ThuanTri

câu 1b là cú lừa cực mạnh

Vẽ 399 đường tròn bán kính 1 có tâm là 399 điểm đã cho. Tổng diện tích của các đường tròn đó là: $S_1=399(1^2.\pi)\approx 1253,5$

Mở rộng đường tròn bán kính 21 thành đường tròn đồng tâm bán kính 22. Diện tích đường tròn đó là $S_2=22^2\pi\approx 1520.5$

Phần diên tích bị dư ra là: $S_2-S_1\approx 267$ > diện tích của đường tròn bán kính 1

Vậy tồn tại vô số đường tròn bán kính 1 không chứa điểm nào trong 399 điểm đã cho.

$7x^2-6x^2$? Sao không ghi gọn là $x^2$ luôn đi.

Đặt a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác tương ứng với các đường cao 4,12,x.

      S là diện tích tam giác

Ta có a=$\frac{2S}{4}$ 

         b=$\frac{2S}{12}$

         c=$\frac{2S}{x}$

Vì ta có a+b>c 

Suy ra $\frac{2S}{4}+\frac{2S}{12}>\frac{2S}{x}$

           $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}>\frac{1}{x}$

           $\frac{1}{3}                    >\frac{1}{x}$

           $x>3$

Mặt khác, ta có b+c>a, tương tự suy ra x<6

Vậy ta có x=4 hoặc x=5

Theo mk thì ko cần tìm tọa độ F vì khi đó sẽ ra 2 nghiệm và chưa loại đc nghiệm nào

Sau khi tìm đc tọa độ B thì tọa độ hóa điểm M => tọa độ hóa điểm A rồi từ IA=IB sẽ tìm đc tọa độ A=> tìm tọa độ E( vì I là trung điểm AE) => tìm tọa độ C từ vecsto BC=3. vecto BE 

Làm vậy thì cx ko cần CM: EF vuông góc AC 

Ừm, em mới học lớp 9 nên chưa rành, có gì nhờ anh/chị chỉ bảo thêm

Lười quá nên mình cho gợi ý nha:

-Chứng minh IF vuông góc IB. Tìm được phương trình IB (vuông góc với IF tại I)

-(IB) cắt x+y+2=0 tại B, tìm được B.

-Tìm tọa độ điểm F (do $\Delta$ IBF vuông cân tại I)

-Đặt $M(x_{M};y_{M})$ là trung điểm AB suy ra tọa độ điểm A theo $y_{M}$.

-I là trung điểm AE, suy ra tọa độ điểm E theo $y_{M}$. Từ đó suy ra tọa độ điểm C theo $y_{M}$. 

-Viết(EF) theo $y_{M}$. Viết (AC) theo $y_{M}$. Chứng minh được EF vuông góc AC tại F, tìm ra $y_{M}$. 

(Chú ý: Khi viết pt(AC) sẽ xuất hiện $y_{M}^2$, dùng điều kiện $x_{A}$>5 để tìm điều kiện của $y_{M}$ và loại bỏ 1 nghiệm $y_{M}$ không thỏa mãn)

4/

3.Giả sử tam giác ABC đều thì ta có đpcm

   Tam giác ABC không đều, xét $\widehat{B} < 60^0$ 

Vẽ đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt AB, AC tại M,N.

   Từ B vẽ đường thẳng song song với MN cắt AC tại D.

   Dễ dàng chứng minh được $\Delta AMN$ và $\Delta ABD$ là  tam giác đều có AI là trục đối xứng.

Ta có $\frac{AI}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\frac{\sqrt{3}}{AI}=\frac{2}{AM}$

Cần chứng minh $\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} = \frac{2}{AM} = \frac{2}{AN}$

Ta có $\frac{AB}{BI}=\frac{AC}{CI} \Leftrightarrow AB= \frac{BI.AC}{CI}$

Nên   $\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}= \frac{CI}{BI.AC}+\frac{1}{AC} = \frac{BC}{BI.AC}$

Mà    $\frac{BC}{BI}=\frac{DC}{DN}$ nên ta có $\frac{BC}{BI.AC}=\frac{DC}{DN.AC}$

Suy ra cần chứng minh: $\frac{DC}{DN.AC}=\frac{2}{AM}$

                                    $\Leftrightarrow DC.AM=2.DN.AC$

Mặt khác, ta có $\widehat{CIN}=\widehat{DIN} \Rightarrow $3.3.

