Thong Nhat

1/ Cho tam giác $ABC$ nhọn có $O,I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F.H,Z,T$ lần lượt là hình chiếu của $D,E,F$ lên $EF,FD,DE.S$ là giao điểm của $EF$ và $ZT.$

a) Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác $ASI.$

b) $M$ là giao điểm thứ hai của $AI$ và $(O).$ Đường tròn tâm $M$ qua $E,F$ cắt $(O)$ tại $X,Y.$ Chứng minh $\overline{S,X,Y,Z,T}.$

2/ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ ngoại tiếp $(I).H,D$ là hình chiếu của $A,I$ lên $BC.AI$ cắt lại $(O)$ tại $E,DE$ cắt lại $(O)$ tại $F,BC$ cắt $AF$ tại $K.$

a) Chứng minh $FI \perp FA$ và $A,I,K,H$ đồng viên.

b) $EH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $L,FL$ cắt $BC$ tại $J.$ Chứng minh tiếp tuyến tại $F$ của $(O)$ đi qua trung điểm của $JK.$

Cho x, y, z, t là các số thực dương thỏa x+y+z+t = 4. Chứng minh rằng:

$\frac{xy}{z+t+4}+\frac{yz}{t+x+4}+\frac{zt}{x+y+4}+\frac{tx}{y+z+4}+\frac{\sqrt{xyzt}}{3}\leq 1$

a) Cho x, y, z > 0. Chứng minh: $\sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(z+x)}\geq \sqrt{2xyz}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$

b) Cho a, b, c > 0 thỏa a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{5-3bc}{1+a}+\frac{5-3ca}{1+b}+\frac{5-3ab}{1+c}\geq ab+bc+ca$

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H.$ Một điểm $M$ thay đổi trên đoạn thẳng $AB.$ Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AC$ cắt $AO$ tại $I,IH$ cắt $CM$ tại $D,BD$ cắt $AC$ tại $N,AD$ cắt $BC$ tại $P.$ Chứng minh:

$a)B,C,N,M$ đồng viên.

$b)(MNP)$ luôn đi qua một điểm cố định.

a) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ sao cho với mọi số nguyên dương n thì: $(f(1))^3+(f(2))^3+...+(f(n))^3=(f(1)+f(2)+...+f(n))^2$

b) Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}f^2(x),\forall x,y \in \mathbb{R}$

1) Chứng minh f là hàm lẻ trên $\mathbb {R}$

2) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán