huyhoangcyb

Câu 3:
Ta chứng minh 2³ + 4³ + 6³ +...+ (2n)³ = 2n²(n+1)²
thật vậy:
+) Với n=1 thì 2³ = 2.1².2² luôn đúng.
 
+) Giả sử đẳng thức trên đúng với n=k, tức là :
 
2³ + 4³ + 6³ +...+ (2k)³ = 2(k)²(k+1)²  (2)
 
ta đi chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
 
   2³ + 4³ + 6³ +...+ (2k+2)³ = 2(k+1)²(k+2)² 
Từ (2) cộng  2 vế với (2k+2)³ ta đc đpcm.

với n=2019 ta có $\sum_{k=1}^{2019}{(2k)^3}$ =  2.2019².2020² $\equiv 0$ (mod 3)

Mặt khác 2018ⁿ chia cho 3 dư 1 hoặc -1. 

Vậy không tồn tại số nguyên dương n sao cho 2018ⁿ biểu diễn được dưới dạng tổng lập phương của 2019 số nguyên chẵn liên tiếp