Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


HocLop

Đăng ký: 28-07-2018
Offline Đăng nhập: 23-03-2020 - 10:31
-----

Chủ đề của tôi gửi

Tìm m để hàm số đồng biến trên r

19-10-2019 - 15:34

Dạng toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên 1 khoảng là một dạng bài thường gặp khi thi đại học.

 

Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1. Tính đạo hàm f’(x,m).
  • Bước 2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K$ \Leftrightarrow f'(x,m) \ge 0,\,\,\forall x \in K \Leftrightarrow m \ge g(x),\forall x \in K\,\,\left( {m \le g(x)} \right)$
  • Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.

Sử dụng định lý về điều kiện cần 

  • Nếu hàm số f (x) đơn điệu tăng trên R thì $f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$.
  • Nếu hàm số f (x) đơn điệu giảm trên R thì $f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R$

 

Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $y = \frac{{mx + 3 - 2m}}{{x + m}}$

Giải​
  • Hàm số đã cho xác định trên khoảng (—∞; —m) ∪ (—m; +∞)
  • Ta có $y' = \frac{{{m^2} + 2m - 3}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}},x \ne - m$

Dựa vào bảng xét dấu y’

File gửi kèm  Hàm số đơn điệu trên R.png   4.06K   22 Số lần tải

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: Nếu —3 < m < 1 thì y' < 0 hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (—∞; —m), (—m; + ∞) .

 

Ví dụ 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $y = \frac{{ - 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - 3m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + m + \frac{{1 - 2m}}{{x - 1}}$

Giải​
  • Hàm số đã cho xác định trên khoảng (—∞; 1) ∪ (1; +∞) .
  • Ta có: $y' = - 2 + \frac{{2m - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},x \ne 1$

+ $m \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow y' < 0,x \ne 1,$ do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (- ∞; 1), (1; + ∞) .
+ m > 0,5 khi đó phương trình y’ = 0 có hai nghiệm x1 < 1 < x2 => hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (x1; 1) và (1; x2), trường hợp này không thỏa .
Vậy $m \leqslant \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán

 

Ví dụ 3 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên R: $y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {2m + 1} \right) - 3m + 2$

Giải:​
  • Hàm số đã cho xác định trên R.
  • Ta có : $y' = - {x^2} + 4x + 2m + 1$ và ∆’ = 2m + 5

Dựa bảng xét dấu ∆'

+ m = - 2,5 thì y' = - (x - 2)$^2$ < 0 với mọi x ∈ R và y' = 0 chỉ tại điểm x = 2
Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m <- 2,5 thì y' < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m > - 2,5 thì y' = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2). Hàm số đồng biến trên khoảng (x1;x2). Trường hợp này không thỏa mãn.

 

Bài tập tự luyện

  1. Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - {m^2}x + 1\)
  2. Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \left( {m - 1} \right)x - 3 - \frac{{m + 4}}{{x + 1}}\)
  3. Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{m{x^4}}}{4} - {m^2}{x^2} + m - 1\)
  4. Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{m}{2}{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x - 1\)
  5. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng xác định \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3\)
  6. Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \left( {m + 2} \right)\frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m -1 } \right){x^2} + 4x - 1\)
  7. Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \left( {m - 2} \right)\frac{{{x^3}}}{3} - \left( {2m - 3} \right){x^2} + \left( {5m - 6} \right)x + 2\)

Những hệ thức lượng trong tam giác vuông cần nhớ

18-10-2019 - 18:45

Tam giác vuông là một tam giác có một góc là góc vuông (900). Mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác vuông là nền tảng cơ bản của hệ thức lượng trong tam giác vuông mà ta sẽ bàn tới đây.

 

Nếu từ đỉnh A (900) ta hạ một đường cao AH xuống cạnh huyền BC. Khi đó AH gọi là đường cao trong tam giác vuông.

