Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hr MiSu

Đăng ký: 09-07-2018
Offline Đăng nhập: 06-07-2019 - 01:11
*****

#721038 Tìm các số tự nhiên

Gửi bởi Hr MiSu trong 22-03-2019 - 23:53

Giả sử $s$ là chữ số được bỏ, số đã cho có dạng : $A.10^{x+1}+s.10^x+B$, $A\geq 0, ,0\leq B <10^x$. sau khi bỏ đi thì còn $A.10^x+B$. Ta có:
$31.(A.10^x+B)=(10A+s).10^x+B$ hay $(21A-s).10^x+30B=0$. Để ý $A>0$ thì vế trái luôn dương, vô lí, nên $A=0$. Khi đó: $s.10^{x-1}=3B$, suy ra $s$ chia hết cho $3$, do $0\leq s < 10$ nên $s=3,6,9$. Thay vào ta suy ra số đó có dạng: $30...0$ hoặc $620...0$ hoặc $930...0$


#721037 Tìm (x;y)

Gửi bởi Hr MiSu trong 22-03-2019 - 23:39

Eo làm gì mà tới mức đạo hàm riêng vậy, bài này dồn dần thôi: $x^2+y^2-xy-2x-2y=(x-1)^2-y(x-1)+y^2-3y-1=(x-1-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}.(y^2-4y)-1=(x-1-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}.(y-2)^2-4\geq -4$ nên $A\leq -4$


#721027 Chứng minh rằng: $XM,YN,ZP$ đồng quy.

Gửi bởi Hr MiSu trong 22-03-2019 - 17:46

Bổ đề: Cho tam giác $AEC$, trung tuyến $ED$. Lấy $H$ thuộc đoạn $ED$ sao cho $DH=2EH$. $AH$ cắt $CE$ tại $K$. Chứng minh $HA=5HK$.

Capture944dcd65a6e62f45.png

Chứng minh: Gọi $B$ đối xứng với $A$ qua $E$. Gọi $G$ là giao điểm của $BD,CE$. Suy ra $GH // CD$. Ta có:

$\frac{KH}{KA}=\frac{HG}{AC}=\frac{1}{6}$ suy ra $HA=5HK$.

Trở lại bài toán. 

Capturecfbb3c2e3f5e0ed9.png

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $AG=2GM$. Gọi $L$ là giao điểm của $OG$ và $XM$. Áp dụng bổ đề vào tam giác $OXM$ ta có: $GO=5GL$. Chứng minh tương tự thì $YN, ZP$ cũng đi qua $L$ hay $XM,YN,ZP$ đồng quy tại $L$




#720904 cauchy nguoc dau

Gửi bởi Hr MiSu trong 16-03-2019 - 05:38

Bn giải hộ mik bài này với . Cảm ơn :

Cho 2 đa thức P(x) = $x^5 - 5x^3 + 4x + 1 ; Q(x) = 2x^2 + x - 1$ . Gọi x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 là các nghiệm của P(x) . Tính g/t của Q(x1) . Q(x2) . Q(x3) . Q(x4) . Q(x5)  :icon6:

Bạn nên lập 1 topic riêng chứ đừng hỏi như vậy kẻo bị spam. Mình xin giải như sau hi vọng bạn hiểu:

Kí hiệu $a(f(x))$ là hệ số tự do của đa thức $f(x)$. Giả sử $f(x)$ bậc $5$ có $5$  nghiệm $t_1,t_2,t_3,t_4,t_5$ và hệ số bậc cao nhất của $f(x)$ là $1$ thì theo định lí Vi-et ta có:

$t_1t_2t_3t_4t_5=-a(f(x))$.

Vì $x_1,...,x_5$ là nghiệm của P(x) nên $x_1+1,...,x_5+1$ là 5 nghiệm của đa thức $P(x-1)$; $x_1-\frac{1}{2},...,x_5-\frac{1}{2}$ là $5$ nghiệm của đa thức $P(x+\frac{1}{2})$. Trong đó $P(x-1),P(x+\frac{1}{2})$ đều là đa thức bậc $5$, hệ số bậc cao nhất là $1$.

Do đó:$(x_1+1)...(x_5+1)=-a(P(x-1)), (x_1-\frac{1}{2})...(x_5-\frac{1}{2})=-a(P(x+\frac{1}{2}))$. Dễ tính được $a(P(x-1)), a(P(x+\frac{1}{2}))$ nhé.

