ntbt273

$VT=(a+b+c)\sum\frac{1}{3a+3b+2c}+2\sum \frac{c}{3a+3b+2c}$

$\geq (a+b+c)\frac{9}{8(a+b+c)}+2\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+3ab+3ac}\geq \frac{9}{8}+\frac{2(a+b+c)^{2}}{2\sum a^{2}+6\sum ab}\geq \frac{9}{8}+\frac{2(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)^{2}+\frac{2}{3}(a+b+c)^{2})}=\frac{9}{8}+\frac{3}{4}=\frac{15}{8}$

Giải bằng cauchy-schwarz có lẽ dễ dàng hơn đặt ẩn

$VT=\sum \frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}\geq \sum \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{x+y}{\sqrt{xy}+1}\geq \sqrt{3}\sum \frac{x+y}{x+y+2}$

Đặt a=x+y; b=y+z ; c=z+x . bất đẳng thức được viết lại như sau: 

$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geq 1 <=> \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1 <=> 3 \leq ab+bc+ca (luôn đúng vì a.b.c=1)$

$(1)<=> (x-y+1)^{2}=0 <=> y=x+1    Thế vào (2), ta được:$

$<=> x^{3}+3(x+1)^{2}+5x-12=(12-x-1)\sqrt{3-x}$

$<=> x^{3}+3x^{2}+11x-9=(11-x)\sqrt{3-x}$

$(x+1)^{3}+5x=(\sqrt{3-x}+1)^{3}+5\sqrt{3-x}$

$=> x=\sqrt{3-x}$

Thế coi như đã xong 

Ta có bổ đề: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{\sqrt[3]{abc}}$

$VT\geq \frac{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{\sqrt[3]{abc}}+a+b+c\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+3\sqrt[3]{abc}\geq 6$

BĐT$\sum \frac{1}{4a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{1}{9}\sum \frac{(a+b+c)^{^{2}}}{4a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{9}\sum (\frac{a^{2}}{2a^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}})=\frac{1}{2}$