File gửi kèm  hệ thức lượng trong tam giác vuông.JPG   15.26K   22 Số lần tải

Khi đó, tam giác vuông được chia thành hai tam giác nhỏ hơn tương tự với tam giác gốc và tương tự với nhau.
a) 5 Hệ thức lượng quan trọng
  1. AB2 = BH.BC
  2. AC2 = CH.BC
  3. AH2 = CH.BH
  4. AB.AC = AH.BC
  5. \(\frac{1}{AH^{2}}\) = \(\frac{1}{AB^{2}}\) + \(\frac{1}{AC^{2}}\)
b) Định lý Pytago: Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này
AB2 + AC2 = BC2.
 
c) Diện tích tam giác vuông
Với bất cứ tam giác nào, diện tích đều bằng một nửa chiều dài đáy nhân với chiều cao tương ứng. Trong một tam giác vuông, nếu một cạnh góc vuông được coi là đáy thì cạnh góc vuông còn lại được xem là chiều cao, diện tích của tam giác vuông khi đó sẽ bằng một nửa tích của hai cạnh góc vuông. Công thức tính diện tích tam giác vuông
\(S = \frac{1}{2} AB.AC\)
Nếu tam giác vuông mà có hai cạnh góc vuông bằng nhau (AB = AC = a) gọi là tam giác vuông cân. Diện tích tam giác vuông cân sẽ tính theo công thức đơn giản hơn:
\(S = \frac{1}{2} a^2\)

các công thức lượng giác cần phải nhớ

17-10-2019 - 23:00

 Bảng công thức lượng giác là yếu tố quan trọng khi giải toán. Dưới đây là hệ thống lại Bảng giá trị lượng giác cơ bản và nâng cao cùng với cách học thuộc công thức lượng giác bằng thơ, thần chú.

File gửi kèm  bảng công thức lượng giác.png   10.64K   24 Số lần tải

 

Công thức lượng giác cơ bản và mở rộng

Công thức cơ bản nhất

  • ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$
  • $\tan \alpha .\cot \alpha =1$
  • $1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }$
  • $1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }$

Công thức cộng

  • $\sin (a+b)=\sin a.\cos b+\sin b.\cos a$
  • $\sin (a-b)=\sin a.\cos b-\sin b.\cos a$
  • $\cos (a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$
  • $\cos (a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b$

Công thức nhân đôi

  • $\sin 2\alpha =2.\sin \alpha .\cos \alpha $
  • $\cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =2.{{\cos }^{2}}\alpha -1=1-2{{\sin }^{2}}\alpha $
  • $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }$
  • $\cot \alpha =\frac{{{\cot }^{2}}\alpha -1}{2\cot \alpha }$

Hệ quả công thức hạ bậc bậc hai

  • ${{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$
  • ${{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$
  • ${{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$

Công thức nhân ba

  • $\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha $
  • $\cos 3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha $
  • $\tan 3\alpha =\frac{3\tan \alpha -{{\tan }^{3}}\alpha }{1-3{{\tan }^{2}}\alpha }$

Hệ quả: Công thức hạ bậc bậc ba:

  • ${{\sin }^{3}}\alpha =\frac{1}{4}.3\sin \alpha -\sin 3\alpha $
  • ${{\cos }^{3}}\alpha =\frac{1}{4}.3cos\alpha +\cos 3\alpha $

Công thức biến đổi tổng thành tích

  • $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}$
  • $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}$
  • $\sin a+\sin b=2.\sin \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}$
  • $\sin a-\sin b=2.\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}$

Công thức biến đổi tích thành tổng

  • $\cos a.\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+cos(a+b)]$
  • $\sin a.\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$
  • $\sin a.\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$

Công thức lượng giác biểu diễn theo tan

  • $\sin \alpha =\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}$
  • $\cos \alpha =\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}$
  • $\tan \alpha =\frac{2t}{1-{{t}^{2}}}$

