hieuclc

ĐK: $x,y\geq 0$

$C=x+2\sqrt{x}-4\sqrt{xy}+y$

=$x+2\sqrt{x}(1-2\sqrt{y})+(1-2\sqrt{y})^2-(3y-4\sqrt{y}+1)$

=>$3C=3(\sqrt{x}+1-2\sqrt{y})^2-(9y-12\sqrt{y}+4)+1$

=>$3C=3(\sqrt{x}+1-2\sqrt{y})^2-(3\sqrt{y}-2)^2+1$ $\geq 1 \forall x,y\in \mathbb{R}$

=>$C\geq \frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+1-2\sqrt{y}=0 & & \\ 3\sqrt{y}-2=0 & & \end{matrix}\right.$

Khi đó sẽ tìm được $x=\frac{1}{9}$; $y=\frac{4}{9}$.

Bạn nên gõ Latex đi chớ

Bài 1: a: tìm x y z biết $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$  và $xyz= 810$

b: Tính x.y Biết rằng x,y tỉ lệ với 3, 4 và $x^2+y^2=100$

c: Tìm hai số tự nhiên x và y biết rằng $5x+4y=18$ 

a)Ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=k$

$=>\left\{\begin{matrix} x=2k& \\ y=3k& \\ z=5k& \end{matrix}\right.$

Khi đó:

$xyz=2k\cdot3k\cdot5k=30k^3=810$

$=>k=3$

$=>\left\{\begin{matrix} x=2k=6 & \\ y=3k=9& \\ z=5k=15& \end{matrix}\right.$.

 

b)Ta có: 

$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k$

$\left\{\begin{matrix} x=3k & \\ y=4k & \end{matrix}\right.$ (1)

Khi đó:

$x^2+y^2=9k^2+16k^2=25k^2=100$

$=>k\in\left \{ 2;-2 \right.\left. \right \}$

Sau đó bạn thay vào (1) là sẽ ra thôi.

c)Do $x,y\in N$ và $5x+4y$=18

$=>5x\leq 18$

Mà $x\in N=> 5x\geq 0$ và $5x\vdots 5$

$=>5x\in \left \{ 0;5;10;15 \right.\left. \right \}$

$=> x\in \left \{ 0;1;2;3 \right.\left. \right \}$

Đến đây bạn thay từng giá trị của x vào $5x+4y=18$, nếu được$y\in N$ là ok.

Do $x,y$ nguyên dương nên $x+y+1>1$.

Khi đó $y^2+x^2-x-y-xy+1=0$ hay $x^2+y^2-x-y-xy=0$

$=> 4x^2+4y^2-4x-4y-4xy=0$

$=> 4x^2+(y^2+2y+1)-4x(y+1)+3y^2-6y-1=0$

$=> 4x^2+(y+1)^2-4x(y+1)+3(y^2-2x+1)=4$

$=> (2x-y-1)^2+3(y-1)^2=4$

Đến đây thì do $x,y$ nguyên dương và $3(y-1)^2 \vdots 3$ nên xét 2 trường hợp:

$\left\{\begin{matrix} (2x-y-1)^2=1 & \\ 3(y-1)^2=3 & \end{matrix}\right.$

hoặc

$\left\{\begin{matrix} (2x-y-1)^2=4 & \\ 3(y-1)^2=0& \end{matrix}\right.$

Bạn giải ra $x,y$ rồi thay lại vào $x^3+y^3-xy+1$ nếu thỏa mãn đề bài là ok.