4/

1.Dễ dàng chứng minh được $\Delta AED \sim \Delta ABC$

Ta có $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{AD^2}{AC^2}.\frac{AH^2}{AH^2}=sin^2B.sin^2C$

2.Ta có $\frac{DE}{BC}=sinB.sinC$(suy ra từ câu trước) 

   Kẻ BF, CK lần lượt là 2 đường cao của $\Delta ABC$

     $\Leftrightarrow DE= sinB.sinC.BC$

    $\Leftrightarrow 2DE=2sinB.sinC.BC$

                      $=sinB.sinC.BC+sinB.sinC.BC$                               

                      $=KC.sinC+BF.sinB$

                      $=\frac{AH.BF}{AB}+\frac{AH.KC}{AC}$

                      $=2AH.sinA$  

Bổ đề: định lý sin (chắc bạn cũng đã biết rồi).

Áp dụng định lý sin vào $\Delta CAM$ ta có $\frac{CM}{AM}=\frac{sin\widehat{MAC}}{sinC}$

                                      $\Delta BAM$ ta có $\frac{BM}{AM}=\frac{sin\widehat{BAM}}{sinB}$

                                      $sin\widehat{BAM}.sinC=sinB.sin\widehat{MAC}$

                                      $sin(\widehat{A}-\widehat{MAC}).sinC=sinB.sin(90^0-\widehat{B})$

                                      $sin(\widehat{A}-90^0+\widehat{B}).sinC=sinB.cosB$

                                      $sin(90^0-\widehat{C}).sinC=sinB.cosB$

                                      $cosC.sinC=sinB.cosB$

                                      $sin2C=cos2B$

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$(loại) hoặc $\widehat{B}+\widehat{C}=90^0$(đpcm)

sao vậy bạn?

Để $\frac{2ab}{a+b} \epsilon T$ thì x và y là nghiệm của hệ phương trình:

        $\left\{\begin{matrix} ax+by=\frac{2ab}{a+b}\\ x+y=1 \end{matrix}\right.$(x,y>0)

        $\left\{\begin{matrix} ax+by=\frac{2ab}{a+b}\\ y=1-x \end{matrix}\right.$

        $\left\{\begin{matrix} a^2x+abx+b^2-b^2x+ab-abx-2ab=0\\ y=1-x \end{matrix}\right.$

        $\left\{\begin{matrix} x(a^2-b^2)+b^2-ab=0\\ y=1-x \end{matrix}\right.$

        $\left\{\begin{matrix} x(a-b)(a+b)=b(a+b)\\ y=1-x \end{matrix}\right.$

        $\left\{\begin{matrix} x=\frac{b}{a+b}\\ y=\frac{a}{a+b} \end{matrix}\right.$ thỏa mãn x,y>0

        Vậy ta có điều phải chúng minh (đpcm)

Ta có x=1-y(gt)

TH1 a=b suy ra $\sqrt{ab} = a = a.1 = a(x+y)= ax+ay = ax+by$ (đpcm)

TH2 a$\neq$b thì x và y là nghiệm của phương trình $ax+by=\sqrt{ab}$

        hay $ax+b(1-x)=\sqrt{ab}$

               $x(a-b)=\sqrt{ab}-b$

               $x=\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

               $x=\frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ thỏa mãn x>0, ta có đpcm.

Ta có $M+2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2008} + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2008}+2[(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})]^{1004}$

                 $= [(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2008} + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2008}]^2=M^2$

Suy ra $M^2=M+2 \Leftrightarrow M=2$ hoặc $M=-1$(loại)

Vậy M=2 là số nguyên

Đặt $t=5x^{2}+2x$

Phương trình trở thành: $\sqrt{t-1}-\sqrt{9-t}=\sqrt{2t-12}$ 

                                       $t-1-9+t-2\sqrt{(t-1)(9-t)}=\sqrt{2t-12}$

                                       $2t-10-2\sqrt{(t-1)(9-t)}=2t-12$

                                       $-2\sqrt{(t-1)(9-t)}=-2$

                                       $\sqrt{(t-1)(9-t)}=1$

                                       $(t-1)(9-t)-1=0$

                            Suy ra $t=5+\sqrt{15}$ hoặc $t=5-\sqrt{15}$

                            Điều kiện bạn tự xét nha   

Gọi hình vuông đó là hình vuông AB. Ờ mỗi đường tròn, kẻ 1 đường kính song song với cạnh AB.

Dựng các hình chiếu của các đường kính đó lên cạnh AB. 

Ta có tồng của các đường kính là $\frac{2018}{\pi}\approx 642,349$

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại số đường thằng có điểm chung là: $[\frac{642,349}{6}]+1 =108.$

Vậy ta có đpcm

Cộng mồi vế của giả thiết cho $\frac{-y}{x-y}$ ta được

VT=$\frac{y}{x+y}+\frac{-y}{x-y} + ...$

     =$\frac{-2y^{2}}{x^{2}-y{2}}+\frac{2y^{2}}{x^{2}+y{2}} + ...$ 

     =...=0

Suy ra $\frac{-y}{x-y}=-4$ Suy ra đpcm