Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Thong Nhat

Đăng ký: 16-07-2018
Offline Đăng nhập: 23-01-2019 - 19:00
-----

Chủ đề của tôi gửi

$H$ là trực tâm $\Delta ASI$

24-11-2018 - 22:14

1/ Cho tam giác $ABC$ nhọn có $O,I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F.H,Z,T$ lần lượt là hình chiếu của $D,E,F$ lên $EF,FD,DE.S$ là giao điểm của $EF$ và $ZT.$

a) Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác $ASI.$

b) $M$ là giao điểm thứ hai của $AI$ và $(O).$ Đường tròn tâm $M$ qua $E,F$ cắt $(O)$ tại $X,Y.$ Chứng minh $\overline{S,X,Y,Z,T}.$

2/ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O),$ ngoại tiếp $(I).H,D$ là hình chiếu của $A,I$ lên $BC.AI$ cắt lại $(O)$ tại $E,DE$ cắt lại $(O)$ tại $F,BC$ cắt $AF$ tại $K.$

a) Chứng minh $FI \perp FA$ và $A,I,K,H$ đồng viên.

b) $EH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $L,FL$ cắt $BC$ tại $J.$ Chứng minh tiếp tuyến tại $F$ của $(O)$ đi qua trung điểm của $JK.$


Cho x, y, z, t là các số thực dương thỏa x+y+z+t = 1

18-11-2018 - 14:29

Cho x, y, z, t là các số thực dương thỏa x+y+z+t = 4. Chứng minh rằng:

$\frac{xy}{z+t+4}+\frac{yz}{t+x+4}+\frac{zt}{x+y+4}+\frac{tx}{y+z+4}+\frac{\sqrt{xyzt}}{3}\leq 1$


$\sum \sqrt{xy(x+y)}\geq \sqrt{2xyz}+...

14-11-2018 - 21:07

a) Cho x, y, z > 0. Chứng minh: $\sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(z+x)}\geq \sqrt{2xyz}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$

b) Cho a, b, c > 0 thỏa a+b+c=3. Chứng minh rằng: $\frac{5-3bc}{1+a}+\frac{5-3ca}{1+b}+\frac{5-3ab}{1+c}\geq ab+bc+ca$


$B,C,N,M$ đồng viên và $(MNP)$ đi qua điểm cố định

14-11-2018 - 21:03

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H.$ Một điểm $M$ thay đổi trên đoạn thẳng $AB.$ Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AC$ cắt $AO$ tại $I,IH$ cắt $CM$ tại $D,BD$ cắt $AC$ tại $N,AD$ cắt $BC$ tại $P.$ Chứng minh:

$a)B,C,N,M$ đồng viên.

$b)(MNP)$ luôn đi qua một điểm cố định.


$f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}f^2(x)$

14-11-2018 - 21:01

a) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ sao cho với mọi số nguyên dương n thì: $(f(1))^3+(f(2))^3+...+(f(n))^3=(f(1)+f(2)+...+f(n))^2$

b) Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x^2+f(y))=4y+\frac{1}{2}f^2(x),\forall x,y \in \mathbb{R}$

1) Chứng minh f là hàm lẻ trên $\mathbb {R}$

2) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán