toofpmeomeo

Bài 5: Sử dụng phương pháp đếm bằng hai cách: 

Ta thấy vế phải là số cách chọn $n$ phần tử từ tập $M$ gồm $2n+1$ phần tử nên ta xét bài toán sau: Tính số cách chọn $n$ phần tử từ tập $M$ có $2n+1$ phần tử.

Cách 1: Số cách chọn chính là $C_{2n+1}^{n}.$

Cách 2: Ta chia tập $M$ thành $n$ cặp và lẻ phần tử $x.$ Để chọn $n$ phần tử từ $M$ ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Ta sẽ chọn $k$ cặp, với $k=\overline{0, n}$ từ $n$ cặp đã chia thì ta có $C_{n}^{k}$ cách, sau đó ở mỗi cặp ta chọn một phần tử thì như vậy ta có $2^{k}C_{n}^{k}$ cách chọn.

Bước 2: Chọn $\left [ \frac{n-k}{2} \right ]$ cặp trong $n-k$ cặp còn lại.

Vì $\left\{\begin{matrix} \left [ \frac{n-k}{2} \right ]=\frac{n-k}{2}\Leftrightarrow n-k&chẵn& & \\ \left [ \frac{n-k}{2} \right ]=\frac{n-k-1}{2}\Leftrightarrow n-k&lẻ& & \end{matrix}\right.$

Do đó ta sẽ chọn phần tử $x$ nếu $n-k$ lẻ và không chọn $x$ nếu $n-k$ chẵn. Do đó, số cách chọn ở bước này là $C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}.$

Từ đây suy ra, có $2^{k}C_{n}^{k}C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}$ cách trong mỗi lần chọn.

Cho $k$ chạy từ $0$ đến $n$ và lấy tổng lại thì ta có: $\sum_{k=0}^{n}2^{k}C_{n}^{k}C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}=C_{2n+1}^{n}.$

bạn ơi bạn có thể giải thích lại cho mình chỗ 2^k được k ạ