PhanDHNam

đề của bạn còn chẳng ghi với mọi a,m thì mình sao biết được 

Chứng minh tồn tại $n\epsilon \mathbb{N}$(n khác không) sao cho  $(a^{n} -1)\vdots m$(ƯCLN(a,m)=1) 

Bài toán trên là bài toán mình giả định,rút ra từ bài toán khác.Mọi người thử chứng minh giúp mình với!

Dễ thấy $a^n-1\vdots a-1$.Vậy nếu m và a là hai số tự nhiên liên tiếp ( m<a) ( thỏa mãn điều kiện (m;a)=1) => m = a - 1

$\Rightarrow a^n-1\vdots m$ ( Do m = a - 1 )

Vậy tồn tại số tự nhiên n sao cho $a^n-1 \vdots m$ ((a;m)=1)với điều kiện m và a là  hai số tự nhiên liên tiếp 

Thật vậy giả sử lấy a= 3; m = 2; và n là số tự nhiên bất kì dễ thấy $3^n-1\vdots 2$

Tại sao đoạn đầu bạn lại suy được ra như vậy: Từ $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x^2+x-1=0$

$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow 2x+1=-\sqrt{5}\Rightarrow 4x^2+4x+1=5\Rightarrow 4x^2+4x-4=0\Rightarrow x^2+x-1=0$

Từ $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x^2+x-1=0$

$\Rightarrow x^2=1-x\Rightarrow x^8=x^4+4x^2+1+2x^2-4x-4x^3$

$\rightarrow \Rightarrow x^8+10x+13=x^4-4x^3+6x^2+6x+14=x^4-4x(x^2+x-1)+10x^2+2x+14=x^4+10x^2+2x+14$

mà $x^2=1-x\Rightarrow x^4=x^2-2x+1$

$\Rightarrow x^4+10x^2+2x+14=11x^2+15$

Hay $x^8+10x+13=11x^2+15$  (*)

do $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x^2=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$ Thay vào (*) ta được $x^8+10x+13=\frac{126+22\sqrt{5}}{4}\Rightarrow \sqrt{x^8+10x+13}=\sqrt{\frac{126+22\sqrt{5}}{4}}$

Từ giả thiết ta có : $(a-2)(a+1)\leq 0\Leftrightarrow a^2\leq a+2$ tương tự với b, c cộng ba vế lại ta được đpcm