Công thức lượng giác bổ sung

  • $\cos \alpha \pm \sin \alpha =\sqrt{2}.\cos \left( \alpha \pm \frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}.sin\left( \frac{\pi }{4}\pm \alpha \right)$
  • $\sin \alpha \pm \cos \alpha =\sqrt{2}.sin\left( \alpha \pm \frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}.\cos \left( \frac{\pi }{4}\mp \alpha \right)$
  • $1+\sin 2\alpha ={{(\cos \alpha +\sin \alpha )}^{2}}$
  • $\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{2}{\sin 2\alpha }$
  • $\cot \alpha -\tan \alpha =2\cot 2\alpha $
  • ${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2\alpha =\frac{1}{4}\cos 4\alpha +\frac{3}{4}$
  • ${{\sin }^{6}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =1-\frac{3}{4}{{\sin }^{2}}2\alpha =\frac{3}{8}\cos 4\alpha +\frac{5}{8}$

Công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi

Hơn kém bội hai pi của sin và cos và tang, cotang hơn kém bội pi.

  • Sin(a+k.2.180) = sin (a+k.2.pi) = sin a
  • Cos(a+k.2.180) = cos (a+k.2.pi) = sin a
  • Tg(a+k.180) = tga
  • Cotg(a+k.180)=cotga

Giá trị lượng giác đặc biệt của các cung liên quan

Cung đối nhau

  • $\sin (-\alpha )=-sin\alpha $
  • $\cos (-\alpha )=\cos \alpha $
  • $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha $
  • $\cot (-\alpha )=-\cot \alpha $

Cung bù nhau

  • $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha $
  • $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha $
  • $\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha $
  • $\cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha $

Cùng phụ nhau

  • $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha $
  • $\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha $
  • $\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha $
  • $\cot (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\tan \alpha $

Góc hơn kém nhau pi

  • $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha $
  • $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha $
  • $\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha $
  • $\cot (\pi +\alpha )=\cot \alpha $

Góc hơn kém pi/2

  • $\sin \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha $
  • $\cos \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha $
  • $\tan \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\cos \alpha $
  • $\cot \left( \frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\tan \alpha $

Lý thuyết mặt nón

19-10-2018 - 23:31

I. MẶT NÓN 

1/ Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng$\left( P \right)$, cho 2 đường thẳng d, ∆cắt nhau tại Ovà chúng tạo thành góc $\beta $ với ${0^0} < \beta < {90^0}$. Khi quay mp(P) xung quanh trục ∆ với góc $\beta $ không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O(hình 1).
 Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
 Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc $2\beta $ gọi là góc ở đỉnh.

2/ Hình nón tròn xoay 
Cho $\Delta OIM$vuông tại Iquay quanh cạnh góc vuông $OI$ thì đường gấp khúc $OIM$ tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
 Đường thẳng $OI$gọi là trục, O là đỉnh, $OI$gọi là đường cao và $OM$ gọi là đường sinh của hình nón.
 Hình tròn tâm I, bán kính $r = IM$ là đáy của hình nón.

3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáyrvà đường sinh là $l$ thì có:
 Diện tích xung quanh: ${{S_{xq}} = \pi .r.l}$
 Diện tích đáy (hình tròn): ${{S_\partial } = \pi .{r^2}}$
 Thể tích khối nón: ${{V_{non}} = \frac{1}{3}{S_\partial }.h = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h}$=> Diện tích toàn phần hình nón: ${{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_\partial }}$.

4/ Tính chất:
 TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi \(mp(P)\) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu \(mp(P)\) cắt mặt nón theo 2 đường sinh => Thiết diện là tam giác cân.
+ Nếu \(mp(P)\) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
 TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp\((Q)\) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu \(mp(Q)\) vuông góc với trục hình nón => giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu \(mp(Q)\) song song với 2 đường sinh hình nón => giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ Nếu \(mp(Q)\) song song với 1 đường sinh hình nón => giao tuyến là 1 đường parabol.

