VricRaet

Kẻ đg kính AX của $(O)$, $KX\cap (O)\equiv M$,$EF\cap BC\equiv N$
Dễ c/m $MNBF$ nội tiếp và $AMFE$ nội tiếp
Với N là tâm đẳng phương của $(O),(K) và (AMFE)$
Sử dụng định lý 4 điểm có ngay KM vuông góc AN
Suy ra $MHLN$ nội tiếp
Do đó: $AM.AN=AF.AB=AH.AL$
Hay tứ giác $BFHL$ nội tiếp

(Vasile Cirtoaje)Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn đk a+b+c=3.CMR
$\sqrt{3a^{2}+1}+\sqrt{3b^{2}+1}+\sqrt{3c^{2}+1}\geq \sqrt{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+30}$

2 bài 13 , 14  khá đơn giản nên mình đề xuất thêm bài nựa ;

Bài 15: (Elise) Cho $\triangle{ABC}$ tâm nội $I$ , ngoại $(O)$, tâm bàng $M,N,P$, các chân phân giác ngoài thẳng hàng trên đường thẳng d . Đường thẳng qua $M,N,P$ lần lượt vuông góc $BC,CA,AB$ cắt $d$ tương ứng tại $D,E,F$. CMR $AD,BE,CF$ và $OI$ đồng quy

Nếu đã có lời giải thì bạn nên đăng lên để mọi người cùng tham khảo, góp ý thay vì câu nói "khá đơn giản" Đã là 1 topic phục vụ cho việc ôn tập thì mng luôn cố gắng đưa ra những lời giải hay nhất và cố gắng để bài nào cũng có lời giải...

Ta có: $GA_{1}GA=GB_{1}GB=GC_{1}GC$

Kẻ đường kính $D_{1}D$ qua G sao cho OG vuông góc DD1 ta có $GA_{1}GA=$GD_{1}.GD$$=GD_{1}^{2}=R^{2}-OG^{2}$

$3\vec{OG}=\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OA} ->9OG^{2}=3R^{2}+2(\vec{OA}.\vec{OB}+\vec{OC}.\vec{OB}+\vec{OA}.\vec{OC})$

Mà $2\vec{OA}.\vec{OB}=2R^{2}-(\vec{OA}-\vec{OB})^{2}=2R^{2}-c^{2}$

Tương tự suy ra $R^{2}-OG^{2}=\frac{1}{9}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$=$\frac{1}{3}(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})$

Xét: $GA_{1}+GB_{1}+GC_{1}=\frac{GA_{1}.GA}{GA}+\frac{GB_{1}.GB}{GB}+\frac{GC_{1}.GC}{GC}=(R^{2}-OG^{2})(\frac{1}{GA}+\frac{1}{GB}+\frac{1}{GC})$=$\frac{1}{3}(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})(\frac{1}{GA}+\frac{1}{GB}+\frac{1}{GC})\geq \frac{1}{9}(GA+GB+GC)^{2}(\frac{1}{GA}+\frac{1}{GB}+\frac{1}{GC})\geq GA+GB+GC$

Cho tam giác ABC. P thuộc cạnh BC. kẻ PE//AC,PF//AB(E,F thuộc AB,AC).Đường tròn qua A,B tiếp xúc với AC giao đường tròn qua A,C tiếp xúc với AB tại D.CMR: A,E,F,D đồng viên