_{\geqslant 0}, \qquad x \mapsto \inf \{t > 0 \, | \, x/t \in C\}.$$

 

Tính chất của thang.

  1. $\|\cdot\|_C$ là thuần nhất dương.
  2. $\|\cdot\|_C$ là dưới cộng tính.
  3. Nếu $C$ mở thì $C = \{x \in E \, | \, \| x \|_C < 1 \}$.
  4. $\|\cdot\|_C$ là liên tục.

Chứng minh

Vì $C$ là lân cận của $0$ nên $\|\cdot\|_C$ được định nghĩa tốt.

1. Hiển nhiên.

2. Xét $x,y \in C$. Ta lấy $s, t > 0$ bất kỳ sao cho$x/s \in C$ và $y / t \in C$. Vì $C$ lồi nên $$\frac{x+y}{s+t} = \frac{s}{s+t}\cdot \frac{x}{s} + \frac{t}{s+t} \cdot \frac{y}{t} \in C,$$ do đó $\|x+y\|_C \leqslant s+t$. Điều này đúng với mọi $s$ và $t$ nên $\|x+y\|_C \leqslant \|x\|_C + \|y\|_C$.

3. Với $x \in C$, vì $C$ mở nên tồn tại $\varepsilon > 0$ sao cho $(1 + \varepsilon)x \in C$. Từ đó $\| x\|_C\leqslant 1/(x + \varepsilon) < 1$. Ngược lại. nếu $x \in E$ sao cho $\| x\|_C < 1$ thì tồn tại $t \in (0,1)$ sao cho $x/t \in C$. Vì $C$ lồi và chứa $0$ nên $x \in C$.

4. Vì tính dưới cộng tính nên ta chỉ cần chứng minh $\|\cdot\|_C$ là liên tục tại $0$. Thật vậy, cho $\varepsilon > 0$, khi đó tồn tại lân cận mở $V_\varepsilon$ của $0$ sao cho $V_\varepsilon \subseteq \varepsilon C$. Từ đó ta thấy, với mọi $x \in V_\varepsilon$ thì $\|x\|_C \leqslant \varepsilon$. $\square$

 

Ta có kết quả thú vị sau đây.

 

Định lý. Một không gian véc-tơ tô-pô là lồi địa phương khi và chỉ khi tô-pô của nó được sinh bởi một họ nửa chuẩn.

Chứng minh

"Chỉ khi". Giả sử $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô lồi địa phương. Gọi $\mathcal{V}$ là cơ sở lân cận của $0$ gồm các tập lồi mở đối xứng (nếu $C$ là một tập lồi mở, ta thay nó bởi $C \cap (-C)$). Gọi$\mathcal{P}$ là tô-pô sinh bởi họ nửa chuẩn $(\|\cdot\|_C)_{C \in \mathcal{V}}$ và $\mathcal{T}$ là tô-pô ban đầu của $E$. Ta chứng minh $\mathcal{T} = \mathcal{P}$.

  • Nếu $V \in \mathcal{T}$ là lồi và đối xứng thì theo tính chất của thang, ta có $V = \{x \in E \, | \, \| x \|_V < 1 \}$, nên hiển nhiên $V \in \mathcal{P}$. Vậy $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}$.
  • Xét một tập $U$ trong cơ sở của $\mathcal{P}$, nghĩa là $U = \{x \in E \,|\, \forall 1 \leqslant i \leqslant k, \|x\|_{V_i} < r\}$ (ta chỉ cần xét lân cận của $0$ do tính đối xứng của không gian véc-tơ tô-pô). Với $V_1,\ldots,V_k \in \mathcal{V}$ và $r > 0$. Khi đó $C = \bigcap_{i=1}^k rV_i \in \mathcal{T}$ là một lân cận lồi đối xứng của $0$. Dễ thấy $C \subseteq U$. Từ đây ta có $U \in \mathcal{T}$. Vậy $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{T}$.