Nguồn: Đề thi thử toán 2019


Nhà toán học Gottfried Leibniz

13-10-2018 - 20:02

Đầu đời
Gottfried Leibniz được sinh ra vào 1 tháng 7 năm 1646 ở Leipzig cha là Friedrich Leibniz và mẹ là Catherina Schmuck. Sau này, ông thường ký tên là "von Leibniz", và trong nhiều tái bản của các tác phẩm của ông sau khi ông qua đời người ta thường in tên ông ở trang bìa là "Freiherr [Bá tước] G. W. von Leibniz." Nhưng không có tài liệu nào khẳng định ông được phong danh hiệu quý tộc[3].
 
Khi Leibniz lên sáu tuổi, cha của ông, một Giáo sư Triết học Đạo đức tại Đại học Leipzig, qua đời, để lại một thư viện cá nhân mà Leibniz được tự do đi vào đọc từ năm lên bảy tuổi. Đến năm 12 tuổi, ông đã tự học tiếng Latin, mà ông đã sử dụng thoải mái cho đến suốt đời, và bắt đầu học tiếng Hy Lạp.
 
Ông vào học đại học trường của cha ông vào năm 14 tuổi, và hoàn thành bằng đại học năm 20 tuổi, chuyên về luật và nắm vững các khóa học đại học trong các môn cổ điển, logic, triết học. Tuy nhiên, giáo dục của ông về toán không thỏa mãn tiêu chuẩn của Pháp và của Anh. Vào năm 1666 (20 tuổi), ông xuất bản cuốn sách đầu tiên của ông, cũng là luận án habilitation của ông về triết học, De Arte Combinatoria (Về nghệ thuật tổ hợp). Khi Leipzig từ chối không bảo đảm một vị trí giảng dạy về luật sau khi ông tốt nghiệp, Leibniz đã trình luận án mà ông dự tính nộp cho Leipzig sang đại học khác, Đại học Altdorf, và có được bằng tiến sĩ luật trong vòng 5 tháng. Sau đó ông từ chối một ví trí giảng dạy tại Altdorf, và trải quãng đời còn lại phục vụ cho hai gia đình quý tộc lớn ở Đức.
 
1666–1674
Vị trí đầu tiên của Leibniz là một giả kim thuật được trả lương ở Nürnberg, cho dù là ông không biết gì về vấn đề đó cả. Không lâu sau đó ông gặp Johann Christian von Boineburg (1622–1672), bộ trưởng chính bị thất sủng của Tuyển hầu (Elector) của xứ Mainz, Johann Philipp von Schönborn. Von Boineburg thuê Leibniz làm trợ lý, và không lâu sau giảng hòa với Tuyển hầu và giới thiệu Leibniz cho ông ta. Leibniz liền thảo ra một bài luận về luật pháp để trình cho Tuyển hầu với hy vọng xin được việc làm. Chiến thuật đó thành công; vị Elector yêu cầu Leibniz giúp ông soạn thảo lại bộ luật cho tỉnh của ông. Vào năm 1669, Leibniz được bổ nhiệm Hội thẩm viên trong Tòa Thượng thẩm. Mặc dù von Boineburg mất cuối năm 1672, Leibniz vẫn được sử dụng bởi vợ của ông cho đến bà cho ông thôi việc vào năm 1674.
 
