Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


nmlinh16

Đăng ký: 18-03-2018
Offline Đăng nhập: 17-11-2020 - 15:30
*----

Chủ đề của tôi gửi

Hercules và Hydra

21-09-2020 - 19:06

Giả sử Hercules phải tiêu diệt một con Hydra. Nó được mô tả như ở Hình 1. Nếu ai đã biết đến lý thuyết đồ thị: Một con Hydra đơn giản là một cây có gốc (rooted tree). Gốc cây (màu đỏ) là thân của Hydra và lá cây (màu xanh lá) là các đầu của nó.
Trong một cây có gốc, nếu hai đỉnh (node) được nối với nhau thì đỉnh gần gốc hơn sẽ được gọi là đỉnh cha (parent node) và đỉnh xa gốc hơn được gọi là đỉnh con (child node). Trong Hình 1, mỗi mũi tên đều trỏ từ một đỉnh vào một đỉnh con của nó. Lá cây là các đỉnh không có đỉnh con.
 

File gửi kèm  hinh1.png   30.23K   8 Số lần tải

Hình 1. Ví dụ về Hydra (cây có gốc). Gốc cây là phần thân. Lá cây là các đầu.

 

Hercules sẽ chặt từng chiếc đầu của con Hydra. Mỗi khi một đầu bị chặt con Hydra sẽ mọc thêm nhiều đầu mới theo quy tắc như sau:

  • Nếu đầu bị chặt nối trực tiếp với thân, không mọc thêm đầu mới.
  • Nếu không, gọi $H$ là đầu bị chặt, gọi $P$ là đỉnh cha của $H$ và gọi $G$ là đỉnh cha của $P$ ($P$ không phải gốc cây). Đánh dấu đỉnh $P$ và toàn bộ con cháu của nó (trừ đỉnh $H$ đã bị chặt), và mọc từ đỉnh $G$ thêm một số bản sao (bao nhiêu cũng được) của phần vừa đánh dấu. Người đọc có thể xem Hình 3 về ví dụ sau 3 lần chặt.

File gửi kèm  hinh2.png   95.03K   8 Số lần tải

Hình 2. Chặt đầu H. Hydra mọc thêm từ G 3 bản sao của phần được đánh dấu màu xanh.

 

File gửi kèm  hinh3.jpg   22.59K   8 Số lần tải

Hình 3. Hydra sau 3 lần chặt.

 

Câu hỏi: Có cách nào để Hercules tiêu diệt con Hydra hay không?

 

Trả lời: Hercules luôn có cách để thắng.

 

Tuy nhiên câu trả lời trên chưa thực sự ấn tượng. Ta có câu trả lời tiếp theo, đó chính là nội dung của định lý Goodstein [1]. Tất nhiên phát biểu định lý hơi rắc rối một chút, nhưng có thể mô tả trực quan như trên.

 

Định lý Goodstein. Hercules không thể thua. Cho dù có chặt theo cách nào thì sau một số hữu hạn lần, Hydra sẽ bị tiêu diệt.

 

Để chứng minh định lý này, ta cần sử dụng khái niệm số thứ tự [2] và các phép toán (cộng, nhân, lũy thừa) trên số thứ tự [3]. Người đọc có thể tham khảo chứng minh ở [4]. Nói thêm về điều này. Lý thuyết tập hợp (set theory) do nhà toán học Cantor sáng lập cho phép mô tả các đối tượng vô hạn. Có nhiều vấn đề về vô hạn rất phản trực giác, chẳng hạn, khách sạn vô hạn của Hilbert (xem [5]). Sự thật là các mức độ vô hạn có thể so sánh được với nhau, chẳng hạn: Số các số tự nhiên, số các số nguyên và số các số hữu tỉ đều bằng nhau, nhưng số các số thực thì nhiều hơn số các số tự nhiên (xem thêm: suy luận đường chéo của Cantor [6]). Để đo sự vô hạn lại có hai khái niệm: Số thứ tự (ordinal number) và số đếm (cardinal number). Số thứ tự hữu hạn và số đếm hữu hạn đều giống nhau, đó là các số tự nhiên quen thuộc. Nhưng số thứ tự vô hạn và số đếm vô hạn rất khác nhau. Các phép toán trên số thứ tự vô hạn khó hơn nhiều. Chẳng hạn, nếu $\omega$ là số thứ tự vô hạn nhỏ nhất thì $1 + \omega = \omega$, nhưng $\omega + 1 > \omega$. Ngược lại, nếu $a, b$ là hai số đếm và một trong hai là vô hạn thì ta luôn có $a+b = ab = \text{max}\{a,b\}$.

 

Quay lại với định lý Goodstein. Đây là một định lý có thể phát biểu bằng số học sơ cấp (số học sơ cấp, theo ý người viết, là hệ tiên đề Peano, xem [7]). Ta có

 

Định lý Kirby-Paris. Lý thuyết nào đủ mạnh để chứng minh định lý Goodstein thì cũng đủ mạnh để chứng minh rằng số học sơ cấp là phi mâu thuẫn (consistent).

 

Chứng minh của định lý này khó hơn nhiều [8]. Định lý Gödel (Gödel's second incompleteness theorem) nói rằng, nếu số học sơ cấp có thể chứng minh rằng bản thân nó là phi mâu thuẫn, thì thực ra nó là mâu thuẫn [9]. Như vậy, định lý Goodstein không thể chứng minh được bằng số học sơ cấp (trừ khi bản thân số học sơ cấp là mâu thuẫn, chú ý rằng một lý thuyết mâu thuẫn có thể chứng minh mọi thứ, nghĩa là nó không phân biệt được đúng sai). Có rất nhiều chứng minh rằng số học sơ cấp là phi mâu thuẫn. Chẳng hạn, Gentzen, một nhà toán học, logic học nổi tiếng, đã đưa ra không dưới 4 chứng minh. Tất nhiên, các chứng minh này phải dùng lý thuyết bên ngoài số học sơ cấp. Nếu muốn chứng minh lý thuyết này là phi mâu thuẫn thì lại phải tiếp tục mở rộng nó. Không có bữa trưa miễn phí trong logic bậc nhất.

 

Người đọc có thể thử sức với trò chơi tiêu diệt Hydra ở [11].

 

Tham khảo:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_arithmetic

[4]

[5]

[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument

[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms

[8] L. Kirby, J. Paris, Accessible Independence Results for Peano Arithmetic. https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/blms/14.4.285

[9] https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems

[10] http://home.uchicago.edu/~wwtx/Gentzen.original.pdf

[11] https://github.com/andrejbauer/hydra


Ba giai đoạn của quá trình học toán, theo Terence Tao

20-03-2020 - 05:15

The history of every major galactic civilization tends to pass through three distinct and recognizable phases, those of Survival, Inquiry and Sophistication, otherwise known as the How, Why, and Where phases. For instance, the first phase is characterized by the question ‘How can we eat?’, the second by the question ‘Why do we eat?’ and the third by the question, ‘Where shall we have lunch?’ (Douglas Adams, “The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy“)

 

Dịch từ bài đăng của Terence Tao: https://terrytao.wor...our-and-proofs/

 

Việc học toán có thể chia thành ba giai đoạn:

  1. Giai đoạn trước sự chặt chẽ: Toán học được dạy theo xu hướng trực giác, không câu nệ, dựa trên những ví dụ và những khái niệm mờ. Chẳng hạn, giải tích (phương pháp tính, từ gốc: calculus) bắt đầu với những khái niệm như độ dốc (hệ số góc), diện tích, tốc độ thay đổi,... Việc dạy toán trong giai đoạn này tập trung vào tính toán hơn là lý thuyết. Giai đoạn này thường kéo dài đến hết những năm đầu của đại học.
  2. Giai đoạn của sự chặt sẽ: Toán học được dạy để người học có thể thực sự "làm toán". Người học cần suy nghĩ một cách chính xác và hình thức hơn (chẳng hạn, chứng minh lại toàn bộ các kết quả giải tích bằng ngôn ngữ $\varepsilon-\delta$). Lúc này chúng ta tập trung vào lý thuyết; và người học cần có kỹ năng làm việc với các đối tượng trừu tượng mà không cần quá tập trung vào việc các đối tượng đó "có ý nghĩa gì". Giai đoạn này diễn ra vào những năm cuối của đại học và những năm đầu sau đại học.
  3. Giai đoạn sau sự chặt chẽ: Ở giai đoạn này, người học đã quen với toàn bộ nền tảng chặt chẽ của toán học, ít nhất là ở chuyên ngành của mình. Người học đã sẵn sàng quan sát và tinh luyện các khái niệm trực giác ở Giai đoạn 1, nhưng là với nền tảng lý thuyết chặt chẽ. Chẳng hạn, người học có thể thực hiện các tính toán Giải tích véc-tơ một cách nhanh chóng và chính xác dựa trên Giải tích trên các con số vô hướng; có thể sử dụng một cách không-hoàn-toàn-chính-thức và gần-chặt-chẽ các khái niệm vô cùng bé, O lớn, v.v.; và có khả năng chuyển các tính toán như vậy thành các lập luận chính xác khi cần. Giai đoạn này tập trung vào ứng dụng, trực giác và "big picture" của toán học.

Việc chuyển từ Giai đoạn 1 sang Giai đoạn 2 được biết đến là rất "đau đớn", với những câu hỏi dạng "chứng minh" thay vì "tính toán", được coi như nỗi ác mộng của các sinh viên. Tuy nhiên, việc chuyển từ Giai đoạn 2 sang Giai đoạn 3 cũng không kém phần quan trọng, và không được phép bỏ qua.

 

Hiển nhiên là việc biết cách suy nghĩ chặt chẽ rất quan trọng; nó mang lại khả năng tránh các lỗi cơ bản và loại bỏ những sự hiểu lầm phổ biến. Thật không may là nó đang mang lại một hệ quả ngoài ý muốn, rằng những dạng tư duy "mờ", "trực giác" (heuristic reasoning, ngoại suy một cách có lý từ những ví dụ, tương tự hóa...) bị coi là "không chặt chẽ". Điều thường xuyên xảy ra là người học mất đi trực giác vốn có của mình và chỉ có thể làm toán ở mức độ hình thức, rồi bị kẹt lại ở Giai đoạn 2. (Ví dụ, khả năng đọc hiểu các bài báo toán học sẽ bị ảnh hưởng, tạo ra một lối suy nghĩ trực nghĩa thái quá, để rồi bị "lỗi biên dịch" như một cái máy khi gặp chỉ một lỗi chính tả chẳng hạn).

 

Mục đích của sự chặt chẽ không phải là loại bỏ hoàn toàn trực giác, mà là để loại bỏ những trực giác tệ hại và lọc ra những trực giác tốt. Để giải quyết một bài toán phức tạp, cần phải kết hợp cả khả năng suy luận hình thức chặt chẽ và trực giác lành mạnh: trước hết bạn cần phải thực hiện chính xác các chi tiết nhỏ, sau đó là bức tranh lớn. Nếu chỉ có một trong hai, bạn sẽ mất rất nhiều thời gian mò mẫm trong bóng tối và sai lầm (có thể sẽ mang tính xây dựng, nhưng cực kỳ thiếu hiệu quả). Vì thế, một khi bạn đã quen với việc tư duy hình thức trong toán học, bạn nên quay lại quan sát, sử dụng kỹ năng tư duy mới này để kiểm tra, tinh luyện trực giác trước đây thay vì loại bỏ hoàn toàn chúng. Một trong nhiều cách làm điều này là tự đặt những câu hỏi ngây thơ, hoặc học lại một lĩnh vực nào đó.

 

Xem thêm:

Chú ý rằng người làm toán cả ba giai đoạn trên đều có thể mắc những sai sót hình thức khi viết về toán. Tuy nhiên bản chất của những sai sót này thường khác nhau, phụ thuộc vào từng giai đoạn:

  1. Người làm toán ở giai đoạn trước sự chặt chẽ thường mắc những lỗi hình thức vì họ không hiểu cách vận hành của tính hình thức trong toán học, và áp dụng những quy tắc hình thức hoặc suy luận heuristic một cách mù quáng. Rất khó để người làm toán ở giai đoạn này có thể nhận ra  và sửa những lỗi đó, ngay cả khi có người khác chỉ ra rõ ràng cho họ.
  2. Người làm toán ở giai đoạn của sự chặt chẽ vẫn có thể mắc những lỗi hình thức vì họ chưa hoàn toàn kỹ năng tư duy hình thức, hoặc không có khả năng thực hiện các suy luận kiểu kiểm-tra-tính-lý-trí của các trực giác (sanity check), hoặc một lỗi do bất cẩn như sai dấu, bỏ sót giả thiết quan trọng,... Tuy nhiên, họ thường phát hiện (và thường sửa được) khi được chỉ ra những lỗi đó.
  3. Người làm toán ở giai đoạn sau của sự chặt chẽ không phải là bất khả chiến bại. Họ vẫn có thể mắc những lỗi hình thức khi viết. Tuy nhiên lí do thường là vì họ không còn cần tính hình thức để có thể suy luận toán học ở trình độ cao, và thường thực hiện quá trình tư duy phần lớn nhờ trực giác, thứ mà sau đó được dịch (có thể là, một cách không chính xác) thành ngôn ngữ toán học hình thức.

Sự phân biệt giữa ba kiểu sai sót trên có thể dẫn đến hiện tượng một người-làm-toán-ở-giai-đoạn-3 mắc những "lỗi địa phương" (chính tả, hình thức,...) nhưng suy luận toàn cục là hợp lý, và các lỗi địa phương có thể lây lan một chút trước khi tự triệt tiêu lẫn nhau (điều này có thể gây khó khăn với người đọc ở trình độ thấp hơn). Ngược lại, khi không được kiểm nghiệm bởi một trực giác lành mạnh, một sai sót của môt người-làm-toán-ở-giai-đoạn-nhỏ-hơn-3 có thể lây lan đến mức không thể kiểm soát nổi, và sau cùng là một lời giải vô nghĩa. Xem thêm: https://terrytao.wor...to-detect-them/ và https://www.youtube....h?v=48Hr3CT5Tpk.


Logic bậc nhất: Tính đúng đắn vs. tính chặt chẽ

14-01-2020 - 22:48

Khác với định lý về tính không đầy đủ (incompleteness theorem) của Gödel, định lý về tính đầy đủ (completeness theorem) ít được biết đến (và bị xuyên tạc) với đại chúng hơn. Lý do là vì phát biểu của định lý này trông "có vẻ" không có gì đặc biệt. Định lý được hiểu nôm na như sau: (trong logic bậc nhất) cái gì chứng minh được thì luôn đúng, cái gì luôn đúng thì chứng minh được. Nghe thật lạ. Thế nào gọi là đúng? Chẳng phải đó "chứng minh" có nghĩa là như vậy sao? Không hẳn. Khái niệm "đúng" và "chứng minh" trong phát biểu trên được hiểu theo 2 khía cạnh khác nhau của logic: "đúng" là một khái niệm ngữ nghĩa (semantic), nghĩa là ta nói đến các mô hình cụ thể; "chứng minh" là một khái niệm hình thức (syntactic). Ở những bài viết này, chúng ta sẽ giới thiệu về logic bậc nhất và định lý về tính đầy đủ.

 

Định lý về tính đầy đủ là một kết quả quan trọng của logic bậc nhất. Nó liên kết lý thuyết mô hình (model theory), tức là các đối tượng ngữ nghĩa cụ thể với lý thuyết chứng minh (proof theory), tức là các thao tác trên logic hình thức. Định lý thống nhất hai khái niệm sau đây.

 

$\Phi \vDash \chi$: "Một khi $\Phi$ đúng thì $\chi$ cũng đúng" (tính đúng đắn/verity).

