WaduPunch

Sau khi thảo luận với Sin99, mình quyết định bổ sung MỘT SỐ QUY ĐỊNH CỦA TOPIC NHƯ SAU:

++ Các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài, thay vào đó đề xuất một bài toán mới hoặc lời giải thứ 2 của một bài toán nào đó.

++ Sau khi lời giải của một bài toán nào đó được đưa ra thì bất kì lời giải nào giống với lời giải trước đều sẽ bị xóa, tránh làm loãng Topic.

++ TUYỆT ĐỐI KHÔNG SPAM LÀM LOÃNG TOPIC

Mình rất mong sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn

-WaduPunch-

Lời giả của Syndycate rất hay. Anh xin đưa ra Lời giải thứ 2 của Bài 15

Theo bài ra thì BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c+1\geq 3abc \Leftrightarrow (c+1)(a+b+1)+ab(1-3c)\geq 0$

Mà $a+b+c=6$ nên $\Leftrightarrow (c+1)(7-c)+ab(1-3c)\geq 0$

Lại có: Do $a\leq 1; b\leq 2 \Rightarrow c \geq 3 \Rightarrow 1-3c \leq 0$

Và $ab=\frac{1}{2}.2a.b\leq\frac{1}{8}(2a+b)^2\leq\frac{1}{8}(1+a+b)^2=\frac{(7-c)^2}{8}$

Nên ta cần chứng minh: $(c+1)(7-c)+\frac{1}{8}(7-c)^2(1-3c)\geq 0\Leftrightarrow (7-c)(c-3)(3c-5)\geq 0$ (BĐT ĐÚNG do $3\leq c \leq 6$)

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=1,b=2,c=3$

P/s: Mãi mới được làm chứ anh ngứa tay lắm r       . Bạn nào có lời giả thứ 2 của bài toán cũng nên post lên để mọi người học hỏi nhé. 

Cảm ơn tthnew. Mình cũng xin  đề xuất một số bài như sau

$\boxed{\text{Bài 19}}$ Cho các số thực $m,n,p$ thỏa mãn $n^2 +p^2 - 2np = 1 - \dfrac{3m^{2}}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$ S=m+n+p $$

$\boxed{\text{Bài 20}}$ Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $2a^{2}+b^{2}\leq 3c^{2}$. Chứng minh rằng

$$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{3}{c}.$$

$\boxed{\text{Bài 21}}$ Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$$\frac{8}{(a+b)^2+4abc}+\frac{8}{(b+c)^2+4abc}+\frac{8}{(c+a)^2+4abc}+a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}$$

$\boxed{\text{Bài 22}}$ Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$ và $xy+yz+zx\neq 0$. Chứng minh rằng

$$\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\leq \frac{25}{3\sqrt[3]{4(xy+yz+zx)}}.$$

$\boxed{\text{Bài 23}}$ Cho các số $x,y,z$ thỏa mãn $0<x<y<z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\frac{x^3z}{y^2(xz+y^2)}+\frac{y^4}{z^2(xz+y^2)}+\frac{z^3+15x^3}{x^2z}$$

P/s: Em mong các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài, thay vào đó đề xuất một bài toán mới hoặc lời giải thứ 2 của một bài toán nào đó.

Mình gửi bài lên vì chưa bt cách làm, mong bạn giải cho tiết cho

Ta có: Nếu $A(x_A,y_A);B(x_B,y_B)$ thì $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$

Ta thấy $\overrightarrow{HA}=\frac{5}{2}\overrightarrow{HK}\Leftrightarrow (x_A-1;y_A-2)=\frac{5}{2}(-2,1)\Rightarrow A(-4;\frac{9}{2})$

Cách giải chỉ dùng pp vecto thoi ạ

Mọi người giải cho mình bằng phương pháp điểm rơi và giangcách tìm điểm rơi hộ được không ạ, mình cảm ơn trước 

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT $C-S$ ta có: $(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$

b) Áp dụng BĐT $C-S$ ta có: $(1+1+\frac{1}{3})(x^2+y^2+3z^2) \geq (x+y+z)^2$

c) Áp dụng BĐT $C-S$ ta có: $(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})(x^2+2y^2+3z^2) \geq (x+y+z)^2$

Mình xin đề xuất thêm 1 số bài nữa.