Von Boineburg đã làm nhiều việc để làm tăng danh tiếng của Leibniz, và những lá thư và các văn bản pháp lý soạn thảo bởi Leibniz đã bắt đầu thu hút những sự chú ý thuận lợi. Phục vụ của Leibniz đối với Tuyển hầu về sau đã có vai trò trong ngoại giao. Ông xuất bản một bài viết, dưới bút danh của một nhà quý tộc người Ba Lan không có thật, biện luận cho (nhưng không thành công) một ứng viên người Đức cho hoàng gia Ba Lan. Chính trị châu Âu trong thời trưởng thành của Leibniz là tham vọng của vua Louis XIV của Pháp, được sự trợ giúp của sức mạnh quân sự và kinh tế của Pháp. Trong khi đó, cuộc Chiến tranh ba mươi năm đã làm những vùng châu Âu nói tiếng Đức kiệt quệ, phân rã, và lạc hậu về kinh tế. Leibniz đề nghị bảo vệ vùng châu Âu nói tiếng Đức bằng cách làm phân tán sự chú ý của Louis bằng cách sau. Pháp sẽ được mời đánh chiếm Ai Cập như là một bước tiến vững chắc để dần đi đến việc chinh phục Đông Ấn của Hà Lan. Đổi lại, Pháp phải đồng ý không quấy phá Đức và Hà Lan. Kế hoạch này đã được Tuyển hầu ủng hộ một cách cảnh giác. Vào năm 1672, nhà nước Pháp đã mời Leibniz đến Paris để thảo luận, những dự tính đó không thành do các sự kiện sau đó và việc đó không còn quan trọng nữa. Napoleon đã thất bại trong việc xâm lược Ai Cập vào năm 1798 có thể xem như là một sự thi hành không thành công dự tính của Leibniz.
 
Do đó Leibniz bắt đầu trải qua vài năm ở Paris, trong thời gian đó ông đã mở rộng hẳn kiến thức về toán và vật lý của ông, và bắt đầu đóng góp vào cả hai ngành. Ông đã gặp Malebranche và Antoine Arnauld, những triết gia hàng đầu của Pháp vào thời điểm đó, và nghiên cứu những tác phẩm của René Descartes và Blaise Pascal, cả những bản thảo chưa xuất bản cũng như những cuốn đã xuất bản. Ông làm bạn với một nhà toán học người Đức, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus; họ liên lạc với nhau cho đến cuối đời. Đặc biệt là Leibniz đã làm quen với nhà vật lý và toán học người Hà Lan là Christiaan Huygens, lúc đó khả nổi ở Paris. Ngay sau khi đến Paris, Leibniz đã thức tỉnh; kiến thức của ông về toán và vật lý rất rời rạc. Với Huygens như là người hướng dẫn, ông bắt đầu một chương trình tự học mà không lâu sau đã đem lại kết quả là ông bắt đầu có những đóng góp lớn cho cả hai ngành đó, bao gồm cả việc đưa ra vi phân và nguyên hàm theo ý của ông.
 
Khi mọi việc rõ ràng rằng Pháp sẽ không thi hành kế hoạch về Ai Cập như là theo đề nghị của Leibniz, vị Tuyển hầu gửi cháu ông, tháp tùng bởi Leibniz, trong một nhiệm vụ liên quan tới nhà nước Anh ở London, đầu năm 1673. Nơi đó Leibniz đã làm quen với Henry Oldenburg và John Collins. Sau khi trình bày cho Hiệp hội Hoàng gia (Royal Society) một loại máy tính mà ông thiết kế và xây dựng từ năm 1670, loại máy đầu tiên có thể tính được 4 phép toán cơ bản, Hiệp hội đã phong ông làm thành viên nước ngoài. Chuyến đi đã kết thúc đột ngột khi tin về Tuyển hầu qua đời đưa tới, và Leibniz phải quay lại Paris ngay sau đó mà không phải Mainz như đã dự tính trước.
 
Cái chết đột ngột của hai nhà bảo trợ Leibniz trong cùng một mùa đông đồng nghĩa với việc Leibniz phải đi tìm một cơ sở mới cho sự nghiệp của ông. Về việc đó, một lời mời năm 1669 từ Công tước xứ Brunswick để ghé thăm Hanover đã được xem là bước ngoặt. Leibniz khước từ lời mời, nhưng bắt đầu liên lạc với vị Công tước năm 1671. Vào năm 1673, Công tước phong cho ông chức Cố vấn mà Leibniz miễn cưỡng chấp nhận 2 năm sau đó, chỉ sau khi mọi việc rõ ràng là không có việc làm ở Paris, nơi ông có những cảm hứng về khoa học, hay là với triều đình Hapsburg sắp tới.
 
