BurakkuYokuro11

Bài toán quen thuộc sử dụng phương pháp song ánh

Ta bỏ đi $n$ tập con có $1$ phần tử của $T_n$

$T_n-n$ tập "tốt" còn lại chia vào $2$ loại: Tập đó chứa trung bình cộng các phần tử của nó hoặc Tập đó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó

Giờ xét tập con của $S=\{a_1,a_2,...,a_k\}$ trong đó trung bình cộng của các phần tử của nó là $a_k$. Khi đó $S \setminus \{a_k\}$ cũng là một tập "tốt" và nó không chứa trung bình cộng các phần tử của nó. Dễ thấy phép biến đổi này là một đơn ánh

Tương tự nếu $S=\{a_1,...,a_k\}$ có trung bình cộng các phần tử của $S$ là $b$ và $b \neq a_i$. Dễ thấy $k<n$ vì $\dfrac{1+2+...+n}{n}$ nếu là số nguyên thì nó cũng nằm trong $X$. Do đó nếu xét $S'$ là hợp của $S$ với $b$ thì $S'$ là một tập con của $X$ và dễ thấy đây cũng là một đơn ánh

Vậy tồn tại một song ánh đi từ $2$ loại tập tốt này vào nhau. Do đó số lượng tập tốt ở mỗi loại này bằng nhau

Do đó $T_n -n  \vdots 2$

Với $y=1$, ta có: $(x^2-9)^2=49 $

$=> x^2-9=\pm 7$

$=> x=4$

Với $y\geq 2$, ta chứng minh rằng $33y+16 < 36y^2$ ( Tự c/m)

Hay $-6y < x^2-9y^2 < 6y $

$=>(3y-1)^2 \leq x^2< 3y+1 $

$=> 3y-1 \leq x< 3y+1$

Xét $x=3y-1$ và $x=3y$ đều vô nghiệm nguyên dương $=>$ ...

Number Theory !  

Câu Hình từ thầy Nguyễn Lê Phước : 

Bài 1 : $d_{1},d_{2},d_{3},...,d_{k}$ là tất cả các ước nguyên dương của n được sắp xếp theo thứ tự tăng dần . Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất $\left\{\begin{matrix} d_{5}-d_{3}=40\\ 7d_{5}+8d_{7}=3n \end{matrix}\right.$

Ta có : $d_{5} 7d_{7}<3n<15d_{7} => \frac{7}{3}d_{7}n=\left \{ 4d_{7},3d_{7} \right \}$ ( Do $n\vdots d_{7}$)<5d_{7}=>{7}>

Trường hợp 1 : $n=3d_{7}$

$=>\left\{\begin{matrix} n\vdots 3\\ 7d_{5}=d_{7} \end{matrix}\right.=>\left\{\begin{matrix} n\vdots 3\\ n\vdots 7 \end{matrix}\right.$

Nếu $d_{2}=2=> d_{3}=3 ,d_{5}=43$  (Loại do $d_{4}$ phải nhận 2 giá trị 6 và 7 )

Nếu $d_{2}\neq 2 =>d_{2}=3=> d_5> 43. $

$n\vdots 7 => d_3=7 ;d_4=21$

$=> d_5=47$$=> d_7=7d_5=329 => n=987$

Trường hợp 2 : Tương tự 

Ảnh : Thầy Nguyễn Lê Phước

Câu Tổ hợp : Nhận thấy : 

Số thay thế $z=\frac{1}{(\frac{1}{x}+1)(\frac{1}{y}+1)-1}$

Nên số cuối cùng còn lại chính là

$A= \frac{1}{(\frac{1}{1}+1)(\frac{1}{2}+1)...(\frac{1}{2018}+1)} = \frac{1}{2019}$

Tìm a,b là các số tự nhiên khác 0 thoả mãn : 

(i) $p=a^2+b^2$ là số nguyên tố

(ii) $a^3+b^3-4\vdots p$

Theo mình câu 2b chỉ cần làm như thế này :

$a,b,c\in \mathbb{N};a,b,c\geq 1;a< b< c$

Áp dụng BĐT trong tam giác :

$\frac{a+b+c}{c}> \frac{2c}{c}=2;\frac{a+b+c}{c}< \frac{3c}{c}=3$

Bài 3 : Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn $\sum \frac{1}{a}=1$.CMR : $\sum \frac{a^2}{a+bc}\geq \frac{\sum a}{4}$

------------------------------------------

$\sum \frac{a^2}{a+bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+ab+bc+ac}\geq \frac{a+b+c}{4}<=>3(a+b+c)\geq ab+bc+ac$

Ta chứng minh điều đó . Ta có $(a+b+c)=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

Nên $3(a+b+c)\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ac$(đfcm)

Dấu bằng xảy ra : $a=b=c=3$

Bài 2 : 1) b) Tìm tất cả các nghiệm tự nhiên của phương trình $x^2+4x+3=2^{y^2-2y}$

---------------------

$2^{y^2-2y}=x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ 

TH1 : $x+1=1=> x=0 => x+3=3=> 2^{y^2-2y}=3 (L)$

TH2 : $x+1 \geq 2 => x+1=2^a ; x+3=2^b$($a,b \in N; a,b \neq 0$$b>a$)

Khi đó : $\left\{\begin{matrix} a+b=y^2-2y\\ 2^b-2^a=2 \end{matrix}\right.$

$2^a(2^{b-a}-1)=2=> a=1 ; b-a=1=> a=1;b=2=>x=1 ; y=3$

Bài 2 : 1) a)Tìm k thuộc N để dãy: 

$k+1, k+2, k+3... k+10$ có nhiều số nguyên tố nhất

---------------------

Ta có :

$k=0$ thì dãy có 4 số nguyên tố

$k=1$ thì dãy có 5 số nguyên tố

$k=2$ thì dãy có 4 số nguyên tố

$k\geq 3$

- Có 5 số chẵn lớn hơn 2

- Có 5 số lẻ liên tiếp ( lớn hơn 3 ) nên có ít nhất 1 số chia hết cho 3 

Suy ra dãy có ít nhất 6 số hợp số hay có tối đa 4 số nguyên tố

Vậy :

$k=1$

Bài 1 : a) Giải Phương trình : $(x+2)\sqrt{x+1}=2x+1$

b)Cho x,y,z là các số khác không thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2018\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2018} \end{matrix}\right.$

CMR : $P=(x^{2017}+y^{2017})(z^{2017}+y^{2017})(x^{2017}+z^{2017})$

---------------------

a) ĐK : $x\geq -1$

$PT => (x+2)^2(x+1)=(2x+1)^2 <=> x^3+5x^2+8x+4=4x^2+4x+1 <=> x^3+x^2+4x+3=0 <=> ...$
(Giải và thử lại)

b)Ta có : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}<=>(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z})=0 <=> \frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z(x+y+z)}=0 <=> \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz(x+y+z)}=0<=>(x+y)(y+z)(z+x)=0<=>....$

Bài 1 : Cho tam giác ABC và điểm O bất kỳ . $A',B',C'$ lần lượt đối xứng với $A,B,C$ qua O . Các đường thẳng song song với nhau lần lượt qua $A',B',C'$ cắt BC,CA,AB tại M,N,P

CMR : M,N,P thẳng hàng

Bài 2 : Cho tam giác ABC . Phân giác trong BD,CE cắt nhau tại I. Gọi X,Y,Z lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IBC, ICD, IBE

CMR : AX, BY, CZ đồng quy

 

Bài 10: Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng $1$ để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng $3$, với giả thiết không được cắt tấm bìa.