$\Phi \vdash \chi$: "Tồn tại một quá trình suy luân cho phép chứng minh $\chi$ từ $\Phi$" (tính chặt chẽ/rigor).

 

Hai kết quả của logic bậc nhất là định lý về tính đúng đắn (soundness theorem): Nếu $\Phi \vdash \chi$ thì $\Phi \vDash \chi$. Định lý về tính đầy đủ khẳng định điều ngược lại: Nếu $\Phi \vDash \chi$ thì $\Phi \vdash \chi$.

 

 

1. Logic bậc nhất

 

Trong logic bậc nhất, ta luôn mặc định rằng có sẵn những đối tượng sau đây.

 

1. các toán tử logic: phủ định (negation, $\neg$, "không"), hội (conjunction, $\land$, "và"), tuyển (disjunction, $\lor$, "hoặc"), kéo theo (implication, $\rightarrow$, "suy ra");

2. một tập hợp vô hạn (thường là đếm được) $\mathcal{V}$ các biến.

3. lượng từ phổ biến (universal quantifier, $\forall$, "với mọi") và lượng từ tồn tại (existential quantifier, $\exists$, "tồn tại").

4. dấu phẩy và các dấu ngoặc $($, $)$.

 

Logic bậc nhất có các quy tắc sau đây

- Các lượng từ chỉ sử dụng cho từng phần tử, KHÔNG sử dụng cho một tập hợp các phần tử, hay cho hàm số, quan hệ,...

- Các công thức logic phải hữu hạn (finitary logic), ta có thể viết $\forall x_1 \ldots \forall x_n$ để viết tắt cho $n$ lần dùng lượng từ liên tiếp, nhưng nói chung số ký hiệu trong $\ldots$ bắt buộc phải hữu hạn (và cố định). Nói riêng, không có cách nào để nói "tồn tại vô hạn... sao cho...".

 

 

Định nghĩa. Một ngôn ngữ bậc nhất (language) $\mathcal{L}$ gồm

1. các ký hiệu hằng (constant);

2. các ký hiệu quan hệ (relation); mỗi ký hiệu có một số biến (arity) là một số nguyên dương nhất định; một quan hệ $R$ với số biến bằng $n$ được gọi là một quan hệ $n$ ngôi. Thông thường, chúng ta mặc định rằng mọi ngôn ngữ đều có sẵn quan hệ hai ngôn $=$ (đẳng thức);

3. các ký hiệu hàm (function), mỗi ký hiệu có một số biến là một số nguyên dương nhất định; một quan hệ $f$ với số biến bằng $n$ được gọi là một hàm $n$ biến.

 

 

Ví dụ.

1. Ngôn ngữ nhóm $\mathcal{L}_{\text{grp}} = \{1, \,^{-1}, \cdot\}$, trong đó $1$ là một ký hiệu hằng (chỉ phần tử đơn vị), $\,^{-1}$ là một ký hiệu hàm một biến (chỉ ánh xạ nghịch đảo), $\cdot$ là một ký hiệu hàm hai biến (chỉ phép toán của nhóm).
2. Ngôn ngữ vành $\mathcal{L}_{\text{rng}} = \{0,1, +, - , \cdot\}$  (ở đây $-$ là một ký hiệu hàm một biến, tượng trưng cho "phần tử đối", thay vì phép trừ).
3. Ngôn ngữ thứ tự $\mathcal{L}_{\text{ord}} = \{<\}$.
4. Ngôn ngữ tập hợp $\mathcal{L}_{ZF} = \{\in\}$.
5. Ngôn ngữ Peano bậc nhất $\mathcal{L}_{PA} = \{0,s,+,\cdot\}$ (ở đây $s$ là một ký hiệu hàm một biến, dùng để chỉ "số liền sau" (successor)).
 
 
Giả sử $\mathcal{L}$ là một ngôn ngữ.
 

Định nghĩa. Một $\mathcal{L}$-cấu trúc (structure) gồm

1. một tập hợp nền $\mathbb{S}$;
2. với mỗi ký hiệu hằng $c \in \mathcal{L}$, một phần tử $c^{\mathbb{S}} \in \mathbb{S}$;
3. với mỗi ký hiệu quan hệ $n$ ngôi $R \in \mathcal{L}$, một tập con $R^{\mathbb{S}} \subseteq \mathbb{S}^n$;
4. với mỗi ký hiệu hàm $n$ biến $f \in \mathcal{L}$, một ánh xạ $f^{\mathbb{S}}: \mathbb{S}^n \to \mathbb{S}$.
 
 
Ví dụ. Mỗi nhóm là một $\mathcal{L}_{\text{grp}}$-cấu trúc (với cách thông dịch $1$, $\,^{-1}$ và $\cdot$ theo nghĩa thông thường). Tuy nhiên không phải mọi $\mathcal{L}_{\text{grp}}$-cấu trúc đều là một nhóm; chúng cần phải thỏa mãn các tiên đề của nhóm nữa.

 

 

Định nghĩa. Tập hợp $\mathcal{L}\text{-Term}$ các $\mathcal{L}$-biểu thức (term) là tập hợp nhỏ nhất sao cho

1. mỗi ký hiệu hằng $c \in \mathcal{L}$ là một biểu thức;

2. mỗi biến $x \in \mathcal{V}$ là một biểu thức;

3. nếu $f \in \mathcal{L}$ là một ký hiệu hàm $n$ biến và $t_1,\ldots,t_n$ là các biểu thức thì $f(t_1,\ldots,t_n)$ là một biểu thức.

 

 

Ví dụ. Trong một ngôn ngữ không có ký hiệu hàm (relational language), các biểu thức là các ký hiệu hằng và các biến.

 

 

Định nghĩa. Một phép chọn tham số (choice of parameters) là một ánh xạ $p:\mathcal{V} \to \mathbb{S}$.

 

Giả sử $t$ là một biểu thức và $p$ là một phép chọn tham số.

 

Định nghĩa. Thông dịch (interpretation) của $t$ bởi $p$ là phần tử $p(t) \in \mathbb{S}$ được xác định một cách quy nạp như sau.

1. nếu $c$ là một ký hiệu hằng, $p(c) = c^{\mathbb{S}}$;

2. nếu $x$ là một biến, $p(x)$ chính là ảnh của $x$ bởi ánh xạ $p$;

3. nếu $t$ có dạng $f(t_1,\ldots,t_n)$, $p(t) = f^\mathbb{S}(p(t_1),\ldots,p(t_n))$.

 

Định nghĩa. Tập hợp $V(t) \subseteq \mathcal{V}$ các biến của $t$ được xác định một cách quy nạp như sau.

1. nếu $c$ là một ký hiệu hằng, $V(c) = \varnothing$;

2. nếu $x$ là một biến, $V(x) = \{x\}$;

3. nếu $t$ có dạng $f(t_1,\ldots,t_n)$, $V(t) = V(t_1) \cup \cdots \cup V(t_n)$.

 

 

Ví dụ. Trong ngôn ngữ vành, $x + y \cdot z$ là một biểu thức với các biến $x, y, z$.

 

 

Bằng cách quy nạp theo độ phức tạp của biểu thức, ta có thể chứng minh dễ dàng

 

Bổ đề. Nếu $p, p'$ là hai phép chọn tham số sao cho $p|_{V(t)} = p'|_{V(t)}$ thì $p(t) = p'(t)$.

 

 

Trong bài sau, chúng ta sẽ nói về ký hiệu $\vDash$ (sự thỏa mãn).


Tại sao phải học hình học đại số?

03-01-2020 - 02:00

Bài dịch từ bài gốc trên mathstackexchange: https://math.stackex...eCpTL64-MwpRhBI

 

Q: Tôi đang chuẩn bị bắt đầu tự học hình học đại số (HHĐS). Tôi tự hỏi rằng vì sao các nhà toán học nghiên cứu HHĐS? Các bài toán nào được quan tâm bởi các nhà HHĐS? Những định lý đẹp nhất của HHĐS là gì?

