Kim Shiny

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) . M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt MN tại K.Từ K kẻ tiếp tuyến với (O) E là tiếp điểm .H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống MN.
CMR: HE đi qua trọng tâm của tam giác ABC

bạn ơi có chỗ sai rồi

Mình làm tiếp từ (1) nha

$\sum 2a^2c+\sum (a^2b+b) \geq 2\left(\sum \frac{a}{b}+\sum ab\right)=2\sum\left(ab+\frac{a}{b}\right) \geq \sum 4a$

Suy ra: $a^2b+b^2c+c^2a \geq a+b+c$

Và do đó:

$a^2b+b^2c+c^2a -\frac{a+b+c}{2} \geq \frac{a^2b+b^2c+c^2a}{2} \geq \frac{3}{2}$

$sử dụng bất đẳng thức cho cái này cơ \sum ab^2$

Cho x,y,z >0 thỏa mãn :

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

CM: $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

ĐỀ BÀI: CHO x+y=2.CHỨNG MINH RẰNG : x²⁰¹⁸ +y²⁰¹⁸< hoặc = x²⁰¹⁹+y²⁰¹⁹

Ta có : x+y=2$\Rightarrow x-1=1-y$

Giả sử BĐT cần chứng minh là đúng ta có :

$x^{2018}+y^{2018}\leq x^{2019}+y^{2019}\Rightarrow x^{2018}(x-1)-y^{2018}(1-y)\geq 0\Rightarrow x^{2018}(1-y)-y^{2018}(1-y)\geq 0\Rightarrow (1-y)(x^{2018}-y^{2018})\geq 0$

Nếu $x\geq y\Rightarrow x\geq 1\geq y\Rightarrow 1-y\geq 0 ; x^{2018}-y^{2018}\geq 0\Rightarrow$ BĐT đúng

Nếu $x\leq y\Rightarrow x\leq 1\leq y\Rightarrow 1-y\leq 0; x^{2018}-y^{2018}\leq 0\Rightarrow (1-y)(x^{2018}-y^{2018})\geq 0\Rightarrow$ BĐT đúng

$\Rightarrow$ đpcm

a,ĐKXĐ:x>0 và $x\neq 1$

b,Ta có:  $A=(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}): \frac{\sqrt{x}+1}{x}$

                 $=(\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}).\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

                 $=(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}).\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

                 $=\frac{x+1}{\sqrt{x}}.\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

                 $=\frac{(\sqrt{x-1})(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}.\frac{x}{\sqrt{x}+1}$

                 $=(\sqrt{x}-1)\sqrt{x}$

                 $=x-\sqrt{x}$

c,Ta có: $A=x-\sqrt{x}=((\sqrt{x})^{2}-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}=(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}\geq -\frac{1}{4}$

Dấu"=" xảy ra khi: $x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Vậy Min A=$\frac{1}{4}$ khi x=$\frac{1}{2}$

Vì $\sqrt{3}$ là số vô tỉ nên từ (1) ta suy ra:

$x-y-z=4yz-12$

bạn ơi 

giải thích đoạn này giùm mình được ko vậy

Tìm x,y,z $\in N$ thỏa mãn : 

$\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Bạn nào làm được bài này sớm nhất mk tặng 5 sao nhé

Mk cần gấp

1.Giải pt:

$\sqrt{2x^2+16x+18} +\sqrt{x^2+1} =2x+4$

2.Tìm nghiệm nguyên của pt:

$(x^2+1)(x^2+y^2)=4x^2y$

3.a, cho x,y là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện

;

$x^2+y^2+(\frac{xy+1}{x+y})^2=2$ với $x+y\neq 0$.Chứng minh $\sqrt{xy+1}$ là số hữu tỉ

b, Cho bảng ô $n^2$ ô vuông . Người ta viết vào các ô vuông đó các số từ 1 đến n sao cho mỗi hàng và mỗi cột đều chứa tất cả các số đó.Chứng minh rằng nếu n lẻ và bảng đối xứng đối với đường chéo thì trên đường chéo có tất cả các số từ 1 đến n.

