Chickey

Đặt: 

a=$\sqrt{x}$    

b=$\sqrt{1-x}$

(a, b$\geq$0)

Khi đó:

Ta có hệ:

1) a² + b²=1.

2) a + b + ab=1.

Giải hệ đối xứng loại I, ta được:

a=0; b=1 hoặc a=1; b=0

Giải ra ta được:

x={0;1}

Nhờ m.n kiểm tra giùm ạ!!!

Cho các số thực dương a, b, c thỏa 

1) $a^{2}=bc$

2) $\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}=a$

Chứng minh rằng: a=b=c

Đặt:

$y=\sqrt{x^{3}+1}$

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

$y^{2}+x^{2}+3x+2=(2x+3)y$

<=> $y^{2}-(2x+3)y+x^{2}+3x+2=0$

<=> $(y-x-2).(y-x-1)=0$

Từ đó suy ra 

$y=x+2$

Hoặc

$y=x+1$

Sau đó giải tiếp là ra.

Giúp mình bài này với!

$A=(x^2-2014x)^2+4026x^2-8108364x+4054183.$

Với giá trị nào của x thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Mình nghĩ là giải như vầy("không biết có đúng không"):

Gọi:

$y=(x^{2}-2014x)^{2}+4026x^{2}-8108364x+4054183$

Khi đó

$y=x^{4}-4028x^{3}+4060222x^{2}-8108364x+4054183$

<=>${y}'=4x^{3}-12084x^{2}+8120444x-8108364$

Cho y'=0 tìm được:

x=1 hoặc  x=2013 hoặc x=1007

Thế lần lượt các giá trị vào A. Ta thấy:

x=1 và x=2013 cho giá trị A nhỏ nhất ( tại A=2014);

Vậy MinA=2014 .Khi và chỉ khi x=1; x=2013

Nhờ m.n kiểm tra giùm ạ !!

 

Thêm  bài nữa

Chứng minh rằng 2 tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm khi và chỉ khi $\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} = \vec{0}$

Chúng minh 2 chiều nha

 

Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’.

Ta luôn có:

$\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'} = \vec{AG}+\vec{GG'}+\vec{G'A'} +\vec{BG} +\vec{GG'}+\vec{G'B'}+\vec{CG}+\vec{GG'}+\vec{G'C'}=3\vec{GG'}$

Từ đó suy ra nếu tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm thì: $\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}=\vec{0}$  (Do $\vec{GG'}=\vec{0}$)

Và điều ngược lại

Ta có:

$\frac{1}{\sqrt{a+a^{2}+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a+1+b^{2}}}\geq \frac{4}{\sqrt{a+a^{2}+b^{2}} + \sqrt{a+1+b^{2}}}\geq \frac{4}{\sqrt{2.(2a+a^{2}+1+2b^{2})}}$

Mà:

$2a\leq a^{2}+1$

Nên

$\frac{4}{\sqrt{2.(2a+a^{2}+1+2b^{2})}}\geq \frac{4}{\sqrt{4.(1+a^{2}+b^{2})}}= \frac{2}{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}}}$

Vậy suy ra đpcm

Nhờ m,n kiểm tra giùm ạ

Ta có:

$\sqrt{a+a^{2}} + \sqrt{a+b^{2}}\geq 2\sqrt{\sqrt{a+a^{2}}.\sqrt{a+b^{2}}}= 2\sqrt[4]{(a+a^{2}).(a+b^{2})}\geq 2\sqrt[4]{(a+ab)^{2}}= 2\sqrt{a+1}$

Vậy ta có đpcm

Nhờ m.n kiểm tra giùm ạ

mk nghĩ đoạn này chưa chặt chẽ ví ko chắc chắn 

với lại bài này chắc là sử dụng BĐT bunyakovsky 

Không đâu mình âm thầm sử dụng bu-nhi-a-cốp-xờ-ki đó

$(a+b+1).(a+b+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$

Sau đó đổi dấu BĐT vì ở dưới mẫu

3.Ta có:

$\frac{1}{a+b+1}=\frac{a+b+c^{2}}{(a+b+1).(a+b+c^{2})}\leq \frac{a+b+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

Tương tự ta cũng có:

$\frac{1}{b+c+1}\leq \frac{b+c+a^{2}}{(a+b+c)^{2}} ; \frac{1}{c+a+1}\leq \frac{c+a+b^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

Suy ra

$\frac{2a+2b+2c+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}\geq 1$

<=> 2a+2b+2c+a²+b²+c² $\geq$ (a+b+c)²

<=> 2a+2b+2c $\geq$ 2ab+2bc+2ca

<=> a+b+c $\geq$ ab+bc+ca (đpcm)

Nhờ mọi m.n kiểm tra giùm ạ

Gọi v (km/h) là vận tốc của tàu hỏa khi đi từ A đến B (v>0).

Ta có

(40/v) + 1/3 + (30/(v+5)) = 2

Giải phương trình kết hợp với điều kiện của v, ta được:

v=40(km/h)

Vậy vận tốc của tàu hỏa khi đi trên quãng đường AB là : 40 km/h.

Nhờ m.n kiểm tra giùm ạ!!

Phân tích 97200 ra thừa số nguyên tố, ta được:

97200=2⁴.3⁵.5²

Để một số chia hết cho 6 thì số đó ít nhất phải chứa nhân tử 2 và 3. Ta xét hai trường hợp:

1) Số đó có dạng: x=2^a.3^b. Ta thấy có 4 cách chọn a và 5 cách chọn b. Do đó, số chữ số dạng x là: 4.5=20 (Số)

2) Số đó có dạng: y=2^a.3^b.5^c = x.5^c. Ta thấy có 20 cách chọn số x và 2 cách chọn c. Do đó, số chữ số dạng y là: 20.2=40 (số)

Từ hai trường hợp đã xét ta suy ra, có 40+20=60 số tự nhiên cần tìm.

Tuy nhiên, vì đề yêu cầu tìm số số nguyên nên kết quả phải là: 60.2=120 (số)

Nhờ mọi người kiểm tra giúp ạ!!