 

 

Câu trả lời của thành viên Javier Álvarez:

 

 

Bản thân tôi khuyến khích bạn bắt đầu và lấy động lực từ những tài liệu miễn phí sau. Chúng rất mang tính sư phạm, từ những nội dung cơ bản nhất của đường cong đại số phức tới Lược đồ (scheme) và Lý thuyết giao (intersection theory) với định lý Grothendieck-Riemann-Roch, tới một số định lý mà tôi sẽ nói dưới đây. Chúng rất tuyệt cho việc tự học khi vừa chặt chẽ về mặt toán học, vừa có rất nhiều hình vẽ (đáng tiếc là một số trong chúng lại không được phổ thông cho lắm?)

 

Tài liệu sau đây khá nổi tiếng, dài, nặng, trừu tượng, và phù hợp cho việc tự học:

Ngoài ra còn có một số nhiều video bài giảng đầy đủ về HHĐS sơ cấp, mặt đại số,...

mà bạn có thể bắt đầu một cách từ từ (cùng sách của tác giả) để đi đến định lý phân loại mặt.

 

 

Ngày nay, HHĐS là một trong những ngành lâu đời nhất, sâu nhất, rộng nhất và hoạt động tích cực nhất của toán học, với những kết nối tới gần như tất cả các nhánh toán học khác, trực tiếp hoặc gián tiếp. Động lực chính bắt đầu từ Pierre de Ferrmat và René Descartes, những người đã nhận ra rằng để nghiên cứu hình học, chúng ta có thể làm việc với các phương trình đại số thuần túy thay vì vẽ hình (và đó là điều bắt buộc khi làm việc với các đối tượng nhiều chiều hơn, vì trực giác của con người không cho phép). Phương trình cơ bản nhất mà người ta có thể hình dung là những phương trình đa thức (của các biến tọa độ của mặt phẳng/không gian, hay tổng quát hơn là trong một trường số/number field), vì đó là những xây dựng căn bản từ những phép toán số học sơ cấp.  Phương trình bậc nhất (đa thức bậc nhất) mô tả những đường thẳng, mặt phẳng, không gian véc-tơ con hay siêu phẳng (hyperplane). Phương trình bậc hai gồm tất cả các đường conic (giao tuyến của mặt phẳng và mặt nón) cổ điển; sự thật là vấn đề phân loại conic trong mặt phẳng Euclid affine và xạ ảnh (trên trường số thực và phức) chính là bài toán HHĐS đầu tiên mà mọi sinh viên đều biết: Bài toán phân loại tất cả các dạng chính tắc của đa thức bậc 2 (sai khác một phép biến đổi affine hoặc một phép đẳng cự/phép dời hình với 2 biến $(x, y)$, hoặc một phép biến đổi xạ ảnh với 3 biến thuần nhất $[x:y:z]$). Như vậy, các đường cong phẳng trên trường số thực có thể được nghiên cứu bởi các tính chất đại số của các đa thức. Thực ra, làm việc trên trường số phức sẽ tự nhiên hơn, vì đó là bao đóng đại số của trường số thực, nên nó đơn giản hóa rất nhiều vấn đề, như Định lý cơ bản của đại số và Định lý không điểm Hilbert (Nullstellensatz). Ngoài ra, làm việc với các đa tạp xạ ảnh bằng cách mở rộng không gian của chúng ta (thêm các điểm ở xa vô tận) cũng giúp rất nhiều, vì khi đó chúng ta làm việc với các đối tượng compact - một số vấn đề khó chịu sẽ biến mất, chẳng hạn hai đường cong bất kỳ luôn cắt nhau tại ít nhất một điểm (có thể ở xa vô tận), ta thu được Định lý Bézout. 

 

 

Từ góc nhìn thực hành thuần túy, người ta nhận ra rằng các hàm giải tích (analytic) không phải đa thức có thể xấp xỉ được bằng các hàm đa thức (chẳng hạn, chặt đuôi của khai triển chuỗi lũy thừa) - đó chính là những gì máy tính (calculator/computer) làm khi tính, chẳng hạn, các hàm lượng giác. Khi bất kỳ một phần mềm nào vẽ một mặt siêu việt (hay đa tạp), thực ra chúng đang vẽ một xấp xỉ đa thức của đối tượng đó (một đa tạp đại số). Như vậy, nghiên cứu HHĐS theo nghĩa ứng dụng và tính toán là tiền đề của phần còn lại của hình học.

 

 

Từ góc nhìn toán học thuần túy, HHĐS xạ ảnh phức là một vấn đề trung tâm. Lí do là vì nhiều kết quả (như Nguyên lý Lefschetz), nói rằng nghiên cứu hình học (đại số) trên một trường đóng đại số với đặc số $0$ về căn bản là tương đương với HHĐS xạ ảnh phức; Định lý  Chow nói rằng mỗi đa tạp xạ ảnh phức đều là một đa tạp đại số, nghĩa là Hình học vi phân và Hình học đại số đang cùng làm việc với một đối tượng (Mọi đa tạp xạ ảnh phức đều là tập không điểm của một họ hữu hạn các đa thức thuần nhất). Định lý này được làm mạnh thành Định lý GAGA Jean-Pierre-Serre, thống nhất và tương đương hóa Hình học giải tích và Hình học đại số trong một bối cảnh rất tổng quát. Đặc biệt, trường hợp đường cong đại số xạ ảnh phức chính là các mặt compact định hướng được (chúng luôn thừa nhân một cấu trúc chỉnh hình/holomorphic), và như vậy Lý thuyết của các diện Riemann compact của giải tích phức và Hình học vi phân (Tô-pô đại số của các đa tạp 2-chiều và Hình học đại số của các đường con đại số) của các mặt thực được thống nhất. Ở đây, người ta thấy những kết quả tuyệt đẹp và sâu sắc như hệ quả khái niệm Bậc của ánh xạ, chỉ số và độ cong, tất cả được kết nối bởi các định lý cột mốc như Gauss-Bonnet, Poincaré-Hopf hay Riemann-Roch. Việc phân loại các đường cong đại số theo giống (genus) của chúng; một bất biến được chứng minh là như nhau trên những phương diện khác nhau: giống tô-pô (số quai cầm của chiếc bánh doughnut), giống số học (đa thức Hilbert) và giống hình học (số 2-dạng vi phân/differential form chỉnh hình độc lập trên một diện Riemann). Tương tự, việc nghiên cứu các đa tạp 4-chiều thực của Hình học vi phân và Tô-pô vi phân là một vấn đề trung tâm không chỉ của toán học mà cả Vật lý lý thuyết, như Lý thuyết chuẩn (gauge theory), vì thế việc nghiên cứu các mặt cong đại số trên trường số phức cung cấp các kết quả và công cụ cần thiết. Việc phân loại hoàn chỉnh (sai khác đến mức song hữu tỉ/birational) của các mặt đại số đã được thiết lập bởi Định lý Kodaira-Enrique và là xuất phát điểm của "Chương trình mô hình cực tiểu Mori" (Mori nimial model program) - đó là ý đồ phân loại tất cả các đa tạp đại số (xạ ảnh) phức với số chiều cao hơn đến mức độ song hữu tỉ. Sự khác biệt căn bản với các dạng hình học khác là sự hiện diện của kỳ dị (singularity), đóng vai trò rất quan trọng trong HHĐS, lý do là vì nhiều trở ngại xuất hiện cũng bởi chúng; tuy nhiên Định lý giải Hirokana khẳng định, ít nhất là trên trường với đặc số $0$, rằng mọi đa tạp đều có một mô hình song hữu tỉ trơn (không có kỳ dị). Hơn nữa, các không gian moduli (moduli space) của các đối tượng hình học là một chủ đề quan trọng (chẳng hạn, xây dựng Deligne-Mumford), vì không gian tất cả các đối tượng như vậy thường (lại) là một đối tượng HHĐS. Có rất nhiều định lý và kết quả thú vị trong Hình học đếm (enumerative geometry) và Lý thuyết giao, từ cổ điển, đến định lý Cayley-Salmon, nói rằng mọi mặt bậc 3 trên một trường đóng đại số đều chứa đúng 27 đường thẳng, công thức Thom-Porteus cho cụm suy biến (degeneracy locus), tính toán Schubert tới đối đồng điều lượng tử (Công thức Kontsevich và ELSV), định lý Torelli và việc xây dựng một đường cong đại số từ đa tạp Jacobi của nó, và cuối cùng là Định lý Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, đếm số lớp cắt toàn cục (global section) độc lập của một phân thớ véc-tơ (vector bundle), chính xác hơn là đặc trưng Euler-Poincaré của nó, nhờ bội giao (intersection number) của các cụm không điểm tổng quát (generic zero locus) của lớp đặc trưng (characteristic class) trên đa tạp.

