WaduPunch

ĐK $< = > \frac{1}{ab} +\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Ta cần c/m: $\sum \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{bc}+1} \geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Đặt $\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ . Khi đó ta có: $xy+yz+zx=1$ và cần chứng minh: 

$\sum \frac{x}{yz+1}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Thật vậy; $\frac{x}{yz+1} + \frac{9}{16}x\left ( yz+1 \right )\geq 2\sqrt{\frac{x}{yz+1}.\frac{9}{16}x\left ( yz+1 \right )}=\frac{3}{2}x=>\frac{x}{yz+1} \geq \frac{15}{16}x -\frac{9}{16}xyz=>\sum \frac{x}{yz+1}\geq \frac{15}{16}\left ( x+y+z \right )-\frac{27}{16}xyz$

Mà $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 3\left ( xy+yz+zx \right )=3 =>x+y+z\geq \sqrt{3}$

Và $xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=>xyz\leq \frac{\sqrt{3}}{9}$

Vậy$\sum \frac{x}{yz+1}\geq \frac{15}{16}\sqrt{3}-\frac{27}{16}\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$=>đpcm

$\frac{AI}{IA'}=\frac{AB}{BA'}$ mà $\frac{BA'}{A'C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}= > \frac{BA'}{BC}=\frac{c}{c+b}= > BA' = \frac{ac}{c+b}$$= > \frac{AI}{IA'} = \frac{c}{\frac{ac}{c+b}}=\frac{b+c}{a}= > \frac{AI}{AA'}=\frac{b+c}{a+b+c}$ 

Ta cần chứng minh: $\frac{b+c}{a+b+c}.\frac{a+c}{a+b+c}.\frac{b+a}{a+b+c} \leq \frac{8}{27}< = > 27\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq 8\left ( a+b+c \right )^{3}< = > 27\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right ) \leq \left ( \left ( a+b \right )+\left ( b+c \right )+ \left ( c+a \right )\right )^{3}< = > 3\sqrt[3]{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\leq \left ( a+b \right )+\left ( b+c \right ) +\left ( c+a \right )$ ( BĐT Cô-si) $= >$ đpcm

ĐK: $x> 0$

Ta có: Đặt A =  $= \frac{81x^{2} + 18225x + 1}{9x} - \frac{6\sqrt{x}+8}{x+1}$ 

$= >$ A $= 9x +2025 +\frac{1}{9x} -\frac{6\sqrt{x}+8}{x+1}$

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cô-si cho hai số dương $9x$ và $\frac{1}{9x}$ ta có:

$9x+\frac{1}{9x}\geq 2\sqrt{9x.\frac{1}{9x}}= 2$

Mặt khác: $\frac{6\sqrt{x}+8}{x+1}\leq 9< = > 6\sqrt{x}+8\leq 9x+9< = > \left ( 3\sqrt{x} -1\right )^{2}\geq 0$ (Đúng)

$= >$ A $\geq 2+2025-9=2018$

Dấu "=" xảy ra $< = > x=\frac{1}{9}$

Giả sử $x\geq y = > x^{2} < x^{2} + y \leqslant x^{2}+x < x^{2} +2x+1= \left ( x+1 \right )^{2}$ 

$= > x^{2} + y$ không thể là số chính phương $= >$ Không tồn tại x, y thỏa mãn đề bài

Giả sử tồn tại n thoả mãn đề bài

Vì $n\geq 2 = > p\geq 5$ 

Mặt khác: Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n, ta có:

$3^n \equiv 2^{n} \left ( mod p \right )$

Tồn tại số nguyên a sao cho $\left ( 3a \right )^{n} \equiv \left ( 2a \right )^{n} \equiv 1 \left ( mod p\right )$

Gọi h là số tự nhiên nhỏ nhất để $\left ( 3a \right )^{h} \equiv 1 \left ( mod p \right )$

nên theo tính chất cấp số nguyên ta có

$n \vdots h$

Lại có: Áp dụng định lí Fermat nhỏ thì $\left ( 3a \right )^{p-1}\equiv 1\left ( mod p\right )$ (vì $p\geq 5$) nên theo tính chất cấp số nguyên ta cũng có 

$p-1 \vdots h = > h \leq p-1< p$ mà $n\vdots h$ và p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n $= > h= 1$ $= > \left ( 3a \right ) \equiv 1 \left ( mod p\right  )$ và $\left ( 2a \right )\equiv 1\left ( mod p\right )$ $= > a\vdots p = >$ Vô lí