4.Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện :xyz=1.Chứng minh rằng :

$\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{3}{2}$

Mọi người ơi giúp mk vs mk cần gấp 

Ta có: $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{ab} \geq \frac{4}{(a+b)^2} \Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab} \geq \frac{4(a^2+b^2)}{(a+b)^2}$

    Và $\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}= \frac{2\sqrt{ab}(a+b)}{(a+b)^2}\geq \frac{2\sqrt{ab} .2\sqrt{ab}}{(a+b)^2}=\frac{4ab}{(a+b)^2}$

   $\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\geq \frac{4(a^2+b^2)}{(a+b)^2}+\frac{4ab}{(a+b)^2}=\frac{3(a^2+b^2)+(a^2+b^2)+4ab}{(a+b)^2}\geq \frac{3(a^2+b^2)+2ab+4ab}{(a+b)^2} = \frac{3(a^2+b^2+2ab)}{(a+b)^2}=3\Rightarrow$ đpcm

 Dấu "=" xảy ra khi a=b

1.Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:x+y+z=3.Tìm Min,Max(nếu có) của :

a, A=xy+yz+zx         b, B=-xy+3yz+4zx

2.Tìm Min của : C=$x^4-6x^3+11x^2+12x+20$

3.Cho x+y=5.Tìm Min của:

D=$x^4+y^4-x^3-y^3+2x^2y^2+2xy(x^2+y^2)+13xy$

1.Cho a,b,c là các số thực bất kì.Chứng minh rằng :

$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq (ab+bc+ca-1)^{2}$

2.Cho a,b,c >1 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$.Chứng minh rằng :

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}.$

3.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1.$

Chứng minh rằng :$a+b+c\geq ab+bc+ca$

4.Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Chứng minh rằng :

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \frac{1}{3}$

Mọi người giúp mình nhé, mình cần gấp lắm ạ   

Thanks!!!!

LỜI GIẢI

Sử dụng biến đổi và bất đẳng thức $ AM-GM $ cho 3 số:
\[\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}} = a - \frac{{2a{b^2}}}{{a + 2{b^2}}} \ge a - \frac{{2a{b^2}}}{{3\sqrt[3]{{a{b^4}}}}} = a - \frac{2}{3}{\left( {ab} \right)^{\frac{2}{3}}}\]
Hoàn toàn tương tự ta cũng có 2 bất đẳng thức:
\[\frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^2}}} \ge b - \frac{2}{3}{\left( {bc} \right)^{\frac{2}{3}}},\frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^2}}} \ge c - \frac{2}{3}{\left( {ca} \right)^{\frac{2}{3}}}\]
 

bn ơi có thể nói rõ đoạn này hơn không

mk thấy sao sao ấy

8, 

Áp dụng bdt Cauchy ta có: $\sqrt{(a+b).\frac{2}{3}}+ \sqrt{(b+c).\frac{2}{3}}+ \sqrt{(a+c).\frac{2}{3}} \leq \frac{a+b+\frac{2}{3}+b+c+\frac{2}{3}+b+c+\frac{2}{3}}{2}\doteq 2$ $<=> \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{a+c} \leq 2. \sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}$

bn dùng Bđt cauchy dạng nào vậy ạ

1.cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3.chứng minh:

a,$\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}$$\geq 1$

b,$\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2c^3}$ $\geq 1$

c,$(a+b)(b+c)(c+a)\geq (ab+c)(bc+a)(ca+b)$

2.cho a,b là các số thực dương.Chứng minh rằng:

a,$\sqrt{2a(a+b)^3} +b\sqrt{2(a^2+b^2)} \leq 3(a^2+b^2)$

b,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a(a+2b)}+\frac{2b+c}{b(b+2c)}+\frac{2c+a}{c(c+2a)}$

c,$\frac{a^2}{2a^2+(b+c-a)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(c+a-b)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(a+b-c)^2}$$\leq 1$

3.cho x,y,z là các số thực thỏa x+y+z=5 và xy+yz+xz=8.chứng minh rằng:

$1\leq x\leq \frac{7}{3}$

4.cho các số thực a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca), abc\neq 0$.

Chứng minh rằng :$\frac{\left | a-b \right |}{\sqrt{2ab+c^2}}+\frac{\left | b-c \right |}{\sqrt{2bc+a^2}}+\frac{\left | c-a \right |}{\sqrt{2ca+b^2}}\geq 2$

5.chứng minh rằng với mọi x,y,z thực ta có 

$x^2+y^2+z^2\geq \sqrt{2}(xy+yz)$

6.cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc =1. chứng minh rằng :

$\frac{a^3}{(1+a)(1+b)}+\frac{b^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+c)(1+a)}$$\geq \frac{3}{4}$

7.Cho a,b,c,d >0 và ab+bc+cd+da =1. Chứng minh rằng:

$\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{c+d+a}+\frac{c^3}{d+a+b}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$

8.Cho a.b.c là các số dưng thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$

1.cho a,b thuộc R và ab$\neq$ 0. Chứng minh rằng:

 $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^2}\geq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$

2.Cho a,b là các số thực không âm.Chứng minh rằng:

$a+b\geq \frac{12ab}{9+ab}$

3. Cho $x\geq 3,y\geq 2,z\geq 1.$Chứng minh răng:

$\frac{xy\sqrt{z-1}+zx\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\leq \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}$