chien than

Câu 3: Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{ACB}=90^o$. M là điểm bất kỳ trên AB.
Gọi $O,O_1,O_2$ là tâm các đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC,\Delta MAC,\Delta MBC$
a) Chứng minh : 4 điểm $O_1,M,O_2,C$ cùng thuộc đường tròn ©
b)Chứng minh: O cũng thuộc ©
c) Tìm vị trí M để bán kính © nhỏ nhất.

a)Ta có $\hat{CO_2M}+\hat{CO_1M}=2(\hat{B}+\hat{A})=2.90^o=180^o$
b)Ta có $\hat{COA}=2\hat{B}=\hat{CO_2M}$=>$CO_2MO$ nội tiếp
c)Ta có $\hat{O_1CO_2}=90^o$
Hạ $O_1H \perp AC;O_2K \perp BC$
=>$4R^2=O_1O_2^2=CO_1^2+CO_2^2\geq CH^2+CK^2=\dfrac{AC^2+BC^2}{4}=\dfrac{AB^2}{4}$
Đẳng thức xảy ra <=>$M $ là chân đường vuôg góc từ $C$ xuống $AB$

Bài 5:
Quy đ?#8220;ng được BDT tương đương:
$\dfrac{1+2(x-y)^2+(x-y)^4}{(x-y)^2} \geq 4$
<=>$1+(x-y)^4 \geq 2(x-y)^2$
Đúng theo BDT Cauchy!

Ta có
$\dfrac{ab}{a+b}(x^2+y^2) \geq \dfrac{2ab}{a+b}xy$
$\dfrac{ab}{a+b}(x^2+t^2) \geq \dfrac{2ab}{a+b}zt$
$\dfrac{a^2}{a+b}x^2+\dfrac{b^2}{a+b}t^2\geq \dfrac{2ab}{a+b} xt$
$\dfrac{a^2}{a+b}y^2+\dfrac{b^2}{a+b}z^2\geq \dfrac{2ab}{a+b}yz$
Cộng lại là ok!

Mọi người thử làm:
$x;y;z>0;x+y+z=k$.Tìm max và min(nếu có) của:
$A=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}$

$A_1A_2^2=OA_1^2+OA_2^2-2OA_1OA_2.cos(\angle A_1OA_2)$
$=2R^2(1-cos(\angle A_1OA_2)$
$=2R^2(1-\dfrac{OO_1^2+OO_2^2-O_1O_2^2}{2OO_1.OO_2})$
$=R^2.\dfrac{4r_1r_2}{O_1O_2}$
Tương tự ta có đpcm!