VricRaet

Tìm hàm số f thỏa mãn $f: R^+ \to R^+; f(f(x)+x^2+2y)=f(x)+x^2+2f(y) $. với x, y>0, x, y là số thực

Thay $f(x)$ bởi $y^{2}$ và y bởi xy ta có:
$f((x+y)^{2})=(x+y)^{2}+2f(xy)-2xy$ (1)
Thay y=1 vào (1):
$f((x+1)^{2})=(x+1)^{2}-2x+2f(x)$ (2)

Hay: $4(f(x)-x)=2[f((x+1)^{2})-(x+1)^{2}]$

Thay $(x+1)^{2}$ bởi x vào (2) có:
$2[f((x+1)^{2})-(x+1)^{2}]=f(x)-x$
Dẫn đến: $4(f(x)-x)=f(x)-x$
Suy ra $f(x)=x$
 

Kẻ đg kính AX của $(O)$, $KX\cap (O)\equiv M$,$EF\cap BC\equiv N$
Dễ c/m $MNBF$ nội tiếp và $AMFE$ nội tiếp
Với N là tâm đẳng phương của $(O),(K) và (AMFE)$
Sử dụng định lý 4 điểm có ngay KM vuông góc AN
Suy ra $MHLN$ nội tiếp
Do đó: $AM.AN=AF.AB=AH.AL$
Hay tứ giác $BFHL$ nội tiếp

Xét 2 dãy $(a_{n}),(b_{n})$ thỏa mãn:
$a_{0}=a_{1}=a_{2}=min(x_{0};x_{1};x_{2});a_{n+3}=log_{5}(3^{a_{n}}+4^{a_{n+2}})$

$b_{0}=b_{1}=b_{2}=max(x_{0};x_{1};x_{2});b_{n+3}=log_{5}(3^{b_{n}}+4^{b_{n+2}})$

Hàm số $f(x)=log_{5}(3^{x}+4^{x})$ có điểm bất động tại x=2 nên ta xét:
TH1:$min(x_{0};x_{1};x_{2})\geq 2$ suy ra $a_{0}=a_{1}=a_{2}\geq 2$

Bằng quy nạp chứng minh $a_{n}\geq 2$ và $a_{n+1}\leq a_{n}$

Suy ra dãy $(a_{n})$ hội tụ và $lim(a_{n})=2$
TH2: $min(x_{0};x_{1};x_{2})< 2$
Tương tự có dãy (a_n) tăng và bị chặn trên và $lim(a_{n})=2$
Bằng quy nạp cũng có $lim(b_{n})=2$ 
Tiếp tục dùng quy nạp để chứng minh: $a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n}$

Từ nguyên lý kẹp có: $lim(x_{n})=2$

2 bài 13 , 14  khá đơn giản nên mình đề xuất thêm bài nựa ;

Bài 15: (Elise) Cho $\triangle{ABC}$ tâm nội $I$ , ngoại $(O)$, tâm bàng $M,N,P$, các chân phân giác ngoài thẳng hàng trên đường thẳng d . Đường thẳng qua $M,N,P$ lần lượt vuông góc $BC,CA,AB$ cắt $d$ tương ứng tại $D,E,F$. CMR $AD,BE,CF$ và $OI$ đồng quy

Nếu đã có lời giải thì bạn nên đăng lên để mọi người cùng tham khảo, góp ý thay vì câu nói "khá đơn giản" Đã là 1 topic phục vụ cho việc ôn tập thì mng luôn cố gắng đưa ra những lời giải hay nhất và cố gắng để bài nào cũng có lời giải...

1/$\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}=\sqrt{\frac{a^{2}+2c^{2}}{a^{2}c^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{a^{2}}} =>\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac} + \frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{cb} + \frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ba}=\sum \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{a^{2}}}$

Từ đk suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Đặt: $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z (x,y,z> 0;x+y+z=1)$

Cần chứng minh: $\sum \sqrt{x^{2}+2y^{2}}\geq \sqrt{3}$

Sử dụng bđt: $\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^{2}}$ có ngay bđt trên

2/ Dự đoán điểm rơi tại x=y=z=1
Xét:$x^{3}+y^{2}\geq 2yx\sqrt{x}$ 
Ta cần c/m bđt: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\leq \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}$
Mà bđt này đúng 
Ta có đpcm