Vian

Cho cấp số cộng $(a_n)$, cấp số nhân $(b_n)$ thỏa mãn $a_2>a_1\ge 0; b_2>b_1\ge 1$ và hàm số $f(x)=x^3-3x$ sao cho $f(a_2)+2=f(a_1)$ và $f(\log_2{b_2})+2=f(\log_2{b_1})$. Tìm số nguyên dương $n, (n>1)$ nhỏ nhất sao cho $b_n>2018a_n$

Mình đã giải xong bài này. Các bạn coi thử nhé !

Vì $a_2>a_1\ge 0$ nên $d>0$ và $f(a_2)+2=f(a_1)\Rightarrow (a_1+d)^3-3(a_1+d)+2=a_1^3-3a_1$

Cho cấp số cộng $(a_n)$, cấp số nhân $(b_n)$ thỏa mãn $a_2>a_1\ge 0; b_2>b_1\ge 1$ và hàm số $f(x)=x^3-3x$ sao cho $f(a_2)+2=f(a_1)$ và $f(\log_2{b_2})+2=f(\log_2{b_1})$. Tìm số nguyên dương $n, (n>1)$ nhỏ nhất sao cho $b_n>2018a_n$

Mình đã giải xong bài này. Các bạn coi thử nhé !

Vì $a_2>a_1\ge 0$ nên $d>0$ và $f(a_2)+2=f(a_1)\Rightarrow (a_1+d)^3-3(a_1+d)+2=a_1^3-3a_1\Rightarrow 3a_1^2d+3a_1d^2+d^3-3d+2=0$\\

Vì $3a_1^2d+3a_1d^2\ge0, \forall a_1\ge0; d>0$. Dấu $"="\Leftrightarrow a_1=0$ và $d^3-3d+2\ge0, \forall d> 0$. Dấu $"="\Leftrightarrow d=1$ nên phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất $a_1=0\wedge d=1$\\

Do $\{b_n\}$ là cấp số nhân với công bội $q> 1$ và $b_1\ge 1$ nên $f(\log_2{b_2})+2=f(\log_2{b_1})\Rightarrow \log_2{b_1}=0\wedge \log_2{q}=1\Rightarrow b_1=1\wedge q=2$\\

Mặt khác, $b_n\ge 2018 a_n\Rightarrow 2^{n-1}\ge 2018(n-1)\Rightarrow n\ge 16$

Vậy, $n_{\min}=16$.

Cho cấp số cộng $(a_n)$, cấp số nhân $(b_n)$ thỏa mãn $a_2>a_1\ge 0; b_2>b_1\ge 1$ và hàm số $f(x)=x^3-3x$ sao cho $f(a_2)+2=f(a_1)$ và $f(\log_2{b_2})+2=f(\log_2{b_1})$. Tìm số nguyên dương $n, (n>1)$ nhỏ nhất sao cho $b_n>2018a_n$

Mình đã giải xong bài này. Các bạn coi thử nhé !

Vì $a_2>a_1\ge 0$ nên $d>0$ và $f(a_2)+2=f(a_1)\Rightarrow (a_1+d)^3-3(a_1+d)+2=a_1^3-3a_1\Rightarrow 3a_1^2d+3a_1d^2+d^3-3d+2=0$\\

Vì $3a_1^2d+3a_1d^2\ge0, \forall a_1\ge0; d>0$. Dấu $"="\Leftrightarrow a_1=0$ và $d^3-3d+2\ge0, \forall d> 0$. Dấu $"="\Leftrightarrow d=1$ nên phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất $a_1=0\wedge d=1$\\

Do $\{b_n\}$ là cấp số nhân với công bội $q> 1$ và $b_1\ge 1$ nên $f(\log_2{b_2})+2=f(\log_2{b_1})\Rightarrow \log_2{b_1}=0\wedge \log_2{q}=1\Rightarrow b_1=1\wedge q=2$\\

Mặt khác, $b_n\ge 2018 a_n\Rightarrow 2^{n-1}\ge 2018(n-1)\Rightarrow n\ge 16$

Vậy, $n_{\min}=16$.