Hoàng tộc Hannover 1676–1716
Leibniz trì hoãn chuyến đi đến Hannover cho tới cuối năm 1676, sau khi làm một chuyến đi ngắn tới London, nơi mà có lẽ ông đã được xem một số công trình chưa xuất bản của Newton về vi tích phân. Sự kiện này dường như đã ủng hộ những lời cáo buộc, xảy ra nhiều thập kỉ sau đó, rằng ông đã ăn cắp vi tích phân từ Newton. Trong chuyến đi từ London đến Hannover, Leibniz dừng lại ở Den Haag nơi ông đã gặp Leeuwenhoek, người đã khám phá ra vi sinh vật (microorganisms). Ông cũng trải qua vài ngày tranh luận hăng say với Spinoza, người vừa mới hoàn thành tác phẩm chính, Đạo đức. Leibniz kính trọng kiến thức của Spinoza, nhưng không hài lòng với những kết luận của ông mâu thuẫn với giáo lý Thiên chúa giáo.
 
Năm 1677, ông được thăng chức, theo yêu cầu của ông, lên chức Privy Counselor of Justice, một vị trí ông nắm giữ cho tới cuối đời. Leibniz đã phục vụ ba đời cai trị liên tiếp của hoàng tộc Brunswick như là sử gia, cố vấn chính trị, và sau hết, như là quản thư cho thư viện của công tước. Từ dạo đó ông đã sử dụng ngòi bút của mình trên tất cả các vấn đề khác nhau liên quan tới chính trị, lịch sử và thần học có liên quan tới Hoàng tộc Brunswick; các tài liệu đó làm thành một phần có giá trị đối với lịch sử trong giai đoạn đó.
 
Trong một vài người ở miền bắc nước Đức đón tiếp Leibniz nồng nhiệt là Nữ Tuyển hầu tước (Electress) Sophia xứ Hanover (1630–1714), con gái bà là Sophia Charlotte xứ Hanover (1668–1705), Hoàng hậu Phổ và đồ đệ trung thành của bà, và Caroline xứ Ansbach, người tình của cháu nội bà, vua George II tương lai. Đối với những người phụ nữ này ông vừa là bạn, cố vấn, và liên lạc viên. Đổi lại, họ nồng nhiệt với ông hơn là chồng của họ và cả vua trong tương lai George I của Anh[4]. Tỷ như Hoàng hậu Sophia Charlotte nước Phổ, bà thích đàm luận với Leibniz hơn hẳn bất kỳ một yến tiệc linh đình nào trong cung đình xa hoa của Vua Friedrich I khi đó.[5]
 
Dân số của Hannover chỉ vào khoảng 10.000, đã tầm vóc nhỏ bé của nó cuối cùng đã làm Leibniz không hài lòng. Tuy vậy, là một đại thần của Hoàng tộc Brunswick là một vinh dự, đặc biệt là uy tín của Hoàng tộc đó tăng đáng kể trong thời gian Leibniz liên hệ với họ. Vào năm 1692, Công tước của Brunswick trở thành Tuyển hầu theo thừa kế của Thánh chế La Mã. Bộ luật Hòa giải 1701 của Anh đã chỉ định Nữ tuyển hầu Sophia và con cháu của bà như là thành viên hoàng gia của Liên hiệp Anh, khi cả Vua William III và em dâu và cũng là người kế ngôi ông, Hoàng hậu Anne, qua đời. Leibniz đã đóng một vai trò trong việc đề ra và các thương lượng dẫn tới bộ luật đó, nhưng không luôn luôn mang lại hiệu quả. Chẳng hạn, một vài thứ ông xuất bản giấu tên ở Anh, nghĩ rằng sẽ đem lại lợi ích cho hoàng tộc Brunswick, bị kiểm duyệt chính thức bởi Quốc hội Anh.
 
