Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Sin99

Đăng ký: 11-07-2018
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 18:45
****-

#737918 Tìm tất cả các số nguyên dương x,y thỏa mãn x^6+1=3^y

Gửi bởi Sin99 trong Hôm qua, 18:39

Nhận xét $y\geq 1$ nên $3^y$ chia hết cho 3.

Mặt khác vế trái chia 3 dư 1 hoặc dư 2 vì $x^6 =(x^3)^2$ là số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.

Dẫn đến vô lí. 




#737597 Tìm $p\in \mathbb{P}$ sao cho $2^p-1\vdots p...

Gửi bởi Sin99 trong 24-07-2020 - 16:06

a) Nếu đề là $2^p-1$ thì theo định lí nhỏ Fermat: $ 2^p-2 $ chia hết cho $p$. Suy ra vô nghiệm.

    Nếu đề là $2^{p-1}$ thì do $p$ là số nguyên tố nên $p=2$.

b) $ A = dc.100 +b.10+a $.

[Thuận] Nhận xét: b.10 chia 4 dư 2 nếu b lẻ, chia hết cho 4 nếu b chẵn. 100 chia hết cho 4. Suy ra tương ứng a chia 4 dư 2 nếu b lẻ, chia hết cho 4 nếu b chẵn. ( vì A chia hết cho 4)

$\Rightarrow a+2b = 4x + 2.2y =4(x+y) $ chia hết cho 4. hoặc $a+2b=4x+2 +2(2y+1) =  4(x+y+1) $ chia hết cho 4.

[Đảo] $ a+2b $ là số chẵn, nên a chẵn. 

Nếu a chia 4 dư 2 thì 2b chia 4 dư 2 hay b lẻ. Từ đó theo phân tích ban đầu, A chia hết cho 4.

Nếu a chia hết cho 4 thì 2b chia hết cho 4 hay b chẵn. Tương tự.




#737386 Tính P

Gửi bởi Sin99 trong 19-07-2020 - 11:58

$ a - 1 = \sqrt[3]{2} \Rightarrow (a-1)^3 = 2 \Rightarrow a^3 -  3a^2  + 3a  - 3= 0 $.

$ P  = ( 5a^5 - 15a^4 + 15a^3 - 15a^2  - a^3 + 3a^2 - 3a + 3 -1 )^{2015} + 2015 = [5a^2(a^3 - 3a^2+3a - 3 ) - ( a^3 -  3a^2  + 3a  - 3) - 1]^{2015} = (-1)^{2015} + 2015 = 2014 $




#737356 Đề chuyên toán vào 10 TPHCM năm học 2020-2021

Gửi bởi Sin99 trong 18-07-2020 - 10:21

Câu 6: 

Từ giả thiết suy ra $3^x=(y+1)(y^2-y+1)$. Gọi $d=\gcd(y+1;y^2-y+1)$ thì ta có:

$\left\{\begin{matrix} y+1 \vdots d\\ y^2-y+1 \vdots d \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (y+1)^2 =y^2+2y+1\vdots d\\ y^2-y+1 \vdots d \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow y^2+2y+1-(y^2-y+1) \vdots d $

$\Rightarrow 3y \vdots d$

Mà $\gcd(d;y)=1$ nên $3 \vdots d$. Do đó $d=3$ hoặc $d=1$. Chú ý rằng 3 là số nguyên tố.

Nếu $d=1$ thì $y+1=1$ suy ra $y=0$ không thỏa mãn.

Nếu $d=3$ thì $y+1=3$ suy ra $y=2$ từ đó tìm được $x=1$

$ x = 2 $ nhỉ bạn. Với cả bạn nên giải thích rõ vì sao $ d = 1 , 3 $ thì $ y + 1 = 1, 3 $. 




#737334 Đề chuyên toán vào 10 TPHCM năm học 2020-2021

Gửi bởi Sin99 trong 17-07-2020 - 18:48

   SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                      KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021

   THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH                                                                               MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

                                                                                                                                                                         

                                                                                                             Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề 

                                                                                                                                                                                ---------------------------------------

Câu 1.(1 điểm)

Cho ba số dương $ a,b,c $ thỏa $ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 2020 $

Tính giá trị của biểu thức $ P = \bigg ( \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \bigg):(a+b+c) $

 

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải phương trình $ \sqrt{2x^2+x+9} + \sqrt{2x^2-x+1} = x+ 4$

b) Giải hệ phương trình  $ \left\{\begin{matrix} y^2 - 2xy = 8x^2 - 6x + 1 \\ y^2 = x^3 + 8x^2 - x + 1 \end{matrix}\right. $

 

Câu 3. (1,5 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$, $ (AB<BC<AC) $ nội tiếp đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ đường thẳng song song $ BC $ cắt $(O)$ tại $ A_{1} $. Từ $B$ kẻ đường thẳng song song $ AC $ cắt $(O)$ tại $ B_{1} $. Từ $C$ kẻ đường thẳng song song $ AB $ cắt $(O)$ tại $ C_{1} $. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $ A_{1},B_{1},C_{1} $ lần lượt vuông góc với $ BC,CA,AB $ đồng quy.

