doandoan314

Cho $a, b, c\geq0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $$abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{729}$$

Cho $a, b, c$ là các số không âm. Chứng minh rằng $$(a+b+c)^3\geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$$

Chứng minh rằng $x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$ với mọi x, y, z

Cho $a, b, c\geq 0$ sao cho không có ba số nào đồng thời bằng 0. $CMR:$ $S=\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+d}}\geq 2$

Cho $a\geq 3$, $b\geq 4$, $c\geq 2$. Tìm $GTLN$ của $A=\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}$

Cho $x, y, z\geq0$, $x+y+z=1$. $CMR:$ $\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}\leq \frac{3}{2}$

Cho 2 số dương $x, y$, thỏa mãn $x\geq 2y$. Tìm $GTNN$ của $P=\frac{2x^2+y^2+2xy}{xy}$

Cho $a, b>0$ và $a+b\leq 1$. $CMR:$ $a+b+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq 9$

Đây là BĐT Bunyakovsky hay Cauchy-Schwarz vậy mọi người? $$(a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2+...+a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2)\geq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{4}+...+a_{n}b_{n})^2$$

Cho $a, b, c$ dương, thỏa mãn $a+b+c=3$. $CMR:$ $\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}+\frac{c^3}{(b+1)(a+1)}\geq\frac{3}{4}$

Cho $a, b, c$. $CMR$: $\frac{a^3}{b(c+a)}+\frac{b^3}{c(a+b)}+\frac{c^3}{a(b+c)}\geq\frac{a+b+c}{2}$

Cho $a, b, c$ là các số thực dương, thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq1$

Cho $\frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2}$ và $y\geq 1$. Tìm $GTNN$ $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Cho 3 số dương $a, b, c$ có $abc=1$. $CMR$ $\frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{2}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{2}{(c+1)^2+a^2+1}\leq1$

Cho $x, y$ dương. Tìm $GTNN$ của $P=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(x+2y)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(2y+x)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$