"Khi". Giả sử tô-pô của $E$ được sinh bởi họ nửa chuẩn $(p_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$. Với mỗi tập hữu hạn $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ và $r > 0$, dễ thấy tập hợp $$\{x \in E \,| \, \forall b \in \mathcal{B}, p_b(x) < r\}$$ là lồi. Chúng tạo nên một cơ sở lân cận lồi của $0$. $\square$

 

Định lý [Hahn-Banach dạng hình học]. Giả sử $A, B$ là hai tập lồi khác rỗng rời nhau của một không gian véc-tơ tô-pô $E$.

  1. Nếu $A$ mở thì tồn tại một siêu phẳng affine đóng $H = [f = \alpha]$ tách $A$ và $B$, nghĩa là $f(x) \leqslant \alpha \leqslant f(y)$ với mọi $x \in A$ và $y \in B$.
  2. Nếu $E$ lồi địa phương, $A$ compact và $B$ đóng thì tồn tại một siêu phẳng affine đóng $H = [f = \alpha]$ tách chặt $A$ và $B$, nghĩa là tồn tại $\varepsilon > 0$ sao cho $f(x) + \varepsilon \leqslant \alpha \leqslant f(y) - \varepsilon$ với mọi $x \in A$ và $y \in B$.

Chứng minh

Ta chứng minh

Bổ đề. Cho $C \subseteq E$ là một tập lồi mở và $x_0 \notin C$. Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục $\ell: E \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $x \in C$, ta có $\ell(x) < \ell(x_0)$.

Chứng minh bổ đề. Ta có thể giả sử $0 \in C$. Ta biết rằng $C = \{x \in E \,|\, \| x \| < 1\}$, vì thế $\|x_0\| \geqslant 1$. Gọi $f$ là phiếm hàm tuyến tính xác định trên đường thẳng sinh bởi $x_0$ thỏa mãn $f(x_0) = 1$. Khi đó $f$ bị chặn trên bởi $\| \cdot \|_C$. Theo định lý Hahn-Banach, $f$ thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính $\ell: E \to \mathbb{R}$ bị chặn bởi $\| \cdot \|_C$. Vì $C$ là lân cận của $0$ và ta dễ thấy với $\varepsilon > 0$ thì $ \ell(x) \geqslant \varepsilon$. Do đó $\ell$ là liên tục. Hiển nhiên ta có $\ell(x) \leqslant \|x\|_C < 1 = \ell(x_0)$ với mọi $x \in C$. $\square$

 

Trở lại định lý.

1. Ta áp dụng bổ đề trên cho $C = A - B$ và $x_0 = 0$.

2. Vì tính compact của $A$, ta có thể chọn được $n$ điểm $x_1,\ldots,x_n \in A$ và các lân cận mở $V_1,\ldots,V_n,V_1',\ldots,V_n'$ của $0$ sao cho

  • $(x_i + V_i) \cap A = \varnothing$.
  • $V_i' + V_i' \subseteq V_i$.
  • $A \subseteq \bigcup_{i=1}^n (x_i + V_i')$.

Gọi $W$ là lân cận mở của $0$ sao cho $$W + (-W) \subseteq \bigcap_{i=1}^n V_i'.$$ Khi đó $A' := A + W$ và $B' := B+W$ là hai tập lồi mở rời nhau. Ta áp dụng kết quả phần 1. cho $A'$ và $B'$. Cuối cùng, vì $W$ là lân cận của $0$ nên nó chứa tất cả các hướng, vì thế tồn tại $w_0 \in W$ sao cho $\ell(w_0) > 0$. Ta lấy $\varepsilon = \ell(w_0)$. $\square$

 

 

 

IV - Định lý Krein-Milman

 

Def. Cho $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô và $K$ là một tập con của $E$. Một tập con khác rỗng $A \subseteq K$ được gọi là một diện của $K$ nếu nó com-pắc và nếu với mọi $x,y \in K$, từ chỗ tồn tại $\lambda \in (0,1)$ sao cho $\lambda x + (1-\lambda)y \in A$ suy ra $x,y \in A$.

