Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Sin99

Đăng ký: 11-07-2018
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 15:41
*****

#727316 Tìm $ x,y,z \in Q $

Gửi bởi Sin99 trong 11-11-2019 - 20:18

$ \textbf{ Bài toán } $ Tìm các số $ x,y,z \in Q $ sao cho $ x^2 + y^2 + z^2 + 3(x+y+z) + 5 = 0. $




#727282 Từ BĐT trong đề thi tuyển sinh 10

Gửi bởi Sin99 trong 10-11-2019 - 13:34

$ \textbf{ Bài toán } $ Cho $ a,b,c > 0 $ và $ a+b+c= 3$. Chứng minh rằng 

$$ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq ab+bc+ac.$$

(Đề tuyển sinh 10 Chuyên Toán - PTNK )

 

$ \textbf{ Bài toán ứng dụng } $ Cho $ a,b,c > 0 $ thỏa $ ab+bc+ac = 3.$ Chứng minh rằng 

$$ 2(a+b+c) + \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq 9.$$




#727281 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS

Gửi bởi Sin99 trong 10-11-2019 - 13:29

Cách hơi dài. 

$$ VT^2 \geq \sum  \frac{3}{ab(b+1)(c+1)} = \frac{3[c(a+1)+a(1+b)+b(1+c)]}{abc(1+a)(1+b)(1+c)} = \frac{3}{abc} - \frac{3}{(1+a)(1+b)(1+c)} - \frac{3}{abc(a+1)(b+1)(c+1)} $$

Mặt khác  $ (1+a)(1+b)(1+c) = 1+abc+a+b+c+ab+bc+ac \geq 1 + 3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} + abc = (\sqrt[3]{abc} +1)^3 $.

Suy ra $  \frac{3}{abc} - \frac{3}{(1+a)(1+b)(1+c)} - \frac{3}{abc(a+1)(b+1)(c+1)} \geq \frac{3}{abc} - \frac{3}{(1+\sqrt[3]{abc})^3} -\frac{3}{abc(1+\sqrt[3]{abc})} = \frac{9}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(1+\sqrt[3]{abc})^2}. $

$ \Rightarrow  VT \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})} .$

Cần chứng minh $ \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})} \geq \frac{3}{1+abc} $ hay $ \sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc}) \leq 1 + abc.$

Ta có $ \sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc}) =  \sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{a^2b^2c^2} \leq \frac{abc+1+1}{3} + \frac{abc+abc+1}{3} = abc + 1 = VP $. (ĐPCM)

Dấu "=" khi $ a=b=c=1.$




#727273 $\sqrt{x^{2}+x+y-\frac{3}{4...

Gửi bởi Sin99 trong 10-11-2019 - 09:51

Từ hệ suy ra $ x + y = \frac{7}{4}, \sqrt{x^2 +x+y-\frac{3}{4}} + \sqrt{y^2+x+y-\frac{3}{4}} = \frac{11}{4}.$

Suy ra $ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=\frac{11}{4} \Rightarrow \sqrt{x^2+1} = \frac{11}{4} - \sqrt{y^2+1} \Rightarrow x^2 + 1 = \frac{11^2}{4^2} - \frac{11}{2}\sqrt{y^2+1} + y^2 + 1 \Rightarrow (x-y)(x+y) =  \frac{11^2}{4^2} - \frac{11}{2}\sqrt{y^2+1} \Rightarrow (2x-\frac{7}{4})\frac{7}{4} - \frac{11^2}{4^2} =  - \frac{11}{2}\sqrt{(\frac{7}{4}-x)^2+1} $ Đến đây bình phương giải phương trình bậc 2.




#727237 Cho a, b, c, d > 0 và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh: $(1...

Gửi bởi Sin99 trong 08-11-2019 - 17:57

Mở rộng từ AOPS : Cho $ a,b,c,d > 0 $ và $ k \in R $ thỏa $ a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =1.$ Chứng minh rằng 

$$ 4(k-a)(k-b) \geq (c+d)^2 + 2(k^2 - 1).$$




#727236 Cho a, b, c, d > 0 và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh: $(1...

Gửi bởi Sin99 trong 08-11-2019 - 17:51

Bài toán tương tự : Cho $ a,b,c,d > 0 $ thỏa $ a^2 + b^2 +c^2 +d^2 = 1 $. Chứng minh rằng: 

$$ (1-a)(1-b) \geq \frac{(c+d)^2}{4}. $$

(Đề chọn đội tuyển HSGQG TPHCM -2020)




#727221 Cho a, b, c, d > 0 và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh: $(1...

Gửi bởi Sin99 trong 08-11-2019 - 16:23

Ta có $ 2(1-a)(1-d) = 2 - 2(a+d) + 2ad = a^2 + b^2+c^2+d^2 - 2(a+d) + 2ad+ 1 = ( a+d-1)^2 + b^2 +c^2 \geq b^2 + c^2 .$

Tương tự $ 2(1-b)(1-c) \geq a^2 + d^2.$ 

Mặt khác dễ  thấy các vế không âm, suy ra nhân theo vế ta được $ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq \frac{(a^2+d^2)(b^2+c^2)}{4} = \frac{\sqrt{(a^2+d^2)(c^2+b^2)}\sqrt{(a^2+d^2)(b^2+c^2)}}{4} \geq \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{4}. $

Dấu "=" xảy ra khi $ a=b=c=d=\frac{1}{2}.$




#727132 $ \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}...

