WaduPunch

Câu 3.3: Đặt $\sqrt{x}=a (a \in [0;2])$ ta có 

$y=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{1+\sqrt{4-a^2}} \Rightarrow y'=\frac{(1+\frac{a}{\sqrt{a^2+4}})(1+\sqrt{4-a^2})+\frac{a}{\sqrt{4-a^2}}.(a+\sqrt{a^2+4})}{(1+\sqrt{4-a^2})^2}\geq0 \forall a\in [0;2] \Rightarrow $ y đống biến trên $[0;2]$ 

$y_{max}=2+2\sqrt{2}; y_{min}=\frac{2}{3}$ 

Dấu "=" xảy ra khi nào vậy bạn ???

Cho $ a,b,c > 0 $, chứng minh rằng 

$$ 1+\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 2\sqrt{1+\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}}. $$

Ta có: BĐT cần c/m $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 3+ 2(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})$

Đặt $(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})=(x;y;z) \Rightarrow xyz=1$

BĐT cần c/m $\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z\geq 3+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z} \Leftrightarrow (x+y+z)^2+2(x+y+z)\geq 3+ 4(xy+yz+zx)$

Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r=1$ ta có

BĐT cần c/m $p^2+2p\geq 3+4q \Leftrightarrow p^3-4pq \geq 3p-2p^2$

Áp dụng BĐT Schur ta có: $p^3-4pq+9r\geq0 \Leftrightarrow p^3-4pq\geq -9$

BĐT cần c/m $\Leftrightarrow -9\geq 3p-2p^2 \Leftrightarrow (p-3)(2p+3) \geq 0$ (Đúng do $p\geq3$)

$\Rightarrow$ ĐPCM

Bài 2: Không làm mất tính tổng quát giả sử $y=min(x,y,z)$

Ta có: ĐK $\Leftrightarrow (x+z-y)^2=4xz \Leftrightarrow x+z-y=2\sqrt{xz}$

Khi đó: $P=2\sqrt{xz}+2y + \frac{1}{2xyz}=\sqrt{xz}+\sqrt{xz}+2y + \frac{1}{2xyz} \geq 4\sqrt[4]{\sqrt{xz}.\sqrt{xz}.2y.\frac{1}{2xyz}}=4$ (BĐT AM-GM do $x, y, z > 0$ )

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow (x,y,z)=(2,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ và các hoán vị 

Ta có: ĐK $x>0$

PT  $\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}+1)\sqrt{x}=(x+1)\sqrt{x+1}\Leftrightarrow \frac{x+1}{\sqrt{x+2}-1}\sqrt{x}=(x+1)\sqrt{x+1}\Leftrightarrow \sqrt{x}=(\sqrt{x+2}-1)\sqrt{x+1}\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=\sqrt{(x+2)(x+1)}$

Đặt $\sqrt{x}=a,\sqrt{x+1}=b$ ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}\\ a^2-b^2=-1 \end{matrix}\right.$

Thì cái này là bpt đặc biệt mà e. BPT chỉ có 1 nghiệm thoi

Bài 2 dấu "=" xảy ra khi nào vậy bạn ??

anh lấy như thế nào để suy ra A được thế ạ.

Liên hợp là được nhé e

Ta có:$2+x\sqrt{x}\leq2x+\sqrt{2-x} \Leftrightarrow 2x\sqrt{x} -(3x-1)+(3-x)-2\sqrt{2-x} \leq 0<=>(x-1)^2.A\leq0$ với $A=\frac{4x-1}{2x\sqrt{x}+3x-1}+\frac{1}{3-x+2\sqrt{2-x}}$

Xét 2 TH $x\geq \frac{1}{4}$ và $x\leq \frac{1}{4}$ ta suy ra được $ A \geq 0$ nên $x=1$

Câu 2: Ta có:Đặt $u_1=a-\frac{1}{a}$. Khi đó

$u_2=(a-\frac{1}{a})^3+3(a-\frac{1}{a})=a^3-\frac{1}{a^3} \Rightarrow u_n=a^{3^{n-1}} -\frac{1}{a^{3^{n-1}}}$

giải thích với bạn ơi @@ hơi khó hiểu :3 

Ở dấu $"\leq "$ đầu tiên ta dùng BĐT $B.C.S$

Ta có: $f(x)=\sqrt{x-1}+x^{2}-2x$ đồng biến trên $[1;+\infty)$

Nên trên $[2;5]$ thì $min f(x)=f(2)=1; max f(x)=f(5)=17$

Ta có: BĐT cần cm $<=>5(a+b)^2+7ab+\frac{519}{27}-27(a+b)\geq 0$

Thật vậy: 

$5(a+b)^2+7ab+\frac{519}{27}-27(a+b)\geq 5(a+b)^2-27(a+b)+7.\frac{3}{2}+\frac{519}{27}\geq 5(a+b)^2-27(a+b)+\frac{729}{20}=5(a+b+\frac{27}{10})^2\geq 0$

Dấu $"="$ xảy ra $<=> x= \frac{27+\sqrt{129}}{20}; y= \frac{27-\sqrt{129}}{20}$ và ngược lại

Bài 1:$\sum \frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}=\sum \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{(2x^2+y^2+3)(2+1+3)}}\leq\sum \frac{\sqrt{6}}{2x+y+3}=\frac{\sqrt{6}}{36}\sum\frac{36}{x+x+y+1+1+1}\leq\frac{\sqrt{6}}{36}\sum(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+3)=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Dấu $"="$ $<=> x=y=z=1$

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ $; a,b,c \in \left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \right \}; a\neq 0$

TH1: a=5 ta có: Số cách chọn b là 7 cách

                          Số cách chọn c là 6 cách

TH2: b=5 ta có: Số cách chọn a là 6 cách

                          Số cách chọn c là 6 cách

TH3: c=5 ta có: Số cách chọn a là 6 cách

                          Số cách chọn c là 6 cách

Vậy tổng số số là $7.6+6.6+6.6=114$