Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Sin99

Đăng ký: 11-07-2018
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:46
*****

#728046 Bất đăng thức

Gửi bởi Sin99 trong 05-12-2019 - 23:08

Cho $ a,b,c > 0 , a+b+c \geq 9. $ Chứng minh rằng 

$$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3\sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}}. $$




#728042 Bất đăng thức

Gửi bởi Sin99 trong 05-12-2019 - 22:35

Cho $ a,b,c > 0 , abc = 1 $. Chứng minh rằng 

$$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq ab+bc+ac. $$




#728041 Bất đăng thức

Gửi bởi Sin99 trong 05-12-2019 - 22:32

:like  BĐT $ \Leftrightarrow \sum \frac{b^2}{a^2}+ 2\sum \frac{a}{b} \geq (a+b+c)^2 $

$ \frac{b^2}{a^2}+ \frac{b}{c} + \frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{b^4}{a^2c^2}} = 3\sqrt[3]{\frac{b^6}{a^2b^2c^2}} = 3b^2 $ 

Tương tự $ \Rightarrow VT \geq \sqrt{ 3(a^2+b^2+c^2)} \geq a+b+c = VP. $

Dấu "=" khi $ a=b=c=1.$




#727970 $\left\{\begin{matrix} \frac{1...

Gửi bởi Sin99 trong 02-12-2019 - 23:35

Câu 1: Xét $ y = 0 $.

Xét $ y $ khác 0 , pt (1) tương đương $ 2xy + 3y^2 = 5xy^2 $ , suy ra $  2xy + 3y^2  = 4x^2 + y^2 \Rightarrow ( x -y)(2x+y) = 0 $ 




#727969 $\left\{\begin{matrix} \frac{1...

Gửi bởi Sin99 trong 02-12-2019 - 23:32

$\left\{\begin{matrix} (x-1)(y^{2}+1)=2-y & & \\ (y-2)(x^{2}+1)=x-1 & & \end{matrix}\right.$

Xét $ (x-1)(y-2) $ khác 0 : Nhân vế với vế ta có  $ (x^2+1)(y^2+1) = - 1 $ ( Vô lí do VT > 0 với mọi x,y) 

Xét $ (x-1)(y-2) = 0 $ suy ra $ x =  1 $ hoặc $ y = 2 $ rồi tìm ẩn còn lại.




#727968 BĐT

Gửi bởi Sin99 trong 02-12-2019 - 23:20

Ta có :  $ (17a+1+\frac{9}{8})(\frac{18^2}{17a+1} + \frac{9}{8}) \geq (18 + \frac{9}{8})^2 \Rightarrow \frac{18^2}{17a+1} + \frac{9}{8} \geq \frac{ (\frac{153}{8} )^2 }{ 17a+1+\frac{9}{8} } = \frac{ ( \frac{ 153}{8} )^2}{ \frac{17(8a+1)}{8} }  \Rightarrow  \frac{18^2}{17a+1} \geq \frac{ ( \frac{153}{8} )^2}{  \frac{17(8a+1)}{8}  } - \frac{9}{8}  $ 

Tương tự ta suy ra $ VT = \sum \frac{1}{17a+1} \geq \frac{1}{18^2} \sum (  \frac{ (\frac{153}{8} )^2}{\frac{17(8a+1)}{8}}  - \frac{9}{8} ) \geq \frac{1}{6}. $ 

Dấu "=" khi $ a=b=c=1. $




#727958 Chứng minh $\left | a \right | = \left | b \right |...

Gửi bởi Sin99 trong 02-12-2019 - 19:14

Cho 3 số $ a,b,c $ thỏa $ \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}+ \frac{b^2+c^2}{b^2+a^2} + 1.$

Chứng minh rằng : $$\left | a \right | = \left | b \right | =\left | c \right |.$$




#727905 $\left\{\begin{matrix} (y+2)^2+y\sqrt...

Gửi bởi Sin99 trong 30-11-2019 - 19:26

Câu c) Ta có $ y(z+1) = z(x+1) \Rightarrow \frac{y}{z} = \frac{x+1}{z+1} = \frac{x+y+1}{2z+1} = \frac{x+2y+1}{3z+1} $ (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Mặt khác $ x + 2y +1 = - (3z+1) $ nên $ \frac{y}{z} = \frac{-(3z+1)}{3z+1} = - 1 \Rightarrow y = -z $ 

Từ đó $ x - y + 2 = 0 $, sử dụng phép thế vào $ x(y+1) = y(z+1) $ thành hệ 2 ẩn. 




#727904 giải hệ phương trình

Gửi bởi Sin99 trong 30-11-2019 - 19:17

a) $\left\{\begin{matrix} x^2 + 3y +1 = (x+3)\sqrt{y^2+1} (1) & \\ \sqrt{2x(x+y)^{3}}+y\sqrt{2(x^2+y^2)}= 3(x^2+y^2) (2) & \end{matrix}\right.$

Từ $ (2) $ ta có đánh giá: $ VT =  \sqrt{2x(x+y)(x+y)^2}+\sqrt{2y^2(x^2+y^2)}= 3(x^2+y^2) \leq \frac{2x(x+y) + (x+y)^2}{2} + \frac{2y^2 + (x^2+y^2)}{2} = \frac{3(x^2+y^2)+ 2xy + (x+y)^2}{2} \leq \frac{3(x^2+y^2) + x^2+y^2 + 2(x^2+y^2)}{2} = 3(x^2+y^2) = VP $

Dấu "=" khi $ x = y $. Từ đó hay vào $ (1) $ 




#727872 giải hệ phương trình

Gửi bởi Sin99 trong 29-11-2019 - 16:03

$ \sqrt[3]{6x+1} = 8x^3 - 4x - 1 $ 

$ \Leftrightarrow \sqrt[3]{6x+1} - 2x = 8x^3 - 6x - 1 $ 

$ \Leftrightarrow \frac{6x+1-8x^3}{ \sqrt[3]{6x+1}+2x} = 8x^3 - 6x - 1 $ 

Từ đó $ 8x^3 - 6x - 1  = 0 $ Đặt $ 2x = a $ ta có $ a^3  - 3a - 1 = 0 $

Đến đây dùng Cardano thử xem như thế nào 




#727843 $\left\{\begin{matrix} (y+2)^2+y\sqrt...

