BurakkuYokuro11

Xin gửi TOPIC 1 số bài toán về  Tính Bất Biến trong Tổ Hợp và Rời Rạc 

 $\boxed{\text{Bài 34}}$ Người ta viết trên bảng dãy các STN liên tiếp từ 1 đến 100 .Thực hiện trò chơi : Tiến hành xoá a,b bất kì trong dãy , viết lại 1 số là $a^{3} + b^3$ .Thực hiện trò chơi đến khi trên bảng còn lại 1 số . Hỏi số đó có thể là 9876543212019 không ? 

 $\boxed{\text{Bài 35}}$ Trên bảng ghi 2018 số $\frac{1}{1}; \frac{1}{2} ; .... ; \frac{1}{2018}.$ Mỗi lần xoá đi 2 số bất kì , ta thay bằng số $z = \frac{xy}{x+y+1}$ và giữ nguyên các số còn lại .Sau 2017 lần thực hiện thì trên bảng còn lại một số.Tìm số còn lại đó.

$\boxed{\text{Bài 36}}$ Có bao nhiêu tập hợp con A của Tập hợp $\left \{ 1,2,3,.., 2018 \right \}$ thoả mãn ĐK A có ít nhất 2 phần tử và nếu x , y thuộc A (x>y) thì $\frac{y^2}{x-y}$ thuộc A.( Đã sửa ^^)

$\boxed{\text{Bài 37}}$  n là 1 số lẻ . Đầu tiên ta viết các số từ 1 đến 2n trên bảng.Sau đó chọn ra 2 số bất kì a,b và xoá chúng, thay bằng $\left | a-b \right |$ .CMR : Số cuối cùng là số lẻ .

Tiếp tục nào

$\boxed{\text{Bài 31}}$ Số nguyên a được gọi là số ''đẹp'' nếu với mọi cách sắp xếp theo thứ tự tùy ý của 100 số 1,2,3,..,100 luôn tồn tại 10 số hạng liên tiếp có tổng lớn hơn hoặc bằng a. Tìm số đẹp lớn nhất.

 

Mình xí bài cuối cùng

Tuyển sinh THPT chuyên KHTN , 2016 vòng 1 

Giả sử x_{1 ,} x₂, .... , x₁₀₀ là một nhóm hoán vị tuỳ ý của các số 1,2,....,99,100.Ta chia thành 10 nhóm, mỗi nhóm gồm tổng 10 số hạng liên tiếp

S₁=x₁+x₂+...+x₁₀  ;.........................  ; S₁₀ = x₉₁ + ....+ x_{100 .}

_{Ta có} S₁+S₂+S₃+...+S_{10 = 1+2+ ...+ 100 = 5050 nên có ít nhất 1 chỉ số} $i$₍ $i$ $\epsilon$ N , $1 \leq i \leq 10$ ) sao cho S_$i$ $\geq 505$

Vậy a= 505 là 1 số đẹp. 
Ta xét 1 hoán vị đặc biệt 100, 1, 99, 2,., 51,50.
Khi đó tổng của 10 số hạng liên tiếp hoặc bằng 505 (Nếu số đầu tiên là lớn nhất) hoặc 500 (nếu số đầu tiên là nhỏ nhất).Suy ra, nếu a$> 505$ thì a không là số đẹp . Vậy max a = 505 

$\boxed{\text{ĐỀ 6}}$

 

Câu 3: a) Giải phương trình: $4x^2+4+\sqrt{3x+1}=13x$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x}+\sqrt{2y}=6\\ \sqrt{2x+5}+\sqrt{2y+9}=8 \end{matrix}\right.$

 

 

++Hết++

$\boxed{\text{ĐỀ 6}}$

Câu 1: a) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau t/m: $a^2+b=b^2+c=c^2+a$. Tính giá trị của biểu thức:

$T=(a+b-1)(b+c-1)(c+a-1)$

 

 

 

 

Câu 1 : a) Từ (gt) ta có : 

$a^{2}-b^2= c-b$
Suy ra : $a+b = \frac{c-b}{a-b}$

Suy ra : $a+b-1 = \frac{c-a}{a-b}$
Tương tự : $b+c-1 = \frac{a-b}{b-c}$ và $c+a-1 = \frac{b-c}{c-a}$
=> .......