Do $Q(x)=2x^2+x-1=2(x+1)(x-\frac{1}{2})$ Do đó: $Q(x_1)...Q(x_5)=2^5.(x_1+1)...(x_5+1).(x_1-\frac{1}{2})...(x_5-\frac{1}{2})=2^5.a(P(x-1)).a(P(x+\frac{1}{2}))$




#720892 cauchy nguoc dau

Gửi bởi Hr MiSu trong 15-03-2019 - 18:47

$\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{(a+1).b^2}{b^2+1}\geq a+1-\frac{ab+b}{2}$
Bài toán quy về tìm max của $P=ab+bc+cd+da$.
$P=ab+bc+(a+c).d=ab+bc+(a+c).(4-a-b-c)=-(a+c)^2+4(a+c)\leq 4$. Từ đó dễ suy ra đpcm


#720875 giải hệ phương trình

Gửi bởi Hr MiSu trong 15-03-2019 - 03:10

Từ phương trình đầu: $x-y+\sqrt{x}-\sqrt{y}=0\leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})+(\sqrt{x}-\sqrt{y})=0\leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}+1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})=0\leftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{y}=0$ do $\sqrt{x}+\sqrt{y}+1>0$

đến đấy suy ra $x=y$ bạn thay vào phương trình sau và giải đơn giản vì nó là phương trình bậc $2 $ ẩn $\sqrt{x}$




#720874 Cho y=$\frac{x}{3}+\frac{5}...

Gửi bởi Hr MiSu trong 15-03-2019 - 03:06

$y=\frac{x}{3}+\frac{5}{2x-1}=\frac{2x}{6}+\frac{5}{2x-1}=\frac{2x-1}{6}+\frac{5}{2x-1}+\frac{1}{6}\geq 2.\sqrt{\frac{5}{6}}+\frac{1}{6}$




#720872 cho hàm số y=x-2m-1 (m là tham số)

Gửi bởi Hr MiSu trong 15-03-2019 - 02:58

a) Đơn giản thôi, giao với $Ox$ thì cho$ y=0$ và giao với $Oy$ thì cho $x=0$

Vậy ta có: $A(2m+1;0)$, $B(0;-2m-1)$

Phần còn tại đơn giản ta áp dụng hệ thức lượng trong tam giác: $\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{OH^2}$.

Do đó: $\frac{2}{(2m+1)^2}=2\leftrightarrow m=0$ hoặc  $m=-1$. Thay vào là xong.

b) Đơn giản ta có $I(m+\frac{1}{2};-m-\frac{1}{2})$ gọi $x_1,y_1$ là tọa độ của điểm $I$ thì $x_1=m+\frac{1}{2}, y_1=-m-\frac{1}{2}$

ta có $x_1+y_1=0$ điều này dẫn đến việc tọa độ điểm $I$ lúc nào cũng thỏa mãn $x_1+y_1=0$ hay $I$ luôn nằm trên đường thẳng $x+y=0$ cố định, và đây là quỹ tích đó




#720836 Tính Q= $x^{2}+y^{2}$

Gửi bởi Hr MiSu trong 14-03-2019 - 00:20

Từ phương trình $2$: $2y=x^2.(1+y^2)\geq 0$ nên $y \geq 0$ theo bất đẳng thức AM-GM: $1+y^2\geq 2y$

Do đó: $2y\geq x^2.2y$

Nếu $y=0$ thì từ phương trình $2$ cho ta $x=0$ thay vào phương trình $1$ không thỏa mãn.

Nếu $y\neq 0$ thì do $y \geq 0$ nên $x^2\leq 1$ hay $-1\leq x\leq 1$. do đó $-1\leq x^3\leq 1$

Từ phương trình $1$ ta có: $0=x^3+1+2(y-1)^2\geq -1+1+0=0$

Đẳng thức phải xảy ra tức $x=-1,y=1$ do đó $Q=2$




#720833 Cho a,b,c>0 thỏa mãn $2(\frac{a}{b}+\f...

Gửi bởi Hr MiSu trong 13-03-2019 - 23:04

Ta có: $6=2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+c.(\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}}) \geq 4+c.\frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=4+c.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Do đó: $0<c.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\leq 2$

Đặt: $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y$ thì $0<c(x+y)\leq 2$

$P=\frac{cx}{2+cy}+\frac{cy}{2+cx}+\frac{4}{c(x+y)}=c.(\frac{x^2}{2x+cxy}+\frac{y^2}{2y+cxy})+\frac{4}{c(x+y)}$,

$P\geq c. \frac{(x+y)^2}{2(x+y)+2cxy}+\frac{4}{c(x+y)}\geq c. \frac{(x+y)^2}{2(x+y)+c.\frac{(x+y)^2}{2}}+\frac{4}{c(x+y)}$ ,Suy ra

$P\geq 2c. \frac{x+y}{4+c(x+y)}+\frac{4}{c(x+y)}$

Đặt $c(x+y)=t$ thì $0<t\leq 2$.

