Thong Nhat

HPT 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x(x+y)+2y^2=8x-2\\ x(x+y)^2-2y^2=7x+2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x(x+y)^2+2x(x+y)-15x=0$

$\Leftrightarrow x((x+y)^2+2(x+y)-15)=0$

* TH1: x=0: Thế vào phương trình thứ nhất ta suy ra: $y^2=-1$ (vô lí)

* TH2: $(x+y)^2+2(x+y)-15=0\Leftrightarrow (x+y-3)(x+y+5)=0$ $\Leftrightarrow$ x+y=3 hoặc x+y=-5

+) x+y=3 $\Leftrightarrow y=3-x$

Thế vào phương trình thứ nhất: 

$3x+(3-x)^2=4x-1 \Leftrightarrow 3x+9-6x+x^2=4x-1\Leftrightarrow x^2-7x+10=0$

$\Leftrightarrow$ x=2; y=1 hoặc x=5; y=-2

+) x+y=-5 $\Leftrightarrow y=-5-x$

Thế vào phương trình thứ nhất:

$-5x+(5+x)^2=4x-1\Leftrightarrow -5x+25+10x+x^2=4x-1\Leftrightarrow x^2+x+26=0$

(vô lí vì $x^2+x+26=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{103}{4}>0$)

Hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (2;1) hoặc (x;y) = (5; -2)

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H.$ Một điểm $M$ thay đổi trên đoạn thẳng $AB.$ Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AC$ cắt $AO$ tại $I,IH$ cắt $CM$ tại $D,BD$ cắt $AC$ tại $N,AD$ cắt $BC$ tại $P.$ Chứng minh:

$a)B,C,N,M$ đồng viên.

$b)(MNP)$ luôn đi qua một điểm cố định.

a) Cho các số hữu tỉ x, y, z thỏa $x^2+y^2+z,\: y^2+z^2+x,\: z^2+x^2+y$ là các số nguyên. Chứng minh 2x là số nguyên

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z sao cho: $7^n=xy(z^2+1)+(x^2+y^2)z$

c) Cho a, b là các số thực thỏa $a^p-b^p \in \mathbb{N}^*$ với mọi số nguyên tố p

i/ Chứng minh ab là số hữu tỉ

ii/ Chứng minh a, b là số nguyên

1) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\geq\frac{3}{2}$

2) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+cd}+\frac{1}{d^2+da}\geq\frac{4}{ac+bd}$

3) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\geq\frac{3}{\sqrt{5abc}}$

4) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}}$

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho $(a^2+b)(b^2+a)$ là một lũy thừa của 2

2) Cho b, n là các số nguyên lớn hơn 1. Giả sử với mọi số nguyên k>1, tồn tại $a_k\in \mathbb{Z}$ sao cho $b\equiv (a_k)^n\: (mod k)$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương c sao cho $b=c^n$

1) Tìm các số nguyên tố p, q sao cho $pq\: |\: p^p+q^q+1$

2) Cho p là số nguyên tố lẻ và $Q(x)=(p-1)x^p-x-1$. Chứng minh tồn tại vô hạn các số nguyên dương a sao cho $p^p\: |\: Q(a)$

3) Chứng minh với mọi số nguyên dương s, luôn tồn tại số nguyên n có tổng các chữ số bằng s, đồng thời s | n

4) Tồn tại hay không số nguyên n>1 sao cho $n\: |\: 2^n-1$?

5) Cho số nguyên tố p>3 và $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}=\frac{m}{n}$ $(m,n\in \mathbb{N}^*, (m,n)=1)$. Chứng minh $p^2\, |\, m$

6) Cho $n\in \mathbb{N}^*$ và $k\in \left \{0;1;2;...;n \right \}$. Đặt$a_k=(n+1)C^k_n$. Chứng minh $[a_0,a_1,...,a_n]=[1;2;...;n+1]$

Cho a, b, c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=(a^5+b^5)(b^5+c^5)(c^5+a^5)$

1) Tìm các số hữu tỉ dương m, n, p sao cho $m+\frac{1}{np};\: n+\frac{1}{pm};\: p+\frac{1}{mn}\in \mathbb{Z}$

2) Chứng minh rằng nếu $m,n\in\mathbb{N}^*$ thỏa $2018^m+1\: |\: 2018^n+1$ thì m|n

1) Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho $a^3+b^3+c^3+kabc\geq \frac{1}{9}+\frac{k}{27}$

2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{1+9b^2ac}+\frac{b^3}{1+9c^2ba}+\frac{c^3}{1+9a^2bc}\geq \frac{(a+b+c)^3}{18}$

3) Cho a, b, c không âm sao cho không có hai số nào trong các số đó đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}$

4) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c: $\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5}$

5) Cho x, y, z không âm. Chứng minh rằng $xyz+x^2+y^2+z^2+5\geq 3(x+y+z)$

6) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}+\frac{(a+c-b)^2}{(a+c)^2+b^2}+\frac{(c+b-a)^2}{(b+c)^2+a^2}\geq \frac{3}{5}$

Cho tam giác ABC, AM, BN, CP đồng quy. Chứng minh rằng: $AM \perp BC\Leftrightarrow \widehat{PMA}=\widehat{AMN}$

Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D, E; P nằm trong tam giác ADE; PB, PC cắt DE lần lượt tại M, N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PDN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PEM tại Q. Chứng minh A, P, Q thẳng hàng

Cho m, n là các số nguyên dương với $m\geq 2$. Chứng minh rằng $2^m-1$ không là ước của $2^n+1$

Cho m, n là các số nguyên dương với $m\geq 2$.  Chứng minh rằng $2^n-1$ không là ước của $2^m+1$

1) Tìm $n\in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn điều kiện $3^n-1\vdots 2^n$

2) Cho a>1, $a\in \mathbb{Z}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho $a^n-1\vdots 2^{2000}$