---------------

   Anh em khuấy động [TOPIC] lại nào :v

$\boxed{\text{Bài 28}}$ Trên một bảng đen ta viết 3 số $\sqrt{2},2,\frac{1}{\sqrt{2}}$. Ta bắt đầu thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần chơi xoá hai số nào đó trong 3 số trên, giả sử là a và b rồi viết vào hai vị trí vừa xoá 2 số mới là $\frac{a+b}{\sqrt{2}}$ và $\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$ , đồng thời giữ nguyên số còn lại. Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có 3 số. Chứng minh rằng dù ta chơi bao nhiều lần đi chăng nữa thì trên bẳng không thể tồn tại đồng thời ba số $\frac{1}{2\sqrt{2}},\sqrt{2},1+\sqrt{2}$

(Trích đề thi vào trường Đại học Sư Phạm Hà Nội)

Khi xoá a và b thành $\frac{\left | a+b \right |}{\sqrt{2}} và \frac{\left | a+b \right |}{\sqrt{2}}$ thì tổng bình phương không đổi vì : 

$a^{2} + b^{2} = \left ( \frac{\left | a-b \right |}{\sqrt{2}} \right )^{2}+\left ( \frac{\left | a+b \right |}{\sqrt{2}} \right )^{2}$

Như vậy sau 1 số lần thay đổi, tổng bình phương của 3 số đó không đổi và là .....
Mà $\frac{1}{2\sqrt{2}}^{2} + \left ( \sqrt{2} \right )^{2} + (1+\sqrt{2})^{2} =....$ 
Suy ra điều mâu thuẫn .Vậy dù ta chơi bao nhiều lần đi chăng nữa thì trên bẳng không thể tồn tại đồng thời ba số $\frac{1}{2\sqrt{2}},\sqrt{2},1+\sqrt{2}$

 

5) Có:$A=\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2}=2a+\frac{b}{4a}+b^{2}=2a+b^{2}+\frac{b^{2}}{4ab}\geq 2a+b^{2}+(\frac{b}{a+b})^{2}=2a+b^{2}+(1-\frac{a}{a+b})^{2} \geq 2a+b^{2}+(1-a)^{2}=a^{2}+b^{2}+1\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}+1\geq \frac{3}{2}$

Dấu bẳng xảy ra $<=>a=b=\frac{1}{2}$

P/s: Topic cần chuyển thành năm 2018-2019.

 

Bạn Thea gì đó sai rồi . $\frac{b^2}{4ab}\geq \frac{b^2}{(a+b)^2}$ , thì 4ab >0 mới được . Lời giải đúng : 

a+b≥1 suy ra $b\geq 1-a$ suy ra $P\geq 2a+\frac{1}{4a} -\frac{1}{4} +b^{2} = a +\frac{1}{4a} +a+b^{2}-\frac{1}{4} \geq a+\frac{1}{4a} +b^{2} -b +\frac{3}{4} \geq 1+ \left ( b-\frac{1}{2} \right )^{2} + \frac{1}{2}$

$P \geq \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra : a= b = $\frac{1}{2}$

 Đề 2 . Bài 4:

Chứng minh được tứ giác: FRPN và RPME nội tiếp. 

Ta có: ^PFE=^DFB,^PEC=^DEF⇒^BAD=^PAC(Bổ đề đẳng giác)

⇒^FAR=^DAC . Mặt khác ^ARF=^AEF=^ACD

Nên $\Delta FQR$  đồng dạng tam giác $\Delta DEC$, mà E là trung điểm AC.

Do đó: Q là trung điểm AR.

Suy ra: FQ//BR.

Nên: ^RBC= ^QFE = ^RPE = ^RME

Suy ra: Tứ giác BRMC nội tiếp.

Suy ra ......

-----------------------------

P/S : Xin lỗi mọi người vì cách post nửa mùa của mình .Mình mới tập vẽ hình và không biết có sai sót chỗ nào không nữa, mọi người tự kiểm tra nha. 

Vì N, P đối xứng với M qua lần lượt AB và AC nên $AN = AP =(AM)$ => Tam giác ANP cân và $\angle NAP = 2 \angle BAC$ không đổi 
Từ A hạ AK vuông góc NP tại K . => $\angle NAK = \angle BAC$ 
$\frac{NP}{2}$ =NK = sin $\angle NAK$ . AN $\leq 2R . sin\angle BAC$
=> .... 
Dấu bằng xảy ra .....
 