 

 

Bên cạnh tất cả những điều này, kể từ những đóng góp khổng lồ mang tính nền tảng của Alenxander Grothendieck, HHĐS đã có một nền tảng vững chắc, trừu tượng và mạnh mẽ để có thể kết hợp được với Lý thuyết số, như nhiều người đã hi vọng trước đó. Hình học đại số trừu tượng với những đối tượng như bó (sheaf) và lược đồ (scheme) ngày nay đóng một vai trò then chốt trong Lý thuyết số đại số (algebraic number theory), được biết đến dưới dạng Hình học số học/Hình học Diophantine (arithmetic geometry). Các kết quả kỳ diệu như Định lý Faltings, Định lý Mordell-Weil đều sử dụng những nền tảng trên, cũng như chứng minh nổi tiếng của Andrew Wiles cho Định lý lớn Fermat (FLT). Sự phát triển của HHĐS trừu tượng ít nhiều được thúc đẩy bởi Giả thuyết Weil liên hệ giữa số nghiệm của một hệ phương trình đa thức trên một trường hữu hạn với hình học của đa tạp phức được định nghĩa bởi các đa thức đó. Những công cụ hầm hố hơn đã được phát triển, như đối đồng điều étale. Việc áp dụng các xây dựng của hình học phức vào số học đã dẫn đến hình học Arakelov và Định lý Grothendieck-Riemann-Roch số học cùng nhiều kết quả khác.

 

 

Liên quan đến HHĐS, nhờ Lý thuyết lược đồ, một ngành mới mang tên Tô-pô số học đã ra đời, nơi những tính chất của số nguyên tố và Lý thuyết số đại số có những liên hệ và đối ngẫu với Lý thuyết nút (knot theory) và các đa tạp 3-chiều. Đây là một chủ đề mới mẻ, bí ẩn và thú vị, vì các nút và link cũng xuất hiện trong Vật lý lý thuyết (như Lý thuyết trường lượng tử tô-pô). Ngoài ra, Hình học anabel đã dẫn đường đến những nghiên cứu về mỗi quan hệ giữa nhóm cơ bản (fundamental group) của các đa tạp đại số và nhóm Galois của các mở trộng trường (field extension) số học.

 

 

Tóm lại, các nhà toán học nghiên cứu HHĐS vì đó là linh hồn của nhiều ngành khác, có tác dụng như cầu nối giữa các lĩnh vực tưởng như khác nhau; từ Hình học và Tô-pô đến Giải tích phức và Lý thuyết số. Sau cùng, đối với bất kỳ ngành nào nghiên cứu một đối tượng đại số cụ thể, việc nghiên cứu hình học của các đối tượng này cho ta một công cụ hữu ích và những nỗ lực thú vị trong chính bản thân chúng. Điều kiện "đại số giao hoán" đã được vượt qua nhờ công trình của Alain Connes, thứ đã mở ra một ngành mới mang tên Hình học không giao hoán (noncommutative geometry), với phong cách đại số và giải tích, với tham vọng hoàn thành quá trình "hình học hóa" toán học. Mặt khác, nó mang lại phiên bản lượng tử của hình học cổ điển, thứ được quan tâm rất nhiều trong Vật lý cơ bản (Hình học phức và Hình học không giao hoán xuất hiện một cách gần như bất buộc theo cách này hay cách khác trong mọi nỗ lực thống nhất các lực cơ bản với lực hấp dẫn, tức là Lý thuyết trường lượng tử với Lý thuyết tương đối rộng; thậm chí là Hình học đại số trừu tượng/phạm trù cũng có vai trò trong những chủ đề như Đối xứng gương đồng điều/homological mirror symmetry và Đối đồng điều lượng tử, những đối tượng có nguồn gốc vật lý).

 

 

 

Như vậy, các bài toán mà các nhà toán học đang giải trong HHĐS liên quan rất nhiều đến mọi thứ khác, gần như là bất kỳ điều gì liên quan đến phân loại (đến mức rõ ràng nhất có thể) của các đa tạp đại số (và một ngày nào đó có thể là các lược đồ), các bất biến, kỳ dị, biến dạng và không gian moduli, giao, tô-pô và hình học vi phân, các bài toán số học ở dạng hình học). Có nhiều bài toán mở thú vị:

 

Bản thân tôi bắt đầu từ Vật lý lý thuyết nhưng sau đó chuyển hoàn toàn sang Toán học lý thuyết vì HHĐS, và cũng đang bắt đầu tự học. Đó là một lĩnh vực rất sâu với những kết nối tới hầu như tất cả mọi thứ khác, khi mà người ta đã học đủ để nhận ra. Ngành này cũng đòi hỏi rất cao với yêu cầu background rất lớn, chẳng hạn về Đại số giao hoán và Đại số đồng điều (homological algebra), trước khi có thể tiếp cận những kết quả hiện đại và thú vị nhất. Nhưng nỗ lực sẽ được đền đáp! Sự thật là con đường qua Đại số giao hoán không chỉ dọn đường tới HHĐS mà còn tới Lý thuyết số đại số hay Hình học số học. Tôi có một background mạnh về Hình học vi phân nên tôi tiếp cận HHĐS bằng Hình học phức (Kähler), và bị mê hoặc cả bởi những dạng trừu tượng nhất của nó.

"Hình học đại số dường như được coi là mang trong mình sự bí truyền, độc quyền và rất trừu tượng, với những ai có âm mưu chiếm lấy tất cả phần còn lại của toán học. Một mặt nào đó, điều cuối cùng là chính xác... (Algebraic geometry seems to have acquired the reputation of being esoteric, exclusive, and very abstract, with adherents who are secretly plotting to take over all the rest of mathematics. In one respect this last point is accurate...)" - David Mumford.

 

Vì thế, câu hỏi lẽ ra nên là "Tại sao không học hình học đại số?". Hi vọng rằng câu trả lời này là đủ để thúc đẩy bạn sâu hơn vào đại dương rộng lớn này của thế giới toán học và tự mình kiểm chứng. Chúc may mắn!

 

Một danh sách phong phú các tài liệu về Hình học đại số, từ cơ bản đến nâng cao: https://math.stackex...y/269446#269446.

Động lực học Hình học đại số cùng với một số tài liệu tự học: https://math.stackex...s/285355#285355

Một số câu hỏi tương tự: https://math.stackex...ons/24443#24443

https://math.stackex...try/46921#46921

và https://math.stackex...rne/24447#24447


Một chút giải tích hàm

02-03-2019 - 04:18

Note này viết về một số kết quả cơ bản của giải tích hàm. Hầu như không có chứng minh nào hoặc rất tóm tắt. Mình rất mong được trao đổi.

 

Đầu tiên chúng ta bắt đầu với

 

I - Định lý Baire về phạm trù.

 

Def. Trong một không gian tô-pô,

  1. một tập $G_\delta$ là giao của một họ đếm được các tập mở,
  2. một tập $G_\delta$-trù mật là giao của một họ đếm được các tập mở trù mật.