Gửi bởi Sin99 trong 28-11-2019 - 15:55

a) $\left\{\begin{matrix} (y+2)^2+y\sqrt{y^2+4}=4x+6 (1)  & \\ x+\sqrt{x^2-2x+5}= 1+2\sqrt{2x-2y+2} (2) & x,y \in R \end{matrix}\right.$

Từ $ (1) $ có $ y^2 + y\sqrt{y^2+4} = 4x-4y+2 $ hay

$ y^2 + 2y\sqrt{y^2+4} +y^2 +  4 = 8(x-y+1) $ 

$ \Leftrightarrow ( y + \sqrt{y^2+4} )^2 = 8(x-y+1) $

Từ $ (2) $ :  $ x - 1 + \sqrt{(x-1)^2 + 4}  = \sqrt{8(x-y+1)} $ 

Thay vào suy ra $ x-1 + \sqrt{(x-1)^2 + 4} = \sqrt{(y+\sqrt{y^2+4})^2} = y + \sqrt{y^2+4} $ 

Đặt $ x - 1 = a, y = b $ ta có $ a + \sqrt{a^2 + 4} = b+ \sqrt{b^2+4} $ hay $ a = b $ hoặc $ -(a+b) =  \sqrt{a^2 + 4} + \sqrt{b^2+4} (*) $. 

Mặt khác ta có $ a - b =  \sqrt{b^2+4} - \sqrt{a^2 + 4} $, kết hợp với (*) dễ dàng suy ra (*) vô nghiệm.




#727647 Chứng minh tồn tại ít nhất một số chẵn

Gửi bởi Sin99 trong 23-11-2019 - 22:05

Cần thêm điều kiện $ a,b,c,d,e,f \in N $ 

Giả sử không có số nào chẵn, đặt $ a = 2a'+1, b=2b'+1,c=2c'+1,d=2d'+1,e=2e'+1,f=2f'+1.$

Suy ra $ (2a'+1)^2 + ( 2b'+1)^2 + ( 2c'+1)^2 + (2d'+1 )^2 + ( 2e'+1)^2 = ( 2f'+1)^2  $ 

$ \Rightarrow 4a'^2 +4a' + 4b'^2+4b'+4c'^2+4c'+4d'^2+4d'+4e'^2+4e'  + 5 = 4f'^2+4f' + 1 $ 

$ \Rightarrow  4a'^2 +4a' + 4b'^2+4b'+4c'^2+4c'+4d'^2+4d'+4e'^2+4e'  + 4  = 4f'^2+4f'  $ 

$ \Rightarrow a'^2 +a' + b'^2+b'+c'^2+c'+d'^2+d'+e'^2+e'  + 1  = f'^2+f' $

Do $ x^2 + x = x(x+1) \vdots 2 $ với $ x \in N  $  nên VT lẻ, VP chẵn ( vô lí ). 

Vậy có ít nhất 1 số chẵn. 




#727602 Chứng minh rằng:

Gửi bởi Sin99 trong 22-11-2019 - 22:08

$ VT = \sum  \sqrt{a}\frac{\sqrt{a}}{a+3} \leq \sqrt{ (a+b+c)(  \sum \frac{a}{a+3} )} = \sqrt{3 \sum \frac{a}{a+b+a+c} } \leq \sqrt{\frac{3}{4} \sum ( \frac{a}{a+b} + \frac{a}{a+c}) } = \frac{3}{2}. $

Dấu "=" khi $ a=b=c=1. $




#727447 Chứng minh bất đẳng thức

Gửi bởi Sin99 trong 17-11-2019 - 14:45

Ta có $ ab+bc+ac \geq \sqrt{3abc(a+b+c)} = 3\sqrt{abc} $, $  abc \leq 1 $.

Đặt  $ \sqrt{abc} = t, 1 \geq t > 0 $, cần chứng minh: 

$$ 3t + \frac{1}{t^2} \geq t^2 + 3 $$

$$ \Leftrightarrow 3t^3 + 1 \geq t^4 + 3t^2 $$

$$ \Leftrightarrow 0 \geq ( t-1)(t^3 -2t^2 +t+1) $$

Dễ thấy $  0 < t \leq 1 => t \geq t^3 $ nên $ t^3 - 2t^2 + t + 1 \geq 2t^3 - 2t^2 + 1 = t^3 + t^3 + 1 - 2t^2 \geq t^2 > 0 $.

Vậy $$ 0 \geq ( t-1)(t^3 -2t^2 +t+1). $$ 

Dấu "=" khi $ a=b=c=1.$




#727316 Tìm $ x,y,z \in Q $

Gửi bởi Sin99 trong 11-11-2019 - 20:18

$ \textbf{ Bài toán } $ Tìm các số $ x,y,z \in Q $ sao cho $ x^2 + y^2 + z^2 + 3(x+y+z) + 5 = 0. $