$\boxed{\text{Bài 12}}$ Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng 

$$\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\leq \frac{1}{2}$$

$\boxed{\text{Bài 13}}$ Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng 

$$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+\frac{\sqrt{c^2+b^2}}{a}+\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{b}\geq 2\left ( \frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}} +\frac{b}{\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right )$$

$\boxed{\text{Bài 14}}$ Cho số thực$x$ thỏa mãn $1\leq x \leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

$$T=\frac{3+x}{x}+\frac{6-x}{3-x}$$

$\boxed{\text{Bài 15}}$ Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a \leq 1, b \leq 2$ và $a+b+c=6$. Chứng minh rằng

$$(a+1)(b+1)(c+1)\geq 4abc$$

$\boxed{\text{Bài 16}}$ Cho dãy số thực $x_{1}\leq x_{2}\leq ...\leq x_{2016}$ thỏa mãn $\begin{cases} x_{1}+x_{2}+...+x_{2016} & =0\\ \left | x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |+...+\left | x_{2016} \right | & =2017 \end{cases}.$

Chứng minh rằng

$$x_{2016}-x_{1}\geq \frac{2017}{1008}$$

$\boxed{\text{Bài 17}}$ Cho $x,y >1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$$P=\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$$

CHÚ Ý: Các bạn nên đọc rõ nội quy của TOPIC và tuyệt đối không spam làm loãng TOPIC.

Tại sao lại như vậy hả bạn ơi?

giải thích hộ mình được k ạ, mình nghĩ HK=1/3HA chứ nhỉ

K bạn à dùng Thales thì $\frac{HK}{KA}=\frac{2}{3}$

Tìm tọa độ $A$ hình chữ nhật $ABCD$  biết diện tích hình là $\frac{33}{4}$. $H(1;2)$ với $\overrightarrow{BH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$, $K(-1;3)$ với $K$ là giao điểm của $AH,BD$

Ta thấy $\overrightarrow{HA}=\frac{5}{2}\overrightarrow{HK}\Leftrightarrow (x_A-1;y_A-2)=\frac{5}{2}(-2,1)\Rightarrow A(-4;\frac{9}{2})$

Bài 8

$\sum \frac{x}{y^3+16}=\sum \frac{x}{16}-\sum \frac{xy^3}{16(y^3+16)}\geq 3/16-\sum \frac{xy^3}{16.(y^3+8+8)}\geq \sum 3/16-\frac{\sum xy^2}{16.12}(cauchy-3so)$

Có:

$(y-x)(y-z)\leq 0=>y^2+xz\leq xy+yz=>xy^2+yz^2+zx^2\leq x^2y+xyz+yz^2=y(x^2+xz+z^2)\leq y(x+z)^2\leq \frac{8(x+y+z)^3}{27.2}=4$

$=>P\geq \frac{3}{16}-\frac{4}{16.12}=\frac{1}{6}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=0, y=1, z=2$ và các hoán vị

 

Bài 8 có sắp xếp cụ thể r nhé bạn nên k cần giả sử nữa đâu.