Def. Một không gian tô-pô được gọi là Baire nếu mọi tập $G_\delta$-trù mật đều trù mật.

Nói cách khác, một không gian $X$ là Baire nếu với mọi cách viết $X$ thành giao của một họ đếm được các tập đóng, ít nhất một trong các tập đó có phần trong khác rỗng. Dễ thấy không gian con mở của một không gian Baire cũng là Baire.

 

Định lý [Baire]. Không gian mê-tríc đầy đủ và không gian Hausdorff, com-pắc địa phương là các không gian Baire.

 

Def. Một tính chất được gọi là đúng hầu khắp nơi theo nghĩa Baire nếu nó đúng trên một tập $G_\delta$-trù mật.

 

Định lý. Giả sử $X$ là một không gian Baire, $(Y,d)$ là một không gian mê-tríc và $f_n: X \to Y$ $(n \in \mathbb{N})$ là một dãy hàm liên tục, hội tụ điểm về $f$. Khi đó $f$ liên tục hầu khắp nơi theo nghĩa Baire.

 

Chứng minh

Với $n, p \in \mathbb{N}$, đặt $$F_{n,p}:= \{x \in X \, | \, \forall q \geqslant p, \, d(f_p(x),f_q(x)) \leqslant 2^{-n} \}.$$ Đây là một tập đóng, hơn nữa với mỗi $n \in \mathbb{N}$, dễ thấy $$\bigcup_{p \in \mathbb{N}}F_{n,p} = X.$$

Với $U \subseteq X$ là một tập mở tùy ý, ta có $$\bigcup_{p \in \mathbb{N}}(U \cap F_{n,p}) = U,$$ hơn nữa $U$ là một không gian Baire nên tồn tại $p = p(n,U) \in \mathbb{N}$ sao sao cho $$A_{n,U} := \text{int}(U \cap F_{n,p}) \neq \varnothing.$$

Khi đó, với mỗi $n$, $$A_n := \bigcup_{U \text{ mở}} A_{n,U}$$ là tập mở trù mật. Do đó $$A = \bigcap_{n \in \mathbb{N}}A_n$$ là một $G_\delta$-trù mật. Ta dễ dàng chứng minh được $f$ là liên tục trên $A$. $\square$

 

Ví dụ. Cho $I \subset \mathbb{R}$ là một khoảng mở, $F$ là một không gian Banach và $f: I \to F$ là một hàm khả vi. Khi đó $f'$ là liên tục hầu khắp nơi theo nghĩa Baire. (chứng minh: áp dụng lý trên cho dãy hàm $(f_n)_{n \in \mathbb{N}})$ xác định bởi $f_n(x) = n(f(x+1/n) - f(x))$.

 

 

 

II - Nguyên lý bị chặn đều, định lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng

 

Def [Tô-pô sinh bởi một họ nửa chuẩn]. Khi $E$ là một không gian véc-tơ thực và $p_\alpha: E \to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ $(\alpha \in \mathcal{A})$ là một họ các nửa chuẩn, ta có thể định nghĩa trên $E$ một tô-pô sinh bởi cơ sở là các tập có dạng $$\{y \in E \, | \, \forall \beta \in \mathcal{B},\,p_\beta(x-y) < r\}$$ trong đó $x \in E$, $r > 0$ và $\mathcal{B}$ là một tập con hữu hạn của $\mathcal{A}$. Tô-pô này khiến cho $E$ trở thành một không gian véc-tơ tô-pô.

 

Def. Một họ nửa chuẩn $(p_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$ được gọi là tách nếu với mỗi điểm $x \in E$, từ chỗ $p_\alpha(x) = 0$ với mọi $\alpha \in \mathcal{A}$ suy ra $x = 0$.

 

Không khó để chứng minh được rằng,

  1. một dãy điểm $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$  trong $E$ hội tụ về một điểm $x$ theo nghĩa tô-pô khi và chỉ khi với mọi $\alpha \in \mathcal{A}$, ta có $p_\alpha(x_n - x) \to 0$,
  2. một họ nửa chuẩn là tách khi và chỉ khi tô-pô sinh bởi họ đó là Hausdorff,
  3. tô-pô sinh bởi một họ con của $(p_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$ thì thô hơn tô-pô sinh bởi $(p_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$,
  4. một tập con $A \subseteq E$ là bị chặn khi và chỉ khi với mọi $\alpha \in \mathcal{A}$, tồn tại $C > 0$ sao cho với mọi $x \in A$, ta có $p_\alpha(x) \leqslant C$.

Def. Một không gian tiền Fréchet là một không gian véc-tơ cùng một dãy tăng các nửa chuẩn tách.

 

Khi ta có một dãy nửa chuẩn bất kỳ, ta có thể dễ dàng thay nó bởi một dãy tăng, vì tổng của hai nửa chuẩn vẫn là một nửa chuẩn.

 

Def. Giả sử $E$ là một không gian tiền Fréchet với dãy nửa chuẩn $(p_j)_{j \in \mathbb{N}}$. Khi đó ta có thể mê-tríc hóa tô-pô tương ứng bằng cách đặt $$\forall x,y \in E, \qquad d(x,y) := \sum_{j \in \mathbb{N}} 2^{-n} \min(1, p_j(x-y)).$$

Một không gian Fréchet là một không gian tiền Fréchet đầy đủ.

 

Chẳng hạn, một họ gồm một chuẩn duy nhất là một họ tách. Vì thế các không gian định chuẩn đều là tiền Fréchet và các không gian Banach đều là Fréchet.

 

Mệnh đề. Một toán tử tuyến tính $T: (E, (p_j)_{j \in \mathbb{N}}) \to (F, (q_k)_{k \in \mathbb{N}})$ giữa hai không gian tiền Fréchet là liên tục khi và chỉ khi với mọi $k \in \mathbb{N}$, tồn tại $C > 0$ và $n \in \mathbb{N}$ sao cho với mọi $x \in E$, ta có $q_k(Tx) \leqslant Cp_j(x)$.

 

Chứng minh

"Chỉ khi". Cố định $k \in \mathbb{N}$. Vì $T$ liên tục nên tồn tại lân cận mở $U$ của $0$ sao cho $q_k(Tx) < 1$ với mọi $x \in U$. Đương nhiên $U$ chứa một tập mở trong cơ sở, nghĩa là tồn tại $j \in \mathbb{N}$ và $r > 0$ sao cho $$\{x \in E \, | \, p_j(x) < r\} \subseteq U.$$ Ta lấy $C = 2/r$ và dùng tính thuần nhất của nửa chuẩn để kết luận.

 

"Khi". Cố định $x \in E$ và gọi $V$ là một lân cận mở của $Tx$ trong $F$. Tương tự như trên, tồn tại $k \in \mathbb{N}$ và $r > 0$ sao cho $$\{x \in E \, | \, q_k(y - Tx) < r\} \subseteq V.$$ Khi đó, với mọi $x' \in E$ thỏa mãn $p_j(x - x') < r/C$, ta có $q_k(Tx - Tx') < r$, nghĩa là $Tx' \in U$. Vậy $T$ liên tục tại $x$. $\square$

 

 

Định lý [Banach-Steinhauss hay Nguyên lý bị chặn đều]. Cho $(E, (p_j)_{j \in \mathbb{N}})$ là một không gian Fréchet,  $(F, (q_k)_{k \in \mathbb{N}})$ là một không gian tiền Fréchet và $T_\alpha: E \to F$ $(\alpha \in \mathcal{A})$ là một họ các toán tử tuyến tính liên tục sao cho với mọi $x \in E$, họ $(T_\alpha x)_{\alpha \in \mathcal{A}}$ là bị chặn trong $F$. Khi đó họ $(T_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$ là đồng liên tục, tức là $$\forall k \in \mathbb{N}, \exists C > 0, \exists j \in \mathbb{N},\forall x \in E, \forall \alpha \in \mathcal{A},q_k(T_\alpha x) \leqslant C{p_j}(x).$$

 

Hệ quả.

