VuQuyDat

Với 3 số dương $a,\,b,\,c$ thì:

 

$$24\,\frac{a}{b+ c}+ 15\geqq 243\,\frac{a}{5\,a+ 2\,b+ 2\,c}$$

$\Leftrightarrow 120a^2-120a(c+b)+30(b+c)^2\geq 0\Leftrightarrow 30(2a-b-c)^2\geq 0$

$$4\,\frac{a}{b+ c}+ 1\geqq 9\,\frac{a}{a+ b+ c}$$

$\Leftrightarrow (2a-b-c)^2\geq 0$

Hoặc có thể áp dụng bđt Mincopxki:

$\sqrt{1+\frac{48}{x+y}}+\sqrt{1+\frac{48}{y+z}}+\sqrt{1+\frac{48}{z+x}} \geq\sqrt{(1+1+1)^2+48\left(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\right)^2}$

Giờ chỉ cần chứng minh $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đang cập nhật... ))

anh ơi dấu = xảy ra cả khi 1 trong 3 so =0 nữa nên cách naỳ nghe ko khả quan

vang em sai cai cái chắc roi

chẳng hiểu lúc nhìn kiểu gì

Bạn có thể làm rõ đoạn tương đương được không, vì bất đẳng thức từ hoán vị mà tương đương được về đối xứng thì vi diêu quá ~~~~

$\Leftrightarrow P=\frac{2x}{y+z-x}.\frac{2y}{x+z-y}.\frac{2z}{x+y-z}$

Đặt

$a=y+z-x$

$b=x+z-y$

$c=x+y-z$

$\Rightarrow P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$

mà $(a+b(b+c)(c+a)\geq 8abc\Leftrightarrow c(a-b)^2+b(c-a)^2+a(c-b)^2\geq 0$ đúng

$\Rightarrow P\geq 8$

dấu = xảy ra khi a=b=c hay x=y=z=2/3