Pretty Puppy

Khảo sát sự hội tụ của tích phân

a) $\int_{0}^{+\infty }\sqrt{x}e^{-x}dx$

b) $\int_{1}^{+\infty }\frac{ln(1+\sqrt[4]{x})}{e^{3x}-1}$

Chứng minh với mọi số thực $a, b, c$ thì ta có $2(a+b+c)-abc\geq 0$

Gọi O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có

$$MB^{2}+MC^{2}=2MA^{2}$$

$\Leftrightarrow MB^{2}+MC^{2}-2MA^{2}=0$

$\Leftrightarrow (\vec{MO}+\vec{OB})^{2}+(\vec{MO}+\vec{OC})^{2}-2(\vec{MO}+\vec{OA})^{2}=0$

$\Leftrightarrow 2\vec{MO}(\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OA})=0$

$\Leftrightarrow 2\vec{MO}(\vec{AB}+\vec{AC})=0$

$\Leftrightarrow 4\vec{MO}.\vec{AI}=0$(với I là trung điểm của BC)

$\Leftrightarrow \vec{MO}.\vec{AI}=0$ 

Vậy M thuộc đường thẳng vuông góc với AI đi qua tâm O

Chứng minh rằng: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì $\frac{AC}{BD}=\frac{AB.AD+BC.CD}{AB.BC+CD.AD}$