Gia tộc Brunswick đã có những ưu đãi đáng kể với những công sức mà Leibniz dành cho những theo đuổi về khoa học mà không liên quan gì đến việc triều đình, những việc chẳng hạn như hoàn thiện vi tích phân, viết về những loại toán khác, logic, vật lý, và triết học, và trao đổi thư từ với rất nhiều người. Ông bắt đầu nghiên cứu về vi tích phân trong năm 1674; những chứng cứ sớm nhất là những bài toán ông sử dụng nó còn lại trong những cuốn sổ tay của ông năm 1675. Cho tới năm 1677 ông đã có một hệ thống hoàn thiện trong tay, nhưng không xuất bản nó cho tới năm 1684. Những bài báo về toán quan trọng nhất của ông được xuất bản trong giai đoạn 1682 và 1692, thường là trong tạp chí ông và Otto Mencke sáng lập năm 1682, tạp chí Acta Eruditorum. Tạp chí này đã đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao uy tín khoa học và toán học của ông, và hệ quả là nâng cao uy tín của ông trong ngoại giao, lịch sử, thần học và triết học.
 
Tuyển hầu Ernst August thuê Leibniz viết về lịch sử của Hoàng tộc Brunswick, truy ngược về thời gian của Charlemagne hay là xưa hơn nữa, hy vọng là cuốn sách khi hoàn thành sẽ đẩy mạnh thêm những tham vọng đế vương của ông ta. Từ 1687 đến 1690, Leibniz đi khắp nơi trong nước Đức, Áo và Ý, tìm kiếm những tư liệu cho công trình này. Nhiều thập kỉ trôi qua nhưng cuốn sách lịch sử không hề xuất hiện; vị Tuyển hầu kế tiếp khá bực mình với sự sao nhãng rõ rệt của Leibniz. Leibniz không bao giờ hoàn thành công trình này, một phần vì một số lượng lớn những công trình trên các lãnh vực khác nhau của ông được xuất bản, nhưng cũng một phần vì ông nhất định muốn viết một cuốn sách uyên bác dựa trên tài liệu được nghiên cứu kỹ lưỡng, trong khi những người tài trợ ông chỉ cần ông viết một cuốn sách nhỏ ở tầm mức phổ thông, một cuốn sách có lẽ là giống như gia phả với những lời bình luận, được hoàn thành trong ba năm hay ngắn hơn. Họ không biết rằng thật ra ông đã thi hành phần lớn những công việc mà ông được giao: khi các tư liệu mà Leibniz đã viết ra và sưu tầm về lịch sử của Hoàng tộc Brunswick cuối cùng cũng được xuất bản vào thế kỉ 19, nó gồm tới 3 tập.
 
Năm 1711, John Keill, viết trong tạp chí của Hội Hoàng gia (Royal Society) và với sự ủng hộ của Newton, đã cáo buộc Leibniz ăn cắp vi tích phân từ Newton. Do đó đã bắt đầu cuộc tranh cãi ai khám phá vi tích phân đầu tiên đã làm tối đi quãng đời còn lại của Leibniz. Một cuộc điều tra chính thức bởi Hội Hoàng gia (trong đó Newton là một người tham dự nhưng không công khai), đã diễn ra để đáp lại yêu cầu của Leibniz là Keill phải rút lại lời cáo buộc đó. Các nhà viết sử toán học từ 1900 trở đi đã thừa nhận Leibniz vô tội, chỉ ra những khác biệt quan trọng giữa hai phiên bản vi tích phân của Leibniz và Newton.
 