  1. Cho $(E, (p_j)_{j \in \mathbb{N}})$ là một không gian Fréchet,  $(F, (q_k)_{k \in \mathbb{N}})$ là một không gian tiền Fréchet và $T_n: E \to F$ $(n \in \mathbb{N})$ là một dãy các toán tử tuyến tính liên tục hội tụ điểm về $T$. Khi đó $T$ là một toán tử tuyến tính liên tục. Hơn nữa, nếu $x_n \to x$ thì $T_nx _n\to Tx$.
  2. Giả sử $G$ là một không gian Banach và $B \subseteq G$ là một tập con thỏa mãn: với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục $f: B \to \mathbb{R}$, $f(B)$ là bị chặn. Khi đó $B$ là bị chặn.

Chứng minh

1. Hiển nhiên theo Nguyên lý bị chặn đều và tiêu chuẩn liên tục của toán tử tuyến tính giữa hai không gian tiền Fréchet ở trên.

2. Áp dụng nguyên lý bị chặn đều cho $E = G^\ast$, $F = \mathbb{R}$ và họ toán tử $(T_b)_{b \in B}$ trong đó $T_b(f) = f(b)$, ta thấy tồn tại $C > 0$ sao cho với mọi phiếm hàm $f \in G^\ast \to \mathbb{R}$ và mọi $b \in B$, ta có $|f(b)| \leqslant C \| f \|$, từ đó dễ thấy $B$ bị chặn. $\square$

 

Định lý [Ánh xạ mở]. Mọi toán tử tuyến tính liên tục toàn ánh giữa hai không gian Fréchet đều mở.

 

Định lý [Đồ thị đóng]. Một toán tử tuyến tính giữa hai không gian Fréchet là liên tục khi và chỉ khi đồ thị của nó là đóng trong không gian tích.

 

Một bài tập vui. Cho $f$ và $f_n$ $(n \in \mathbb{N})$ là các hàm thực khả vi liên tục trên $[0,1]$. Chứng minh rằng nếu $f_n$ hội tụ đều về $f$ thì $f_n'$ hội tụ đều về $f'$.

 

 

III - Định lý Hahn - Banach

 

Định lý [Hahn - Banach dạng giải tích]. Cho $E$ là một không gian véc-tơ thực và $p: E \to \mathbb{R}_{\geqslant 0}$ là một phiếm hàm dưới cộng tính thuần nhất dương, nghĩa là

  1. $\forall x, y \in E$, $p(x+y) \leqslant p(x) + p(y)$,
  2. $\forall x \in E, \lambda \geqslant 0$, $p(\lambda x) = \lambda p(x)$.

Giả sử $F$ là một không gian con của $E$ và $f: F \to \mathbb{R}$ là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn bởi $p$, khi đó $f$ thác triến được thành một phiến hàm tuyến tính trên $E$, bị chặn bởi $p$.

 

Hệ quả. Giả sử $E$ là một không gian định chuẩn. Khi đó,

  1. mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên một không gian con của $E$ đều thác triển được lên toàn $E$ thành một phiếm hàm với cùng chuẩn.
  2. với mỗi $x \in E$ đều tồn tại một phiếm hàm liên tục $f$ có chuẩn bằng $x$ sao cho $f(x) = \| x \|^2$,
  3. với mỗi $x \in E$, ta có $\|x\| = \sup\limits_{\substack{f \in E^\ast \\ \|f\| \leqslant 1}}|f(x)|$.

Chứng minh

1. Giả sử $f$ là một phiếm hàm liên tục xác định trên một không gian con $F$ của $E$. Áp dụng định lý Hahn-Bach cho $p = \| f \|_{E^\ast} \cdot \| \cdot \|_E$.

2. Xét toán tử tuyến tính $f$ xác định trên đường thẳng sinh bởi $x$ cho bởi $f(x) = \|x\|^2$.

3. Bất đẳng thức $\|x\| \geqslant \sup\limits_{\substack{f \in E^\ast \\ \|f\| \leqslant 1}}|f(x)|$ là hiển nhiên. Bất đẳng thức ngược lại suy ra từ phần trên. $\square$

 

Def. Giả sử $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô. Một siêu phẳng affine trong $E$ là một tập con có dạng $$H = [f = \alpha] := \{x \in E \,| \, f(x) = \alpha\}$$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ và $f$ là một phiếm hàm tuyến tính khác $0$.

 

Mệnh đề. $H$ là đóng khi và chỉ khi $f$ là liên tục.

 

Def. Một không gian véc-tơ tô-pô được gọi lồi địa phương nếu $0$ có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi.

Rõ ràng điều kiện trên có thể thanh bởi "$0$ có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi đối xứng", vì nếu $C$ là một tập lồi trong cơ sở lân cận này thì ta chỉ cần thay nó bởi $C \cap (-C)$.

 

Def. Cho $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô và $C \subseteq E$ là một tập lồi khác rỗng và là một lân cận của $0$. Thang (gauge) của $C$ là ánh xạ cho bởi $$\|\cdot\|_C:E \to \mathbb{R}_{\geqslant 0}, \qquad x \mapsto \inf \{t > 0 \, | \, x/t \in C\}.$$

 

Tính chất của thang.

  1. $\|\cdot\|_C$ là thuần nhất dương.
  2. $\|\cdot\|_C$ là dưới cộng tính.
  3. Nếu $C$ mở thì $C = \{x \in E \, | \, \| x \|_C < 1 \}$.
  4. $\|\cdot\|_C$ là liên tục.

Chứng minh

Vì $C$ là lân cận của $0$ nên $\|\cdot\|_C$ được định nghĩa tốt.

1. Hiển nhiên.

2. Xét $x,y \in C$. Ta lấy $s, t > 0$ bất kỳ sao cho$x/s \in C$ và $y / t \in C$. Vì $C$ lồi nên $$\frac{x+y}{s+t} = \frac{s}{s+t}\cdot \frac{x}{s} + \frac{t}{s+t} \cdot \frac{y}{t} \in C,$$ do đó $\|x+y\|_C \leqslant s+t$. Điều này đúng với mọi $s$ và $t$ nên $\|x+y\|_C \leqslant \|x\|_C + \|y\|_C$.

3. Với $x \in C$, vì $C$ mở nên tồn tại $\varepsilon > 0$ sao cho $(1 + \varepsilon)x \in C$. Từ đó $\| x\|_C\leqslant 1/(x + \varepsilon) < 1$. Ngược lại. nếu $x \in E$ sao cho $\| x\|_C < 1$ thì tồn tại $t \in (0,1)$ sao cho $x/t \in C$. Vì $C$ lồi và chứa $0$ nên $x \in C$.

4. Vì tính dưới cộng tính nên ta chỉ cần chứng minh $\|\cdot\|_C$ là liên tục tại $0$. Thật vậy, cho $\varepsilon > 0$, khi đó tồn tại lân cận mở $V_\varepsilon$ của $0$ sao cho $V_\varepsilon \subseteq \varepsilon C$. Từ đó ta thấy, với mọi $x \in V_\varepsilon$ thì $\|x\|_C \leqslant \varepsilon$. $\square$

 

Ta có kết quả thú vị sau đây.

 

Định lý. Một không gian véc-tơ tô-pô là lồi địa phương khi và chỉ khi tô-pô của nó được sinh bởi một họ nửa chuẩn.

Chứng minh

"Chỉ khi". Giả sử $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô lồi địa phương. Gọi $\mathcal{V}$ là cơ sở lân cận của $0$ gồm các tập lồi mở đối xứng (nếu $C$ là một tập lồi mở, ta thay nó bởi $C \cap (-C)$). Gọi$\mathcal{P}$ là tô-pô sinh bởi họ nửa chuẩn $(\|\cdot\|_C)_{C \in \mathcal{V}}$ và $\mathcal{T}$ là tô-pô ban đầu của $E$. Ta chứng minh $\mathcal{T} = \mathcal{P}$.