Một điểm $x_0 \in K$ được gọi là một điểm cực biên nếu $\{x_0\}$ là một diện.

 

Mệnh đề. Nếu $A$ là một diện của $K$ thì mỗi diện của $A$ đều là một diện của $K$.

 

Định lý [Krein-Milman]. Giả sử $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô lồi địa phương, Hausdorff và $K \subseteq E$ là một tập lồi com-pắc. Khi đó $K$ là bao lồi đóng của các điểm cực biến của nó.

 

Chứng minh

1. Đầu tiên ta chứng minh $K$ có ít nhất một điểm cực biên. Fact: Phần này của định lý tương đương với tiên đề chọn.

Trên tập $\mathcal{P}$ các diện của $K$, ta định nghĩa một quan hệ thứ tự: $A \leqslant B$ nếu $A \supseteq B$. Nếu $\mathcal{Q} \subseteq \mathcal{P}$ được sắp thứ tự toàn phần, ta thấy $$\bigcap_{A \in \mathcal{Q}}A$$ là một diện của $K$ (do tính chất giao hữu hạn của tập com-pắc), vì thế đây là một chặn trên cho $\mathcal{Q}$. Theo bổ đề Zorn, tồn tại một diện $M$ cực đại theo quan hệ $\leqslant$. Ta chứng minh $|M| = 1$. Thật vậy, giả sử phản chứng rằng tồn tại $x_0,x_1 \in M$ với $x_0 \neq x_1$. Theo định lý Hahn-Banach dạng hình học, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục $f: E \to \mathbb{R}$ sao cho $f(x_0) < f(x_1)$. Đặt $$N = \{x \in M \,| \, f(x) = \inf_Mf\}.$$ Thế thì $N$ là một diện của $K$ (thứ nhất, $N \neq \varnothing $ vì $M$ là com-pắc; thứ hai $N$ cũng com-pắc vì nó đóng; tính chất còn lại trong định nghĩa diện được chứng minh dễ dàng). Mặt khác $x_1 \notin N$, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của diện $M$.

2. Gọi $\mathcal{E}$ là tập các điểm cực biên của $K$. Đương nhiên $K$ chứa bao lồi đóng của $\mathcal{E}$. Ta giả sử phản chứng rằng tồn tại điểm $x_0 \in K$ không nằm trong bao lồi đóng của $\mathcal{E}$. Theo định lý Hahn-Bach dạng hình học, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục $f: E \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $x \in \mathcal{E}$, ta có $f(x) < f(x_0)$. Tương tự nhiên trên, ta thấy $$A = \{x \in K \,| \, f(x) = \sup_K f\}$$ là một diện của $K$. Vì thế, nó có ít nhất một điểm cực biên $x_1$. Hiển nhiên $x_1$ cũng là một điểm cực biên của $K$ (mệnh đề trên), nghĩa là $x_1 \in \mathcal{E}$. Nhưng như vậy ta có $f(x_1) < f(x_0)$, mâu thuẫn. $\square$


Đề thi Concours SMF Junior 2018

11-12-2018 - 03:06

Concours SMF Junior là cuộc thi do Hội Toán học Pháp (Société Mathématique de France) tổ chức, với đối tượng hướng đến là những người đang học ở trình độ Master 1 ngành Toán của tất cả các trường đại học ở Pháp. 2018 là năm thứ hai cuộc thi được tổ chức. Hình thức thi như sau: Thi theo đội, mỗi đội tối đa 3 người. Trong một tuần (năm 2018 vừa qua là tuần nghỉ lễ Toussaint ở Pháp), đề thi được công bố online và các đội nộp mỗi bài giải cho từng bài toán. Có tất cả 10 bài toán thuộc 10 lĩnh vực khác nhau: Đại số, Giải tích, Tổ hợp - Mật mã, Hình học, Mô hình, Xác suất, Hệ động lực, Lý thuyết độ đo, Lý thuyết số, Tô-pô.

