vinhthta

Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$, $d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{cd}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2}$

Cho tam giác $ABC$, $D$ là trung điểm $BC$. $I$, $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$, $ACD$. $P$, $Q$ là tâm bàng tiếp góc $D$ của tam giác $ABD$, $ACD$. Chứng minh rằng $I$, $J$, $P$, $Q$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Đặt $m=k.n+r(k,r\in\mathbb{N};0\leq r <n)$

$=>2^m+1=2^{k.n+r}+1=2^r(2^{k.n}+1)-(2^r-1)\vdots2^n+1$

$<=>2^r-1\vdots2^n+1(Vì 2^{k.n}+1\vdots 2^n+1)$

Mà $\begin{vmatrix}2^r-1\end{vmatrix}<2^n+1(Do 0\leq r<n)$

$=>2^r-1=0<=>r=0<=>m\vdots n(ĐPCM)$

Tại sao $2^{k.n}+1\vdots 2^{n}+1$ vậy? Hình như cái này chỉ đúng cho số lẻ?

Chứng minh rằng nếu $2^{m}+1\vdots2^{n}+1$ thì $m\vdots n$

Cho các số nguyên dương $a, b, c, d, e, f$ thỏa mãn $abc=def$. Chứng minh rằng $a(b^{2}+c^{2})+d(e^{2}+f^{2})$ là hợp số.