Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


doandoan314

Đăng ký: 29-05-2018
Offline Đăng nhập: 12-08-2019 - 23:43
-----

#715739 $3-x+\sqrt{6-8x}\geq 10x^2+\sqrt{2x+1...

Gửi bởi doandoan314 trong 19-09-2018 - 18:03

Giải bất phương trình sau:
$$3-x+\sqrt{6-8x}\geq 10x^2+\sqrt{2x+1}$$


#713817 $x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$

Gửi bởi doandoan314 trong 04-08-2018 - 16:53

Trong lời giả của bài toán sau, em không hiểu 1 chỗ, mong các bạn, các anh chị, thầy cô giải đáp giúp em ạ.

Cho $x, y, z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx).$$

Lời giải

Trong 3 số $x, y, z$ luôn có hai số cùng lớn hơn hay bằng 1 hoặc cùng nhỏ hơn hay bằng 1(Em không hiểu chỗ này ạ).

Giả sử hai số đó là $x, y$ thì ta có $(x-1)(y-1) \geq 0$, suy ra $xy+1\geq x+y$. Do đó $$2xyz +2z\geq 2xz+2yz$$

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh $$x^2+y^2+z^2+1\geq 2xy+2z$$

Nhưng đều này là hiển nhiên vì nó tương đương với $$(x-y)^2+(z-1)^2\geq 0$$ 

Bài toán được chứng minh.

 




#713444 $Min$ $\sum \sqrt{a+b}$

Gửi bởi doandoan314 trong 29-07-2018 - 11:49

Cho $a\geq 0, b\geq 0, c\geq 0$ và $a+b+c\leq 2018$. Tìm GTLN: $$P= \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$$ 




#713330 $\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}...

Gửi bởi doandoan314 trong 27-07-2018 - 11:58

Cho $a, b, c$ là số thực dương, thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng: $$a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^2+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^2+ab}}\leq \frac{3}{abc}$$


#713327 $(a+1)(b+1)(c+1)\geq 4abc$

Gửi bởi doandoan314 trong 27-07-2018 - 09:39

\[\left ( a+ 1 \right )\left ( b+ 1 \right )\left ( c+ 1 \right )- 4\,abc= \left ( 6- a- b- c \right )\left ( 3\,ab- a- b- 1 \right )+ 5\left ( 3- a \right )\left ( 1- a \right )+ \left ( 3\,a- 1 \right )\left ( 2- b \right )\left ( 4- a- b \right )\geqq 0\][/size]


Làm sao có thể tư duy biến đổi được các nhân tử như thế?


#713324 $(a+1)(b+1)(c+1)\geq 4abc$

Gửi bởi doandoan314 trong 27-07-2018 - 08:42

\[\left ( a+ 1 \right )\left ( b+ 1 \right )\left ( c+ 1 \right )- 4\,abc= \left ( 6- a- b- c \right )\left ( 3\,ab- a- b- 1 \right )+ 5\left ( 3- a \right )\left ( 1- a \right )+ \left ( 3\,a- 1 \right )\left ( 2- b \right )\left ( 4- a- b \right )\geqq 0\][/size]

Có cách khác ngoài tách nhân tử chung không?


#713260 $(a+1)(b+1)(c+1)\geq 4abc$

Gửi bởi doandoan314 trong 26-07-2018 - 09:19

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thõa mãn $a\leq 1; b\leq 2; a+b+c=6$. Chứng minh rằng:
$$(a+1)(b+1)(c+1)\geq 4abc$$


#713180 $a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2} \geq 2(ab+bc+ca)$

Gửi bởi doandoan314 trong 25-07-2018 - 00:11

Cho $a, b, c$ là số thực không âm. Chứng minh rằng: $$a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{(abc)^2} \geq 2(ab+bc+ca)$$




#713177 $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \...

Gửi bởi doandoan314 trong 24-07-2018 - 22:32

Hướng giải : $a+\frac{1}{2}.\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}.\sqrt[3]{a.4b.16c} \leq \frac{4}{3}(a+b+c)$

Ý mình là tại sao lại nghĩ đến phép biến đổi đó.


#713175 $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \...

Gửi bởi doandoan314 trong 24-07-2018 - 22:23

Hướng giải : $a+\frac{1}{2}.\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}.\sqrt[3]{a.4b.16c} \leq \frac{4}{3}(a+b+c)$

Tại sao lại làm theo hướng như vậy?


#713170 $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \...

Gửi bởi doandoan314 trong 24-07-2018 - 21:24

Cho $a, b, c$ là 3 số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: $$a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq \frac{4}{3}(a+b+c)$$


#712935 $\sum \sqrt{5a^2+4bc}\geq \sqrt{3(a^2...

Gửi bởi doandoan314 trong 21-07-2018 - 11:19

Cho số thực $a, b, c$ . Chứng minh: $$\sqrt{5a^2+4bc}+\sqrt{5b^2+4ca}+\sqrt{5c^2+4ab}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$$




#712933 $\sum \frac{4a^2-b^2-c^2}{a(b+c)}\leq...

Gửi bởi doandoan314 trong 21-07-2018 - 11:10

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{4a^2-b^2-c^2}{a(b+c)}+\frac{4b^2-c^2-a^2}{b(c-a)}+\frac{4c^2-a^2-b^2}{c(a+b)}\leq 3$$




#712929 $\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{1...

Gửi bởi doandoan314 trong 21-07-2018 - 10:43

Cho các số thực dương $a, b, c\geq 0$ thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh: $$\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{1}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{1}{(c+1)^2+a^2+1}\leq \frac{1}{2}$$




#712928 $\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}...

Gửi bởi doandoan314 trong 21-07-2018 - 10:34

Cho $a, b, c\geq 0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh: $$\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\geq 1$$