Gửi bởi Sin99 trong 05-11-2019 - 19:11

Bất đẳng thức chặt hơn sau đây vẫn đúng: 

Cho $ a,b,c > 0 $, chứng minh rằng 

$$ \frac{ \sqrt[4]{3abc(a+b+c)}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \geq 4. $$




#727130 $ \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}...

Gửi bởi Sin99 trong 05-11-2019 - 19:04

Ta có : $ \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} = \frac{(ab+bc+ac)^3}{(ab+bc+ac)^2(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{(3\sqrt[3]{a^2b^2c^2})^3}{\frac{(a+b+c)^6}{27}} = \frac{27^2a^2b^2c^2}{(a+b+c)^6} $

Suy ra $ VT \geq \frac{27abc}{(a+b+c)^3} +\frac{ a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} = \frac{27abc}{(a+b+c)^3}+3.\frac{a+b+c}{3\sqrt[3]{abc}}  \geq 4\sqrt[4]{\frac{27abc(a+b+c)^3}{27abc(a+b+c)^3}} = 4 $

Dấu "=" xảy ra khi $ a=b=c>0.$

 

(P/S: Còn có thể chuẩn hóa $ a+b+c=3 $.)




#727117 bài BĐT HSG QUỐC GIA TỈNH QUẢNG NGÃI 2019-2020 VÒNG 2

Gửi bởi Sin99 trong 04-11-2019 - 22:27

$  P = \sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+1}\sqrt{b^3+1}} = \sum \frac{a^2}{\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}} \geq \sum \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)} = \frac{4\sum a^2(c^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}. $

Cần chứng minh $$  \frac{4\sum a^2(c^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)} \geq \frac{4}{3} \Leftrightarrow 3 \sum a^2(c^2+2) \geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2). $$

Đặt $ (a^2,b^2,c^2)=(x,y,z) \Rightarrow xyz = 64$, đưa về chứng minh $$ 3 \sum x(z+2) \geq (x+2)(y+2)(z+2) \Leftrightarrow xy+yz+xz+2(x+y+z) \geq xyz + 8 = 72.$$

BĐT đúng theo Am-Gm. 

Dấu "=" khi $ a=b=c = 2 $.

 




#727053 Tìm giá trị lớn nhất của $\frac{1}{2x^{2}+...

Gửi bởi Sin99 trong 02-11-2019 - 15:32

Từ giả thiết có $ 3xyz \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} \Rightarrow xyz \geq 1 $.

Mở rộng ta có $ \frac{1}{xy+x+1} + \frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{xz+z+1} \leq 1 $ với $ xyz \geq 1 $. 

Thật vậy, $ VT = \frac{1}{xy+x+1} + \frac{x}{xyz+xy+x} + \frac{xy}{xyzx+xyz+xy} \leq \frac{1}{xy+x+1} + \frac{x}{xy+x+1} + \frac{xy}{xy+x+1} = 1 $. 




#727008 G(3;-1) là trọng tâm tam giác ABC với C(5;5)

Gửi bởi Sin99 trong 31-10-2019 - 18:53

Để $(D)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm thì PT $ x^2 - 3x-m-3=x-6 $ có 2 nghiệm phân biện hay $ \Delta > 0 $ 

Ta có $ \Delta = 16-4(-m-3) = 4+4m > 0 \Leftrightarrow x > - 1 $. 

Suy ra $ x_{A} = 2 + \sqrt{m+1} $, $ x_{B} = 2 - \sqrt{m+1} $.

Ta có  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG} \Rightarrow \sqrt{x_{A}^2+y_{A}^2} + \sqrt{x_{B}^2+y_{B}^2} = 3\sqrt{3^2+1^2}-\sqrt{5^2+5^2}=3\sqrt{10}-5\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{(2+\sqrt{m+1})^2+(\sqrt{m+1}-4)^2} + \sqrt{(2-\sqrt{m+1})^2+(-\sqrt{m+1}-4)^2} = 3\sqrt{3^2+1^2}-\sqrt{5^2+5^2} $. Từ đó giải ra tìm $ m $.




#727007 $ \frac{\sum a^3}{abc} + \frac{9...

Gửi bởi Sin99 trong 31-10-2019 - 18:15

Bạn nên sử dụng Latex để gõ công thức Toán ! 




#726963 $ \frac{\sum a^3}{abc} + \frac{9...

Gửi bởi Sin99 trong 29-10-2019 - 22:12

Bạn xem kĩ nhé, nếu thay $ k = \frac{2}{9} $ thì sao nhỉ ? 




#726902 $\left\{\begin{matrix} \frac{1...

Gửi bởi Sin99 trong 27-10-2019 - 18:02

Bài 2: Từ pt (1) suy ra $ x^3 + y^3 + xy(x+y) + 2xy = x+y <=> (x+y)^3 - 3xy(x+y) + xy(x+y) + 2xy - (x+y) = 0  <=> (x+y)[(x+y)^2 - 1] - 2xy(x+y- 1) = 0 <=> (x+y-1)[(x+y)(x+y+1) - 2xy] = 0 $ 

TH1: $ x+y = 1 $ suy ra x^2 - y = 1. Thay vào pt 1 dễ dàng tìm được x,y.

TH2: $ x^2 + y^2 + x + y = 0 $ ( Vô lí do $  x + y > 0 $ , $  x^2 + y^2 > 0 $ )