Năm 1711, trong khi du hành phía bắc châu Âu, Sa hoàng Peter Đại Đế (Nga) dừng chân ở Hannover và gặp Leibniz, và Leibniz bắt đầu tìm hiểu về số vấn đề liên quan tới Nga trong quãng đời còn lại của ông. Năm 1712, Leibniz bắt đầu cư trú tại Viên trong hai năm, nơi ông được bổ nhiệm làm cố vấn triều đình cho hoàng tộc Habsburg. Khi Hoàng hậu Anne qua đời năm 1714, Tuyển hầu Georg Ludwig trở thành Vua George I của Anh, dưới các điều khoản của Act of Settlement năm 1701. Mặc dù Leibniz đã làm rất nhiều để sự kiện này diễn ra, công lao to lớn của ông không được công nhận. Mặc cho sự can thiệp của Công chúa xứ Wales, Caroline của Ansbach, George I đã cấm Leibniz không được đi theo ông đến London cho đến khi ông hoàn thành ít nhất là một tập của cuốn sách viết về lịch sử của hoàng tộc Brunswick mà cha ông đã thuê Leibniz viết gần 30 năm trước đó. Hơn thế nữa, nếu George I mời cả Leibniz vào triều đình của ông ta ở London thì đó sẽ là một điều trêu chọc Newton, người được xem như đã chiến thắng trong cuộc tranh cãi ai phát minh ra vi tích phân trước và cũng là một người có địa vị cao trong hoàng tộc Anh. Cuối cùng, người bạn thân và cũng là người bảo vệ ông, Nữ Tuyển hầu tước Sophia, qua đời năm 1714.
 
Leibniz qua đời ở Hannover năm 1716: vào lúc đó, ông bị thất sủng cho đến nỗi mà cả George I (người tình cờ ở gần Hannover vào lúc đó) cũng như các quan trong triều nào đến dự đám tang của ông, chỉ có người thư ký riêng của ông dự tang. Mặc dù Leibniz là thành viên cả đời của Hiệp hội Hoàng gia Anh và của Viện hàn lâm khoa học Berlin, cả hai tổ chức đó đều không đứng ra tổ chức tang lễ cho ông. Mộ của ông không được đánh dấu trong hơn 50 năm. Leibniz được đọc điếu văn bởi Fontenelle, trước Viện Hàn lâm khoa học Pháp (Academie des Sciences) ở Paris, nơi đã công nhận ông là một thành viên nước ngoài vào năm 1700. Bản điếu văn được viết theo lệnh của nữ công tước của Orlean, cháu gái của Nữ Tuyển hầu Sophia.
 
Leibniz không bao giờ lập gia đình. Đôi lúc ông phàn nàn về tiền nong, nhưng khoản tiền không nhỏ mà ông để lại cho người thừa kế duy nhất của ông, con trai kế của em gái ông, chứng tỏ là hoàng tộc Brunswick đã trả lương ông khá hậu. Trong những cố gắng về ngoại giao, đôi khi ông đứng trên vùng ranh của những người không theo nguyên tắc nào cả, hành vi khá phổ biến của những nhà ngoại giao thời đó. Trong một vài lần, Leibniz sửa lại ngày tháng và thay đổi những ghi chép cá nhân, những hành động không thể được tha thứ hay bảo vệ và đã đặt ông vào tư thế bất lợi trong cuộc tranh cãi về vi tích phân. Mặt khác, ông khá nồng hậu và cư xử tốt, với nhiều bạn bè và nhiều người kính nể trên toàn châu Âu.
 
Được xem là một thiên tài,[6] Leibniz chủ yếu viết bằng ba thứ tiếng: Latin bác học (hơn 40%), Pháp (hơn 35%) và Đức (dưới 25%). Xuyên suốt cuộc đời mình, ông đã xuất bản nhiều cuốn sách nhỏ cũng như các bài viết học thuật, nhưng chỉ có hai cuốn sách tương đối triết lý là Combinatorial Art(Nghệ thuật kết hợp) vàThéodicée. (Ông xuất bản rất nhiều sách nhỏ, chủ yếu dưới dạng vô danh, trên danh nghĩa Quốc hội của Brunswick-Lüneburg, đáng chú ý nhất là cuốn "De jure suprematum" (tạm dịch là Tối cao pháp quyền), một tư tưởng về bản chất của tự trị). Vị Vua đa tài của nước Phổ là Friedrich II Đại Đế (chính là cháu nội của Hoàng hậu Sophie Charlotte bạn ông) đam mê đọc tác phẩm của ông.
Nguồn Wiki