TruongDuyPhuong

Bài này có gặp trong chuyên đề hình học, hơi dài tí 

untitled.PNG

Dựng các đoạn thẳng song song như trên

Đầu tiên $( \frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF})(\frac{AD}{MD}+\frac{BE}{ME}+\frac{CF}{MF})\geq 9$(Bunhiacopxki)

 

Xét : $\frac{MD}{AD}=\frac{BN}{AB},~\frac{ME}{BE}=\frac{AP}{AB}$

 

và $\frac{MF}{CF}=\frac{FP}{AF}=\frac{FN}{FB}=\frac{FP+PN}{AF+FB}=\frac{FN}{AB}$ 

 

Do đó$\frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF}=1=>\frac{AD}{MD}+\frac{BE}{ME}+\frac{CF}{MF} \geq 9$

 

$=>\frac{MA}{MD}+\frac{BM}{ME}+\frac{CM}{MF}\geq 6$ nên ít nhất 1 tỉ không nhỏ hơn 2 

 

Lại có $1-\frac{MD}{AD}+1-\frac{ME}{BE}+1-\frac{MF}{CF}=\frac{MA}{AD}+\frac{MB}{BE}+\frac{MC}{CF}=2$

 

Tương tự cũng có $\frac{AD}{AM}+\frac{BE}{MB}+\frac{CF}{MC}\geq \frac{9}{2}$ 

 

=>$\frac{MD}{AM}+\frac{ME}{BM}+\frac{MF}{CM}\geq \frac{3}{2}$ nên ít nhất 1 tỉ số không nhỏ hơn 1/2. Do đó ít nhất 1 nghịch đảo không lớn hơn 2

=> DPCM