ThinhThinh123

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1.Cmr:$\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}\leq \frac{3}{2}$

Ta có:  $\sqrt \frac {xy}{xy+z}=\sqrt \frac {xy}{xy+z(x+y+z)}= \sqrt \frac{xy}{(z+y)(z+x)} \leq (\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}).\frac{1}{2}$

Suy ra: $\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}\leq \sum (\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}).\frac{1}{2} \leq \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z= \frac{1}{3}$

Đặt $ a= \frac{x}{y}; b= \frac{y}{z}; c= \frac{z}{x}$  $(x,y,z>0)$

 

Suy ra : $\frac{1}{a}=\frac{y}{x};\frac{1}{b}=\frac{z}{y};\frac{1}{c}=\frac{x}{z} $ và $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=3$

 

Ta đi chứng minh:

 

$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2$

 

Ta có:

 

$3= a+b+c= \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} = \frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{yz}+\frac{z^2}{zx} \geq \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}$

 

$=>3(xy+yz+zx) \geq (x+y+z)^2 <=> xy+yz+zx \geq x^2+y^2+z^2$

 

$<=> \frac{1}{3}(x+y+z)^2 \geq xy+yz+zx \geq x^2+y^2+z^2$

 

Lại có:

$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}$

 

$ \sum (\frac{y}{x})^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{3}.(x+y+z)^2} =3$

Suy ra: 

 

$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq 3 (1)$

 

Ta có: BĐT quen thuộc: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a+b+c) \geq 9$

 

    $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 3 <=> \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \geq 3 $

 

$(\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2=(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^2- 2.(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z})$

 

$ (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2 \leq 3^2-2.3 = 3$

 

Suy ra : $ (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2 \leq 3^2-2.3 = 3 (2)$

 

Từ (1) và (2) suy ra :

 

$(\frac{y}{x})^2+(\frac{z}{y})^2+(\frac{x}{z})^2 \geq 3 \geq (\frac{x}{y})^2+ (\frac{y}{z})^2+(\frac{z}{x})^2$

 

$=> (dpcm)$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

 

 

    

Cảm ơn bạn rất nhiều! Xin lỗi vì đánh không rõ đề  , đề của mình đã sửa rồi bạn, bạn giúp mình nhé! 

Xin cái đề hoàn chỉnh tý pạn ,câu min này mình giải xong

Cho mình xin lời giải nhé! Đề hoàn chỉnh mình sẽ đăng ở box Tài liệu-Đề thi.

Cho x,y,z  là các số thực dương sao cho $xyz(x+y+z) \leq 3$ .Chứng minh   

$(x^5-2x+4)(y^5-2y+4)(z^5-2z+4)\geq 9. \sqrt{3x^2+3y^2+3z^2}$