Bài 3: Bất đẳng thức tương đương:
$ (\sum ab)^2 + (\sum a)^2 \geq 18abc $.
Áp dụng AM-GM: VT $ \geq 2(\sum ab)(\sum a) \geq 2.3.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\sqrt[3]{abc} = 18abc $ = VP.
Dấu "=" khi a = b = c = 1.
Mình xin sửa lại lời giải như sau khi tham khảo và tìm hiểu ở tài liệu tác giả Nguyễn Văn Huyện.
Đặt $ a = x + 1, b = y +1, c = z+1 \Rightarrow x + y +z = 0 $. BĐT tương đương
$ (\sum xy ) ^2 \geq 12( \sum xy ) + 18xyz. $
Ta thấy $ xy.yz.xz = x^2y^2z^2 \geq 0 $ nên tồn tại ít nhất 1 số $ \geq 0 $, giả sử $ xy \geq 0 $. Rút $ z = -x -y $ ta được :
$ ( x^2 + y^2 +xy)^2 + 12(x^2 + xy+y^2) +18xy(x+y) \geq 0 $
Ta có $ (x^2 + xy + y^2) \geq \frac{3}{4}(x+y)^2 \geq 3xy $ với $ xy \geq 0 $. Áp dụng suy ra
VT $ \geq 9x^2y^2 + 9(x+y)^2 + 18xy(x+y) $
Ta cần chứng minh $ 9x^2y^2 + 9(x+y)^2 + 18xy(x+y) \geq 0 $ hay $ x^2y^2 + (x+y)^2 + 2xy(x+y) \geq 0 $. BĐT đúng do $ (xy + x + y )^2 \geq 0 $.
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c = 1
- Arthur Pendragon yêu thích