  • Nếu $V \in \mathcal{T}$ là lồi và đối xứng thì theo tính chất của thang, ta có $V = \{x \in E \, | \, \| x \|_V < 1 \}$, nên hiển nhiên $V \in \mathcal{P}$. Vậy $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}$.
  • Xét một tập $U$ trong cơ sở của $\mathcal{P}$, nghĩa là $U = \{x \in E \,|\, \forall 1 \leqslant i \leqslant k, \|x\|_{V_i} < r\}$ (ta chỉ cần xét lân cận của $0$ do tính đối xứng của không gian véc-tơ tô-pô). Với $V_1,\ldots,V_k \in \mathcal{V}$ và $r > 0$. Khi đó $C = \bigcap_{i=1}^k rV_i \in \mathcal{T}$ là một lân cận lồi đối xứng của $0$. Dễ thấy $C \subseteq U$. Từ đây ta có $U \in \mathcal{T}$. Vậy $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{T}$.

"Khi". Giả sử tô-pô của $E$ được sinh bởi họ nửa chuẩn $(p_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}}$. Với mỗi tập hữu hạn $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ và $r > 0$, dễ thấy tập hợp $$\{x \in E \,| \, \forall b \in \mathcal{B}, p_b(x) < r\}$$ là lồi. Chúng tạo nên một cơ sở lân cận lồi của $0$. $\square$

 

Định lý [Hahn-Banach dạng hình học]. Giả sử $A, B$ là hai tập lồi khác rỗng rời nhau của một không gian véc-tơ tô-pô $E$.

  1. Nếu $A$ mở thì tồn tại một siêu phẳng affine đóng $H = [f = \alpha]$ tách $A$ và $B$, nghĩa là $f(x) \leqslant \alpha \leqslant f(y)$ với mọi $x \in A$ và $y \in B$.
  2. Nếu $E$ lồi địa phương, $A$ compact và $B$ đóng thì tồn tại một siêu phẳng affine đóng $H = [f = \alpha]$ tách chặt $A$ và $B$, nghĩa là tồn tại $\varepsilon > 0$ sao cho $f(x) + \varepsilon \leqslant \alpha \leqslant f(y) - \varepsilon$ với mọi $x \in A$ và $y \in B$.

Chứng minh

Ta chứng minh

Bổ đề. Cho $C \subseteq E$ là một tập lồi mở và $x_0 \notin C$. Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục $\ell: E \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $x \in C$, ta có $\ell(x) < \ell(x_0)$.

Chứng minh bổ đề. Ta có thể giả sử $0 \in C$. Ta biết rằng $C = \{x \in E \,|\, \| x \| < 1\}$, vì thế $\|x_0\| \geqslant 1$. Gọi $f$ là phiếm hàm tuyến tính xác định trên đường thẳng sinh bởi $x_0$ thỏa mãn $f(x_0) = 1$. Khi đó $f$ bị chặn trên bởi $\| \cdot \|_C$. Theo định lý Hahn-Banach, $f$ thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính $\ell: E \to \mathbb{R}$ bị chặn bởi $\| \cdot \|_C$. Vì $C$ là lân cận của $0$ và ta dễ thấy với $\varepsilon > 0$ thì $ \ell(x) \geqslant \varepsilon$. Do đó $\ell$ là liên tục. Hiển nhiên ta có $\ell(x) \leqslant \|x\|_C < 1 = \ell(x_0)$ với mọi $x \in C$. $\square$

 

Trở lại định lý.

1. Ta áp dụng bổ đề trên cho $C = A - B$ và $x_0 = 0$.

2. Vì tính compact của $A$, ta có thể chọn được $n$ điểm $x_1,\ldots,x_n \in A$ và các lân cận mở $V_1,\ldots,V_n,V_1',\ldots,V_n'$ của $0$ sao cho

  • $(x_i + V_i) \cap A = \varnothing$.
  • $V_i' + V_i' \subseteq V_i$.
  • $A \subseteq \bigcup_{i=1}^n (x_i + V_i')$.

Gọi $W$ là lân cận mở của $0$ sao cho $$W + (-W) \subseteq \bigcap_{i=1}^n V_i'.$$ Khi đó $A' := A + W$ và $B' := B+W$ là hai tập lồi mở rời nhau. Ta áp dụng kết quả phần 1. cho $A'$ và $B'$. Cuối cùng, vì $W$ là lân cận của $0$ nên nó chứa tất cả các hướng, vì thế tồn tại $w_0 \in W$ sao cho $\ell(w_0) > 0$. Ta lấy $\varepsilon = \ell(w_0)$. $\square$

 

 

 

IV - Định lý Krein-Milman

 

Def. Cho $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô và $K$ là một tập con của $E$. Một tập con khác rỗng $A \subseteq K$ được gọi là một diện của $K$ nếu nó com-pắc và nếu với mọi $x,y \in K$, từ chỗ tồn tại $\lambda \in (0,1)$ sao cho $\lambda x + (1-\lambda)y \in A$ suy ra $x,y \in A$.

Một điểm $x_0 \in K$ được gọi là một điểm cực biên nếu $\{x_0\}$ là một diện.

 

Mệnh đề. Nếu $A$ là một diện của $K$ thì mỗi diện của $A$ đều là một diện của $K$.

 

Định lý [Krein-Milman]. Giả sử $E$ là một không gian véc-tơ tô-pô lồi địa phương, Hausdorff và $K \subseteq E$ là một tập lồi com-pắc. Khi đó $K$ là bao lồi đóng của các điểm cực biến của nó.

 

Chứng minh

1. Đầu tiên ta chứng minh $K$ có ít nhất một điểm cực biên. Fact: Phần này của định lý tương đương với tiên đề chọn.

Trên tập $\mathcal{P}$ các diện của $K$, ta định nghĩa một quan hệ thứ tự: $A \leqslant B$ nếu $A \supseteq B$. Nếu $\mathcal{Q} \subseteq \mathcal{P}$ được sắp thứ tự toàn phần, ta thấy $$\bigcap_{A \in \mathcal{Q}}A$$ là một diện của $K$ (do tính chất giao hữu hạn của tập com-pắc), vì thế đây là một chặn trên cho $\mathcal{Q}$. Theo bổ đề Zorn, tồn tại một diện $M$ cực đại theo quan hệ $\leqslant$. Ta chứng minh $|M| = 1$. Thật vậy, giả sử phản chứng rằng tồn tại $x_0,x_1 \in M$ với $x_0 \neq x_1$. Theo định lý Hahn-Banach dạng hình học, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục $f: E \to \mathbb{R}$ sao cho $f(x_0) < f(x_1)$. Đặt $$N = \{x \in M \,| \, f(x) = \inf_Mf\}.$$ Thế thì $N$ là một diện của $K$ (thứ nhất, $N \neq \varnothing $ vì $M$ là com-pắc; thứ hai $N$ cũng com-pắc vì nó đóng; tính chất còn lại trong định nghĩa diện được chứng minh dễ dàng). Mặt khác $x_1 \notin N$, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của diện $M$.

2. Gọi $\mathcal{E}$ là tập các điểm cực biên của $K$. Đương nhiên $K$ chứa bao lồi đóng của $\mathcal{E}$. Ta giả sử phản chứng rằng tồn tại điểm $x_0 \in K$ không nằm trong bao lồi đóng của $\mathcal{E}$. Theo định lý Hahn-Bach dạng hình học, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục $f: E \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $x \in \mathcal{E}$, ta có $f(x) < f(x_0)$. Tương tự nhiên trên, ta thấy $$A = \{x \in K \,| \, f(x) = \sup_K f\}$$ là một diện của $K$. Vì thế, nó có ít nhất một điểm cực biên $x_1$. Hiển nhiên $x_1$ cũng là một điểm cực biên của $K$ (mệnh đề trên), nghĩa là $x_1 \in \mathcal{E}$. Nhưng như vậy ta có $f(x_1) < f(x_0)$, mâu thuẫn. $\square$