Dưới đấy là đề thi đã được dịch, mình đã đính kèm đề thi gốc bằng tiếng Pháp.

Bài 1. Với $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ là một hàm liên tục, ta ký hiệu $$\Gamma_f = \{(x,f(x)), \, x \in [0,1]\} \subset \mathbb{R}^2$$ là đồ thị của nó. Gọi $C \subset \mathbb{R}^2$ là bông tuyết Von Koch. Có tồn tại hay không một dãy các hàm liên tục $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$, với $f_n: [0,1] \to \mathbb{R}$ và một dãy $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ các phép đẳng cự của mặt phẳng sao cho $$C \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}}T_n(\Gamma_{f_n}) ?$$

Bài 2. Chứng minh rằng với $p,q,r$ là ba số nguyên tố phân biệt tùy ý, phương trình $$x^p + y^q = z^r$$ có nghiệm nguyên dương $(x,y,z)$.

Bài 3. Đầu tiên, bài toán này giới thiệu về hệ động lực độ đo, định lý ergodic Birkhoff, martingale và định lý hội tụ Doob.
Cho $(X,\mathcal{B}, \mu)$ là một không gian xác suất và $T: X \to X$ là một ánh xạ đo được và bảo toàn độ đo. Gọi $\mathcal{J}$ là $\sigma$-đại số con của $\mathcal{B}$ gồm các tập $T$-bất biến, nghĩa là $A \in \mathcal{J} \iff T^{-1}(A) = A$.
Giả sử $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ là một dãy giảm các số thực trong $[0,1]$ sao cho $\sum_{n \in \mathbb{N}} p_n = \infty$ và $(\xi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập với $(X,\mathcal{B}, \mu)$ sao cho với mỗi $n \in \mathbb{N}$, $\xi_n$ tuân theo luật Bernoulli với tham số $p_n$ (nghĩa là $\mathbb{P}(\xi_n = 1) = p_n = 1 - \mathbb{P}(\xi_n = 0)$. Xét tập hợp ngẫu nhiên $\chi = \{n \in \mathbb{N}: \xi_n = 1\}$.

1. Với $c > 0$, khảo sát sự hội tụ của chuỗi $$\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{p_n}{(p_1 + \cdots + p_n)^c}.$$
2. Chứng minh rằng, với mọi hàm bình phương khả tích $f: X \to \mathbb{R}$, hầu như chắc chắn rằng, với $\mu$-hầu như tất cả $x$, $$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{|\chi \cap [1,N]|} \sum_{n \in \chi \cap [1,N]} f(T^n x) = \mathbb{E}(f | \mathcal{J}),$$ và giới hạn này đúng cả theo nghĩa $L^2(\mu)$.

Bài 4. Pedro và Dilma chơi một trò chơi như sau trên đĩa đóng đơn vị $B$ của $\mathbb{R}^2$ (theo mê-tríc Euclid). Pedro bắt đầu bằng việc vẽ một điểm $P_1 \in B$, sau đó Dilma vẽ một đường thẳng $D_1$ đi qua $P_1$. Sau đó, Pedro vẽ một điểm $P_2 \in B \cap D_1$, sau đó Dilma vẽ một đường thẳng $D_2$ đi qua $P_2$. Tiếp tục như vậy, ta được dãy điểm $(P_n)_{n \ge 1}$ và dãy đường thẳng $(D_n)_{n \ge 1}$. Nếu dãy $(P_n)_{n \ge 1}$ hội tụ, Dilma là người thắng. Ngược lại, Pedro là người thắng. Có ai trong hai người chơi có chiến thuật để thắng hay không? Nếu có, ai?