 

Đề 3 Bài 4:

Cho $\Delta ABC$ nhọn với $AB<AC$ . E,F lần lượt là trung điểm CA,AB. Đường trung trực đoạn thẳng EF cắt BC tại D. Giả sử tồn tại điểm P nằm trong góc EAF và nằm ngoài $\Delta EAF$ sao cho$\angle PEC =\angle DEF$ và $\angle PFB=\angle DFE$ . PA cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta PEF$ tại Q khác P.

a) CMR $\angle EQF=\angle BAC+\angle EDF$

b) Tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp $\Delta PEF$ cắt đường thẳng $CA, AB$ lần lượt tại M,N. Chứng minh C,M,B,N đồng viên , gọi tâm của đường tròn này là $(K)$

c) Chứng minh $(K) $ tiếp xúc với đường tròn $\Delta AEF$

 

a. Vì tứ giác PEQF nội tiếp (gt) nên ta có : 
$\angle EQF = 180 - \angle EPF = \angle PEF + \angle PFE = \angle CED + \angle BFD = (\angle EDA + \angle EAD)+ (\angle DAF + \angle FDA)= \angle BAC + \angle EDF$

Vậy ....

b.KMTTQ : N nằm trên tia đối tia BA còn M nằm giữa A,C .Ta có : 

$\angle MNB = 180 - \angle NPF - \angle PFN = 180 -\angle PEF - \angle DFE = 180- \angle CED - \angle DEF = 180 - \angle FEC = \angle FEA = \angle ACB$

Suy ra .....
 

Khuấy đảo topic lại nào . Mình xin gửi tặng topic 1 bài : 
Bài 133 : Cho a,b,c là các số thực dượng thỏa mãn ab+bc+ac $\leq$ 3abc .CMR :
     $\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}} + \sqrt{\frac{c^{2}+b^{2}}{c+b}}+ \sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}}{a+c}} +3 \leq \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{c+b}+\sqrt{a+c})$

Đề 4:                                        

 

      Bài 2 : a)  Cho số thực a thỏa $0 \leq a \leq 1$. Tìm GTLN và GTNN của:

              $T=\frac{a}{2-a} + \frac{1-a}{1+a}$

   

$T = \frac{ 2a^{2} -2a + 2}{2+a- a^2 }$
Đến đây có thể CM $\frac{2}{3} \leq T \leq 1$ bằng cách phân tích thành nhân tử  hoặc sử dụng $\Delta$
Max T =1 khi x= 0 hoặc x= 1 
Min T =$\frac{2}{3}$ khi x= $\frac{1}{2}$

 

Đề 3

Bài 1:a) Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $M=a+b+2\sqrt{ab+c^2}$ là số nguyên. CMR M không phải số nguyên tố

Giả sử $p=a+b+2\sqrt{ab+c^2}$  là số nguyên tố  , khi đó $2\sqrt{ab+c^2}$ là số hữu tỉ hay $ab+c^{2}$ là số chính phương 

Đặt d = $ab+c^{2}$ (d $\epsilon$ N*) thì d>c và $p = a+b+2d$
 

                              $a \equiv -b-2d (mod p)$

và

                                $d^{2} - c^{2} \equiv - b^{2} -2bd (mod p)$

=))))         $d^{2} + b^{2} + 2bd -c^{2} \equiv 0 (mod p)$  hay $(b+d-c)(b+d+c)$ chia hết cho $p$ .Do đó$b+d+c$ hoặc $b+d-c$ chia hết cho $p$ .Trong cả 2 trường hơp 
b+d+c $\geq p = a+b+2d$
Hay $a+d-c$ <0 .Mâu thuẫn vì d>c .Suy ra .....

Bài 79 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.AH cắt (O) tại M ( khác A). Gọi K,L trên cạnh AC, AB sao cho HK // DE và HL //DF .Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt KL tại T.Qua M kẻ đường thẳng vuống góc với KL cắt AT tại S.CMR : HS vuông góc với HT 

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu n!= 1.2.3...n( Tích của n số nguyên dương đầu tiên ). CMR : Với mỗi số nguyên dương lớn hơn 2 và không vượt quá n! đều phân tích được thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho 2 số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều là ước của n!

Bài 1.1 đó đặt x-1 = b , x^2=a tui nghĩ sẽ ra nhanh hơn đấy 
Tôi còn câu hệ với câu BĐT