1.Cho a,b,c dương sao cho abc=1, cmr
$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$

 

2.Cho a,b,c dương cmr $\frac{b}{a+2b}+\frac{c}{b+2c}+\frac{a}{c+2a}\leq 1$

Ta thấy 2 bài này cùng 1 dạng. Với bài 2 ta có: $L.H.S=\frac{1}{\frac{a}{b}+2}+\frac{1}{\frac{b}{c}+2}+\frac{1}{\frac{c}{a}+2}$

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z \Rightarrow xyz=1$ ta cần chứng minh:

$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\leq 1\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq3$ (BĐT ĐÚNG do $xyz=1$)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Mình xin bổ sung thêm một vài bài để các bạn luyên tập 

$\boxed{\text{Bài 6}}$ Cho $a,b,c,d,e >0$ .Chứng minh bất đẳng thức sau: 

$$625(a^5 +32b^5+c^5+1024d^5 +e^5) \geq (a+2b+c+4d+e)^5$$

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $ 0<a \leq b \leq c$, Chứng minh rằng

$$(a+3b)(b+4c)(c+2a) \geq 60abc$$

$\boxed{\text{Bài 8}}$ Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq y\leq z\\ x+y+z=3 \end{matrix}\right.$

Tìm Min: $$P=\frac{x}{y^3+16}+\frac{y}{z^3+16}+\frac{z}{x^3+16}$$

$\boxed{\text{Bài 9}}$ Cho $m,n$ là 2 số tự nhiên sao cho$\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0$

Chứng minh rằng $\sqrt{7}n-m>\frac{1}{m}$

CHÚ Ý: Các bạn nên đọc rõ nội quy của TOPIC và tuyệt đối không spam làm loãng TOPIC.

Tính GTBT:  $P=\frac{4(x+1)x^{2018}-2x^{2017}+2x+1}{2x^{2}+3x}$ tại x=$\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}$

lời giải:

Vì x=$\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ nên x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ là nghiệm của đa thức $2x^{2}+2x-1$ mình không hiểu là vì sao luôn á????? ai giải thích dùm cái huhu

Ta có: $x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\Leftrightarrow 2x+1=\sqrt{3}\Leftrightarrow 4x^2+4x+1=3\Leftrightarrow 2x^2+2x-1=0$

Sau đây là các bài tập khởi động:

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b$ thì

$$\frac{a^4+b^4}{2}\geq(\frac{a+b}{2})^4$$

Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi nào

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh

$$ab+bc+ca\leq a^2+ b^2+c^2 \leq 2(ab+bc+ca)$$

$\boxed{\text{Bài 3}}$ Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $4c+2b \geq a(b^2+c^2)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$ S =\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c} $$

$\boxed{\text{Bài 4}}$ Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác và $x,y,z$ là ba số thực thỏa mãn 

$$ax+by+cz+a+b+c=0$$

Chứng minh rằng

$$xy+yz+zx+2x+2y+2z+3\leq 0$$

$\boxed{\text{Bài 5}}$ Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=6$. Chứng minh rằng

$$x^2+y^2+z^2-xy-xz-zx+xyz\geq8$$

Chào tất cả mọi người, mình là WaduPunch  .Các bạn học sinh lớp 9 đang chuẩn bị cho kì thi HSG Tỉnh, kì thi THPT và khó khăn nhất chính là kì thi chuyên Toán. Chúng ta cần ôn tập và nâng cao kiến thức để có một hành trang thật tốt trước khi "ra trận".

Sau khi thảo luận với Sin99 , mình quyết định lập topic về bất đẳng thức này.

Nội quy của TOPIC như sau: 

++ Không spam, làm loãng TOPIC.

++ Sau khi đề xuất các bài toán, nếu sau 1 ngày mà không có ai trả lời, người đề xuất bài toán cần phải đưa ra lời giải.

++ Mình mong các bạn giải bài Toán sẽ trình bày bài toán đầy đủ một chút, thuận tiện cho việc hiểu bài.

++ Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác.

++ Lời giải ưu tiên gọn nhẹ, sáng tạo phù hợp với THCS (Hạn chế sử dụng các công cụ của bậc THPT như đạo hàm,...).

Các bài toán đã được giải sẽ được tô màu đỏ. Các bạn chú ý nhé   

Mong các bạn chấp hành đúng nội quy của TOPIC. Mình mong sẽ nhận được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn   

-WaduPunch-