Bài 5. Cho $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ là một không gian xác suất. Một du động ngẫu nhiên trên $\mathbb{Z}$ là một dãy biến ngẫu nhiên $S = (S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ trong đó $S_0 = 0$ và $$S_n = X_1 + \cdots + X_n$$ với $(X_i)_{i \ge 1}$ là một dãy biến ngẫu nhiên với giá trị nguyên, độc lập và cùng luật, định nghĩa trên $(\Omega, \mathcal{F})$. Du động ngẫu nhiên được gọi là đối xứng nếu với mọi $n \in \mathbb{N}$, $\mathbb{P}(X_1 = n) = \mathbb{P}(X_1 = -n)$.
Có thể chứng minh được rằng, với mọi du động ngẫu nhiên,
- hoặc, hầu như chắc chắn rằng du động ngẫu nhiên đi qua $0$ vô hạn lần (khi đó ta nói du động ngẫu nhiên là recurrent)
- hoặc, hầu như chắc chắn rằng du động ngẫu nhiên chỉ đi qua mỗi điểm của $\mathbb{Z}$ một số hữu hạn lần (khi đó ta nói du động ngẫu nhiên là transient).
Chúng ta thừa nhân một tiêu chuẩn giải tích của Chung và Fuchs về tính recurrent/transient của một du động ngẫu nhiên, dựa vào luật của $X_1$: $$\text{S là transient} \iff \Re\left(\int_0^1\frac{dy}{1 - \mathbb{E}[e^{iyX_1}]} \right) < +\infty.$$
Khi du động ngẫu nhiên là đối xứng, tiêu chuẩn trên trở thành: $$\text{S là transient} \iff \int_0^1 \left(\sum_{n \ge 1} \mathbb{P}(X_1 = n)(1 - \cos (yn)) \right)^{-1} < +\infty.$$
1. Giả sử $X_1$ có kỳ vọng. Chứng minh rằng $S$ là recurrent khi và chỉ khi $\mathbb{E} X_1 = 0$.
2. Giả sử $\alpha, c$ là các số dương sao cho khi $n \to +\infty$, ta có $$\mathbb{P}(X_1 = n) = \mathbb{P}(X_1 = -n) \sim \frac{c}{n^{1 + \alpha}}.$$ Với giá trị nào của $\alpha$ thì $S$ là recurrent?
3. Tồn tại hay không hai du động ngẫu nhiên transient $S$ và $S'$ độc lập và khác luật với nhau sao cho $S + S'$ là recurrent? Trong trường hợp $S$ và $S'$ là đối xứng, liệu có tồn tại hay không?
4. Tồn tại hay không hai du động ngẫu nhiên recurrent $S$ và $S'$, đối xứng, độc lập và khác luật với nhau sao cho $S + S'$ là recurrent?

Bài 6. Xét một giọt mực hình cầu (trong 2 chiều: hình tròn) ngâm trong một chất lỏng. Chất lỏng đang chuyển động với vận tốc đã biết: Trường vân tốc là trường dừng (không phụ thuộc vào thời gian) và chính quy (không suy biến) theo biến không gian. Giả sử chất lỏng được chứa trong một vật chứa bị chặn và vận tốc của chất lỏng trên (thành của) vật chứa này bằng 0. Chất lỏng di chuyển và làm biến dạng giọt mực (bỏ qua sự khuếch tán và trọng lực). Mục tiêu của bài toán này là mô tả định tính và định lượng các đặc điểm của giọt mực theo thời gian.
1. Chứng minh rằng giọt mực không bao giờ chạm vào (thành của) vật chứa.
2. Tính liên thông của giọt mực có được bảo toàn theo thời gian không? Tính đơn liên thì sao?
3. Thể tích (trong 2 chiều: diện tích) của giọt mực thay đổi theo thời gian như thế nào?
4. Tìm một trường vân tốc sao cho giọt mực mất tính lồi sau một thời gian nhất định.
5. Chứng minh rằng, trong hai chiều, giọt mực giữ được tính lồi trong một khoảng thời gian đủ nhỏ. Xác định thời điểm giọt mực bắt đầu mất tính lồi như một hàm của trường vận tốc.
6. Tính com-pắc, tính trơn của biên, ... được bảo toàn bởi trường vân tốc. Tìm một (vài) trường vận tốc sao cho khi thời gian đủ dài, giọt mực hội tụ đến một hình dạng mà không còn một (vài) tính chất như trên nữa.

