Đến nội dung

CF Gauss

CF Gauss

Đăng ký: 31-03-2018
Offline Đăng nhập: 12-04-2018 - 01:57
**---

#705376 Trong một giải đấu bóng đá có 10 đội tham gia theo thể thức mỗi đội đều gặp đ...

Gửi bởi CF Gauss trong 10-04-2018 - 14:50

Với mỗi đội bóng $x_1$, nếu dãy đội $(x_1, x_2,\dots x_n)$ sao cho $x_i$ thắng $x_{i-1}$ có độ dài lớn nhất thì $n$ được gọi là bậc của $x_i$. Nhận thấy rằng, nếu $x$ thắng $y$ và bậc của $y$ là $d$, thì bậc của $x$ tối thiểu phải là $d+1$. Mặt khác, tồn tại một đội có bậc bằng $0$, vì bậc của một đội thì hữu hạn. Vậy nếu điều thứ nhất ở trên không xảy ra, thì bậc của một đội chỉ có thể là $2, 1, 0$. Có $10$ đội tất cả, suy ra tồn tại bốn đội cùng bậc. Mà hai đội cùng bậc thi không thể thắng lẫn nhau, vì bậc của đội thắng luôn lớn hơn. Q.E.D




#704606 VN TST 2018

Gửi bởi CF Gauss trong 31-03-2018 - 15:02

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2018

 

Ngày thi thứ nhất (30/3/2018)

Thời gian làm bài là $4\tfrac{1}{2}$ giờ

 

Bài toán 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB.$ Gọi $(O),({O}')$ lần lượt là tâm ngoại tiếp và tâm Euler của tam giác. Xét điểm $P$ bên trong tam giác $DEF$ và $DP,EP,FP$ cắt lại $({O}')$ lần lượt tại ${D}',{E}',{F}'$. Gọi ${A}'$ là điểm đối xứng với $A$ qua ${D}'.$ Xác định tương tự với ${B}',{C}'.$ 
 
a) Nếu $PO=P{O}'$, chứng minh rằng $({A}'{B}'{C}')$ đi qua $O.$ 
b) Lấy $X$ đối xứng với ${A}'$ qua đường thẳng $OD.$ Xác định tương tự với $Y,Z.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $XH,YH,ZH$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $M,N,K.$ Chứng minh rằng $M,N,K$ thẳng hàng.
 
Bài toán 2.
 
Với $m$ là số nguyên dương, xét bảng ô vuông $m\times 2018$ gồm $m$ hàng, $2018$ cột mà trong đó có một vài ô trống, còn một vài ô được đánh số $0$ hoặc $1.$ Bảng được gọi là “đầy đủ” nếu với bất kỳ chuỗi nhị phân $S$ có $2018$ ký tự nào, ta đều có thể chọn ra một hàng nào đó của bảng rồi điền thêm $0,1$ vào đó để $2018$ ký tự của hàng tạo thành chuỗi $S$ (nếu chuỗi $S$ đã có sẵn trên hàng nào đó rồi thì coi như thỏa mãn). Bảng được gọi là “tối giản” nếu nó đầy đủ và nếu ta bỏ đi bất kỳ hàng nào thì nó không còn đầy đủ nữa.
 
a) Cho $k\le 2018,$ chứng minh rằng tồn tại bảng tối giản ${{2}^{k}}\times 2018$ sao cho có đúng $k$ cột có đủ cả $0$ lẫn $1.$ 
b) Cho bảng tối giản $m\times 2018$ có đúng $k$ cột có chứa $0,1$, các cột còn lại đều trống. Chứng minh rằng $m\le {{2}^{k}}.$ 
 
Bài toán 3. Cho số nguyên dương $n\ge 3$ và ${{A}_{n}}$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn $n,$ nguyên tố cùng nhau với $n.$ Xét đa thức $${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k\in {{A}_{n}}}{{{x}^{k-1}}}.$$
a) Chứng minh rằng ${{P}_{n}}(x)=({{x}^{{{r}_{n}}}}+1)Q_n(x)$ với ${{r}_{n}}$ là số nguyên dương nào đó, còn $Q_n(x)$ là một đa thức hệ số nguyên (không nhất thiết khác hằng).
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để đa thức ${{P}_{n}}(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}.$
 
 
Hết ngày thi thứ nhất
 
---------------------------------------------------------------------------------------
 
Ngày thi thứ hai (31/3/2018)
Thời gian làm bài là $4\tfrac{1}{2}$ giờ
 

 
Bài toán 4. Cho $a$ là số thực thuộc đoạn $\left[ \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right].$Các dãy số $({{u}_{n}})$ và $({{v}_{n}})$ xác định như sau:
$${{u}_{n}}=\frac{3}{{{2}^{n+1}}}\cdot {{(-1)}^{[{{2}^{n+1}}a]}} \text{ và } {{v}_{n}}=\frac{3}{{{2}^{n+1}}}\cdot {{(-1)}^{n+[{{2}^{n+1}}a]}}.$$
 
a) Chứng minh rằng 
$${{({{u}_{0}}+{{u}_{1}}+\cdots +{{u}_{2018}})}^{2}}+{{({{v}_{0}}+{{v}_{1}}+\cdots +{{v}_{2018}})}^{2}}\le 72{{a}^{2}}-48a+10+\frac{2}{{{4}^{2019}}}.$$
b) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để đẳng thức xảy ra.
 
Bài toán 5.
Một bảng ô vuông $m\times n$ $ABCD$ có các đỉnh là các giao lộ (có tất cả $(m+1)\times (n+1)$ giao lộ). Người ta muốn thiết lập một tuyến đường bắt đầu từ $A,$ đi theo các cạnh song song với các cạnh của hình chữ nhật và đi qua tất cả các giao lộ đúng một lần, sau đó quay về $A.$ 
a) Chứng minh rằng có thể xây dựng được đường đi khi và chỉ khi $m$ lẻ hoặc $n$ lẻ.
b) Với $m,n$ thỏa mãn điều kiện câu a, hỏi có ít nhất bao nhiêu giao lộ mà tại đó có ngã rẽ?
 
Bài toán 6.
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ và $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(J)$ trên $BC,CA,AB.$ 
a) Gọi $L$ là trung điểm $BC$. Đường tròn đường kính $LJ$ cắt $DE,DF$ tại $K,H.$ Chứng minh rằng $(BDK)$ và $(CDH)$ cắt nhau trên $(J).$ 
b) Giả sử $EF$ cắt $BC$ tại $G$ và $GJ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N.$ Gọi $P,Q$ là các điểm trên $JB,JC$ sao cho $\angle PAB=\angle QAC=90{}^\circ .$ Gọi $T$ là giao điểm của $PM,QN$ và $S$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$ của $(O).$ Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng $SI$ cắt $AT$ tại một điểm thuộc $(O).$
 
 
Hết ngày thi thứ hai
 
 
(nguồn: Thầy Lê Phúc Lữ và diễn đàn toán Mathscope)



  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Likes: CF Gauss