 

Câu 4. (2 điểm)

a) Cho 2 số thực $a,b$. Chứng minh rằng $ \frac{a^2+b^2}{2} \geq ab + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2} $

b) Cho 2 số dương $ a,b $ thỏa $ a+ b \leq 3$

 Tìm giá trị nhỏ nhất của $ Q = b-a+\frac{20}{a} + \frac{7}{b} $

 

Câu 5. (2 điểm)

Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ ABC $ tiếp xúc với các cạnh $ AB,BC,AC $ lần lượt tại $D,E,F$. Kẻ đường kính $ EJ $ của đường tròn $ (I) $. Gọi $ d $ là đường thẳng qua $ A $ song song với $ BC $. Đường thẳng $ JD $ cắt $ D , BC $ lần lượt tại $ I,H $.

a) Chứn minh $ E,F,L $ thẳng hàng.

b) $ JA,JF $ cắt $ BC $ lần lượt tại $ M,K $. Chứng minh $ MH = MK $.

 

Câu 6. (1 điểm)

Tìm $ x,y \in Z^{+} $ thỏa $ 3^x - y^3 = 1 $.




#737029 Cmr: $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+...

Gửi bởi Sin99 trong 09-07-2020 - 11:17

Bài trên là hệ quả của Bài này

 

Anh ơi nhưng em dùng bài đó như một khẳng định để c/m bài này vẫn không ra được . Anh giúp em với.

Áp dụng "bài này" ta có :

$ VT \geq 4\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} - 3 $.

Cần chứng minh $ 4\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} - 3 \geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b}) $ 

hay $ 4(a^3+b^3+c^3) - 3abc \geq \frac{3}{2}(ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)) $.

$ \Leftrightarrow \frac{3}{2}(a^3+b^3+c^3+3abc)+ \frac{5}{2}(a^3+b^3+c^3) - \frac{15}{2}abc \geq \frac{3}{2}(ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)) $

Theo Schur : $ a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) $ và Cosi: $ a^3+b^3+c^3 \geq 3abc $. Suy ra dpcm.




#737008 bất đẳng thức - cực trị

Gửi bởi Sin99 trong 08-07-2020 - 18:37

3) Theo Schur bậc 3: $ abc \geq \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ac)-(a+b+c)^3}{9} = \frac{4(ab+bc+ac)-1}{9} $

Ta sẽ chứng minh $ P \leq \frac{7}{27} $.

$ VT \leq ab+bc+ac- 2\frac{4(ab+bc+ac)-1}{9} = \frac{ab+bc+ac}{9} + \frac{2}{9} \leq \frac{7}{27} $. (Do $ ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}$).

Dấu"=" khi $ a=b=c=\frac{1}{3} $.

Bạn có thể tham khảo lời giải tổng quát ở đây : https://diendantoanh...-ab-bc-ca-2abc/




#737005 bất đẳng thức - cực trị

Gửi bởi Sin99 trong 08-07-2020 - 17:38

1) Đặt $ (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}) =(a,b,c) \Rightarrow ab+bc+ca=1$.

$ P = \sum \frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{b^2}} =\sum \frac{b^2(1-a)}{a} = \sum \frac{b^2(1-a)^2}{a(1-a)} \geq \frac{(\sum a - \sum ab)^2}{\sum a - \sum a^2} \geq \frac{(\sum a - \sum ab)^2}{\sum a - \sum ab} = \sum a - \sum ab \geq \sqrt{3} - 1 $. 

Dấu "=" khi $ x=y=z=\sqrt{3} $.