Bài 7. Tồn tại hay không một độ đo xác suất trên mặt phẳng sao cho: Nếu chọn ba điểm trên mặt phẳng một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau, xác suất để ta thu được một tam giác nhọn là lớn hơn $\frac{1}{2}$.

Bài 8. Một đa thức bậc $P$ với bậc $n$ được gọi là phản đối xứng nếu $P(-X) = X^n P(\tfrac{1}{X})$. Chứng minh rằng, một đa thức phản đối xứng với hệ số nguyên lẻ không thể có nghiệm trên đường tròn đơn vị của $\mathbb{C}$.

Bài 9. Cho $A$ là một tập hợp hữu hạn. Một từ hữu hạn trên bảng chữ cái $A$ là một dãy $u = (u_n)_{1 \le n \le \ell}$ các phần tử của $A$, mà ta sẽ viết đơn giản là $u = u_1\ldots u_{\ell}$. Số nguyên $\ell$ được gọi là độ dài của $u$, ký hiệu bởi $|u|$. Một từ vô hạn trên $A$ là một dãy $\mathbf{a} = (a_n)_{n \ge 1}$ các phần tử của $A$. Một từ hữu hạn $u$ là một từ con của một từ (hữu hạn hặc vô hạn) $v$ nếu tồn tại số nguyên $j$ sao cho $u = v_j \ldots v_{j + |u|-1}$.
Một từ vô hạn $\mathbf{a}$ được gọi là có độ hụt bị chặn nếu với mọi từ con $u$ của $\mathbf{a}$, tồn tại số nguyên $\ell$ sao cho mọi từ con $v$ của $\mathbf{a}$ với độ dài $\ell$ đều chứa $u$ như một từ con.
Một từ vô hạn $\mathbf{a}$ được gọi là một $T$-từ nếu nó thỏa mãn tính chất sau đây. $$\forall n \in \mathbb{N}, \exists p \in \mathbb{N} - \{0\},\forall k \in \mathbb{N}, a_{n + kp} = a_n.$$
Cho $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ là hai từ vô hạn lần lượt trên các bảng chữ cái $A$ và $B$. Tích $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ của chúng được định nghĩa là từ $\mathbf{c} = (c_n)_{n \ge 1}$ trên bảng chữ cái $A \times B$ với $c_n = (a_n,b_n)$.
1. Chứng minh rằng mọi $T$-từ đều có độ hụt bị chặn.
2. Cho $\mathbf{d} = (d_n)_{n \ge 1}$ là từ vô hạn được cho bởi $$d_n = \begin{cases} 1, & \text{nếu } s_2(n) \neq s_2(n+1) \pmod 2 \\ 0, & \text{nếu ngược lại}\end{cases}$$ với $s_2(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong biểu diễn nhị phân. Chứng minh rằng $\mathbf{d}$ là một $T$-từ.
3. Chứng minh rằng nếu $\mathbf{a}$ là một $T$-từ trên $A$ và $\mathbf{b}$ là một từ vô hạn có độ hụt bị chặn trên $B$ thì $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ là có độ hụt bị chặn.

Bài 10. Tồn tại hay không một bộ hữu hạn các điểm được tô màu đen và trắng trên mặt phẳng thỏa mãn cả hai tính chất sau đây hay không?
1. Với mọi điểm đen, có đúng 10 điểm trắng cách nó 1 đơn vị độ dài.
2. Số điểm đen nhiều hơn số điểm trắng.