$P\geq \frac{2t}{4+t}+\frac{4}{t}=\frac{2t}{4+t}+\frac{2}{9}.\frac{4}{t}+\frac{7}{9}.\frac{4}{t}$

Có $\frac{2t}{4+t}+\frac{2}{9}.\frac{4}{t}=\frac{2t}{4+t}+\frac{2}{9}.\frac{4+t}{t}-\frac{2}{9}\geq \frac{4}{3}-\frac{2}{9}$

     $\frac{7}{9}.\frac{4}{t}\geq \frac{7}{9}.2$ do $t\leq 2$

Do đó: $P\geq \frac{4}{3}-\frac{2}{9}+ \frac{7}{9}.2= \frac{2}{3}+2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$




#720811 Cho hàm số $f\left ( x \right )\doteq ax^{2}+bx+c$ t...

Gửi bởi Hr MiSu trong 12-03-2019 - 20:07

 

 Cho hàm số $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn $2a+3b+6c=0$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$. 

a) Tính $f(0),f(1),f(\frac{1}{2})$ theo $a,b,c$. Chứng minh $3$ số $f(0),f(1),f(\frac{1}{2})$ không thể cùng dấu.

b) Chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm $x_0\in (0;1)$

Vẫn là thêm điều kiện khác 0

Cách khác cho ý a)

Ta có: $f(0)=c, f(1)=a+b+c, 4f(\frac{1}{4})=a+2b+4c$

Do đó: $f(0)+f(1)+4f(\frac{1}{4})=2a+3b+6c=0$ do đó suy ra ngay được không thể cả 3 số cùng dấu.




#720808 Các bài toán trong chuyên mục Quán hình học phẳng tháng 3 năm 2019

Gửi bởi Hr MiSu trong 12-03-2019 - 16:54

Lời giải của mình cho bài 4, khá lằng nhằng, hi vọng có cách ngắn hơn.

File gửi kèm




#716137 Tính lim $\sum_{k=1}^{n} \frac{x_k...

Gửi bởi Hr MiSu trong 30-09-2018 - 00:53

Để đơn giản ta đặt $u_n=\frac{2}{x_n}$

suy ra: $u_{n+1}=u_n^2-5u_n+9$ hay $\frac{1}{x_n-2}=\frac{1}{x_n-3}\frac{1}{x_{n+1}-3}$

Ta cần tính 

$lim \sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{1-x_k}=lim \sum_{k=1}^{n}\frac{2}{x_n-2}$

$=2(lim (\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}))=...$

 

P/s: Quảng Bình TST 2017




#716102 $a_{1}=\frac{1}{2}$ $a_...

Gửi bởi Hr MiSu trong 28-09-2018 - 18:35

$a_{1}=\frac{1}{2}$
$a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}^{2}-a_{n}+1}$ Với mọi n >=1
Với mỗi số nguyên dương n, đặt $b_{n}$ = $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ +...+ $a_{n}$. Tính $\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}$

 

Mọi người giúp mình với

Đặt $x_n=\frac{1}{a_n}$.

Suy ra :$x_1=2$, $x_{n+1}=x_n^2-x_n+1$; $b_n=\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}$

có: $x_{n+1}-1=x_n.(x_n-1)$ suy ra $\frac{1}{x_{n+1}-1}=\frac{1}{x_n.(x_n-1)}$ suy ra $\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$

Cho $n$ chạy từ $1$ đến $n$ suy ra: $b_n=\frac{1}{x_1-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$

dễ tính đc $lim(x_n)=+\infty$ suy ra $lim(b_n)=1$




#716017 Đề thi chọn đội tuyển HSG Long An vòng 2 2018-2019

Gửi bởi Hr MiSu trong 25-09-2018 - 22:13

Câu 5: a) Cho $x=a$ ta được $f$ đơn ánh

b) Nếu không tồn tại giá trị nào của $x$ để $f(x)=0$ thì:  $f$ đơn ánh.

Nếu $f(0)=1$ thì thay $x=0,y=1$: $f(0)+f(f(0)+f(1))=f(0)+f(f(1))$ hay $f(f(0)+f(1))=f(f(1))$ hay $f(0)+f(1)=f(1)$ ( $f$ đơn ánh$) vô lý

Vậy $f(0)\neq 1$, thay $y=0,x=x_0=\frac{f(0)}{f(0)-1}$ thì: $f(f(x_0)+f(0))=0$ vô lý.

Vậy tồn tại $a$ để $f(a)=0$

NX: $f(x)\equiv 0$ thỏa,

Xét $f(x)$ không đồng nhất với $0$ thì $f$ đơn ánh

Thế $x=y=a$: $f(0)+f(0)=0$ hay $f(0)=0$

Cho $y=0$: $f(f(x))=f(x)$ do đó: $f(x)=x$