#736892 Đề thi học sinh giỏi môn Toán huyện Thanh Trì năm học 2012 - 2013

Gửi bởi Sin99 trong 05-07-2020 - 20:38

Mình không giỏi tổ hợp. Nên cách dài mọi người thông cảm.
TH1: Có 1 người A không thể giao tiếp với ai. Luôn tồn tại 4 bộ 3 người sau: (A,B,1), (A,B,2), (A,B,3), (A,B,4). Do theo giả sử, nên cả B và [1,2,3,4] phải giao tiếp được với nhau. Mà B biết không quá 3 thứ tiếng nên tồn tại 2 người mà B sử dụng 1 ngôn ngữ để giao tiếp -> B và 2 người đó cùng biết 1 thứ tiếng (dpcm)
TH2: A giao tiếp dc với 1 người. Vì có 9 người nên vẫn tồn tại 6 bộ mà A không giao tiếp được với ai, xét 4 trong 6 bộ đó: (A,C,1), (A,C,2), (A,C,3), (A,C,4). Đến đây tượng tự lập luận tương tự TH1.
TH3: A giao tiếp được với 2 người (5 bộ thỏa) và TH4: A giao tiếp được với 3 người (4 bộ thỏa) cũng lập luận như trên.
TH5: A giao tiếp được 4 người trở lên, vì A biết không quá 3 ngôn ngữ nên tồn tại 2 người dùng chung ngôn ngữ để giao tiếp với A -> dpcm.




#736840 Chứng minh $\frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(...

Gửi bởi Sin99 trong 03-07-2020 - 23:04

C2: $ VT = \sum \frac{\frac{c}{b}}{ac+bc} \geq \frac{(\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}})^2}{2(ab+bc+ac)} \geq \frac{9}{2.3} = \frac{3}{2} $.
 




#736815 Tìm $x \in \mathbb{N}$ để $A=5^x+12^x$ là số ch...

Gửi bởi Sin99 trong 03-07-2020 - 10:37

Tham khảo : https://diendantoanh...y2/#entry623784




#736762 Tìm GTLN: $P=(a-b)(b-c)(c-a)$

Gửi bởi Sin99 trong 01-07-2020 - 22:06

Có thể làm tiếp như sau. Giả sử $ a = max(a,b,c) $.

TH2: $ a >  c > b $.

$ P = (a-b)(b-c)(c-a)=(a-b)(c-b)(a-c) \leq (a-b)\frac{(c-b+a-c)^2}{4} = \frac{(a-b)^3}{4} \leq \frac{(1-0)^3}{4} = \frac{1}{4} $.

Vậy Max của P là $ \frac{1}{4} $. Dấu "=" khi $ (a,b,c) = (1,\frac{1}{2},0) $ và hoán vị. 




#736757 Tìm GTLN: $P=(a-b)(b-c)(c-a)$

Gửi bởi Sin99 trong 01-07-2020 - 21:16

TH1: cả 3 số khác nhau. Giả sử a>b>c$\geq$0

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} a-b>0\\ b-c>0 \\\ c-a<0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ P<0.(1)

TH2: trong 3 số a,b,c có ít nhất 2 số bằng nhau

$\Rightarrow$ P=0(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ Pmax= 0. 

Không giả sử $ a > b > c $ được vì nếu $ a > c > b $ thì như nào bạn ? 

Chỉ giả sử $ max(a,b,c) $ hoặc $ min(a,b,c) $.


  • Pi9 yêu thích


#736750 Cmr $\sqrt{a},\sqrt{b}$ là các số tự nhiên.

Gửi bởi Sin99 trong 01-07-2020 - 20:30

Đặt $ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \frac{m}{n} $ với $ m,n \in Z^{+} $ và $ n \neq 0 $.

Suy ra $ n\sqrt{a} + n\sqrt{b} = m \Rightarrow n^2a+n^2b+2n^2\sqrt{ab} = m^2 \Rightarrow 2n^2\sqrt{ab} \in Z^{+} $

Suy ra $ \sqrt{ab} \in Z^{+} $. Xảy ra 2 TH

1) $ ab = 0 $. Nếu $ a= 0 $ thì $ \sqrt{b} \in Q $ mà $ b \in N $ nên $ \sqrt{b} \in N $. Tương tự với b.

2) $ ab \neq 0 $, ta có $ ( \sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \in N $ hay $ ( \frac{m}{n} - 2\sqrt{b} )^2 \in N $. Từ đó có $ \sqrt{b} \in N $ và $ \sqrt{a} = \frac{m}{n} - \sqrt{b} $ cũng thuộc N.




#736670 CMR: $\sum \frac{a^{2}}{b}+\sum a\geq 2\sqrt{3(...

Gửi bởi Sin99 trong 29-06-2020 - 16:57

Cách 2.

$ \sum \frac{a^2}{b} + 2 \sum a = \sum( \frac{a^2}{b} + \frac{(a+c)^2}{a+c} ) \geq \sum \frac{(2a+c)^2}{a+b+c} $

$ \sum \frac{(2a+c)^2}{a+b+c}  = \frac{3(a^2+b^2+c^2)+2(a+b+c)^2}{a+b+c} = \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} + 2 \sum a $

$ \Rightarrow  \sum  \frac{a^2}{b} \geq  \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c} $ 

$ VT \geq  \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}  + (a+b+c) \geq 2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} = VP $. (ĐPCM)