duongdenvinhquang

GIẢI:
Bài2/ Giải hệ Phương trình:
$\Large\left\{ \begin{array}{1}\Large\ x^3+y^3=8 \\ \Large\ x+y+2xy=2 \end{array}\right.$
Hệ này có lẽ đơn giản;
$\{\ x^3+y^3=8\\ x+y+2xy=2\$
$\{\ (x+y)(x^2+y^2-xy)=8\\x+y+2xy=2\$
Dễ thấy đây là hệ đối xứng kiểu (1) nên đặt $x+y=u ;xy=v$
ta được;
$\{\ u(u^2-3v)=8\\u+2v=2$
$\{ v=\dfrac{2-u}{2}\\2u^3+3u^2-6u-16=0\$
$\{ v=\dfrac{2-u}{2}\\(u-2)(2u^2+7u+8)=0\$
Vì $\ 2u^2+7u+8>0$(Do >0 và $ a=2>0$) nên
$\{u=2\\v=0\$
$\{x+y=2\\xy=0}\$
--> hệ có nghiệm $(x;y)=(0;2);(2;0)$
Bài 3/
Hai góc A,B của tam giác ABC thỏa mãn $ tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}}=1$

CMR : $\dfrac{3}{4}\leq\tan{\dfrac{C}{2} <1 $

ta có $ A+B+C=\pi$
nên $\
tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}}tan{\dfrac{C}{2}}+tan{\dfrac{C}{2}}tan{\dfrac{A}{2}}=1$

Sử dụng điều kiện của đề bài: $ tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}}=1$ ta được :

$ tan{\dfrac{C}{2}}(tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}})+tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}=1$

Có $ tan{\dfrac{A}{2}};tan{\dfrac{B}{2}}>0$

Nên $ tan{\dfrac{C}{2}}<1$

lại có: $ tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}\leq\dfrac{(tan{\dfrac{A}{2}}+tan{\dfrac{B}{2}})^2}{4}$

hay $ tan{\dfrac{A}{2}}tan{\dfrac{B}{2}}\leq\dfrac{1}{4}$

--> $ tan{\dfrac{C}{2}}\geq\dfrac{3}{4}$

GIẢI:
Bài 1/
Tìm tất cả các giá trị của tham số $ a$ để hệ sau có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn Điều kiện $ x\geq\4$:
$ \Large\left\{ \begin{array}{1}\Large\ sqrt{x}+\sqrt{y}=3 \\ \Large\sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}\leq\ a \end{array}\right.$

ĐK: $ x\geq\4; y\geq 0$

khi đó đặt $ y=t^2 (t>0)$ thì: $ t=3-\sqrt{x}\leq\ 3-2=1$
--> $ 0\leq t\leq 1$; $ x= t^2-6t+9 $
Thế vào:
$ \sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}\leq\3$

ta được $ f(v)=\sqrt{(v-3)^2+5}+\sqrt{v^2+3}\leq\ a$
phải có nghiệm thuộc $ [0;1]$ $ min f(v)\leq\ a$

Xét $ f'(v)=\dfrac{v-3}{\sqrt{(v-3)^2+5}}+\dfrac{v}{\sqrt{(v^2+3)}}$

$ f'(v)=\dfrac{(v-3)\sqrt{v^2+3}+v\sqrt{(v-3)^2+5}}{\sqrt{(v-3)^2+5}\sqrt{v^2+3}}$

$f'(v)=0$ $ v\sqrt{(v-3)^2+5}=(3-v)\sqrt{v^2+3} (v\in[0,1])$

$ v^2[(v-3)^2+5]=(v-3)^2(v^2+3)$

$ 5v^2=3(v-3)^2$ vô nghiệm khi $v\in [0,1]$

$ f'(v)$ liên tục ; vô nghiệm khi $ v\in[0,1]$-->$ f'(v)$ không đổi dấu;

mà $ f'(1)=\dfrac{-2}{3}+\dfrac{1}{2} <0$

--> $ f'(v) <0$ khi $ v\in [0,1] --> f(v)$ nghịch biến

--> $ f(v) min=f(1)=5$
Kết luận: $ 5\leq a$

CMR: $\ a^{6}+ b^{6}+ c^{6} $ $\ a^{5}b+ b^{5}c+ c^{5}a $
a,b,c 0

Cosy như sau:
$\ a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+b^6\geq\6a^5b$
$\ b^6+b^6+b^6+b^6+b^6+c^6\geq\6b^5c$
$\ c^6+c^6+c^6+c^6+c^6+a^6\geq\6c^5a$
cộng 3 Bđt lại ta có đpcm
hic vừa gõ xong đã có nguời gửi rồi

Bài này dễ thôi mà,áp dụng trực tiếp BDT Trê-bư-sép là được

bạn chưa thể Sử dụng ngay Trebưsep được bởi
nếu G\s a b thì chưa chắc ta đã thu được$\ a^{n-1}\geq\ b^{n-1}$
bởi không có Giả thiết a,b 0
(a;b R;a+b 2)
lời giải của mình là:
giả sử a b ;mà lại có a+b>0 --> a>0 và $\ |a|\geq\|b| $
--> khi đó $\ a^{n-1}\geq\ b^{n-1}$
Áp dụng Trebưsep với a b;và $\ a^{n-1}\geq\ b^{n-1}$
$\(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})$ $\ 2(a^n+b^n)$
mà a+b 2--> $\ a^{n-1}+b^{n-1}$ $\ (a^n+b^n)$
dấu= khi a+b=2;a=b=1

mình thử giải bài 1 bằng bất đẳng thức Trêbusep:
vi a,b,c nhu nhau nen co the gia su $a \geq b \geq c$;
xet 2 day $a,b,c$ va $\dfrac{a^6}{b^6+c^6},\dfrac{b^6}{c^6+a^6},\dfrac{c^6}{a^6+b^6}$ thi
$\dfrac{a^7}{b^6+c^6} +\dfrac{b^7}{a^6+c^6}+ \dfrac{c^7}{a^6+b^6} \geq(a+b+c)(\dfrac{\dfrac{a^6}{b^6+c^6} + \dfrac{b^6}{c^6+a^6}+\dfrac{c^6}{a^6+b^6}}{3})$
ma theo nesbit 3so thi $\dfrac{a^6}{b^6+c^6} + \dfrac{b^6}{c^6+a^6} + \dfrac{c^6}{a^6+b^6} \geq \dfrac{3}{2} $
suy ra $LHS \geq \dfrac{a+b+c}{2} $