Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


WaduPunch

Đăng ký: 02-08-2018
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 18:19
*****

#739941 Min $P= \frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^...

Gửi bởi WaduPunch trong 23-09-2020 - 00:26

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P= \frac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}}{45-(ab+bc+ca)^2}$$




#733953 Cho a;b là các số thực dương thỏa mãn a+b=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu th...

Gửi bởi WaduPunch trong 21-04-2020 - 16:39

Đề trong sách nó ghi vậy đó bạn. Bạn cứ làm theo điều kiện không âm vậy đi

Ta có 

Vì $a,b \geq 0$ và $a+b=2$ nên $0 \leq a,b \leq 2$

Khi đó $ a^2(a-2) \leq 0 \Leftrightarrow a^3 \leq 2a^2$

Chứng minh tương tự rồi lắp vào là oke




#733350 [TOPIC] ÔN THI HÌNH HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ...

Gửi bởi WaduPunch trong 10-04-2020 - 22:37

Anh xin góp cho TOPIC 1 bài

$\boxed{\text{Bài 110}}$ Cho $ABCD$ là tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tứ giác. Đường thẳng qua $I$, song song với $AB$ cắt $AD$ và $BC$ tại $H$ và $K$. Chứng minh rằng độ dài $HK$ bằng một phần tư chu vi tứ giác $ABCD$




#733270 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH $ \boxed{\t...

Gửi bởi WaduPunch trong 09-04-2020 - 23:17

Anh xin góp vui cho TOPIC vài bài

$\boxed{\text{Bài 16}}$ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} (x+1)(y+1)=10\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{xy}+1)=3 \end{matrix}\right.$$

$\boxed{\text{Bài 17}}$ Cho $x,y \in Q$ .Giải phương trình

$$\sqrt{x}-3\sqrt{y}=\sqrt{2-\sqrt{3}}$$

$\boxed{\text{Bài 18}}$ Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x^3+x^2y=3(2x-y)\\ xy+y^2=3 \end{matrix}\right.$$

$\boxed{\text{Bài 19}}$ Giải phương trình

$$\sqrt[3]{x^3+5x^2}-1=\sqrt{\frac{5x^2-2}{6}}$$
$\boxed{\text{Bài 20}}$ Giải phương trình

$$(x+1)(x+3)=5\sqrt{5x+11}$$

$\boxed{\text{Bài 21}}$ Giải phương trình

$$x^2+x+6=(2x+3)\sqrt{2x^2+10x+4}$$

$\boxed{\text{Bài 22}}$ Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x-2\sqrt{y+1}=3\\ x^3-4x^2\sqrt{y+1}-9x-8y=-52-4xy \end{matrix}\right.$$

$\boxed{\text{Bài 23}}$ Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x-2y=\sqrt{3y}-\sqrt{x+y}\\ 4x^2y^2-10x^2y+8x^2-10x+4=0 \end{matrix}\right.$$

$\boxed{\text{Bài 24}}$ Giải phương trình

$$\sqrt{x}+1+\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=x+\sqrt{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+3 \right)}$$




#733150 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH $ \boxed{\t...

Gửi bởi WaduPunch trong 08-04-2020 - 13:38

Anh xin góp cho TOPIC một vài bài

$\boxed{\text{Bài 7}}$ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} 2x^3 +y^3=3 \\ x(y^2+xy+9)=3x^2+8 \end{matrix}\right.$$

$\boxed{\text{Bài 8}}$ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} x^3+3xy^2=-49 \\ x^2-8xy+y^2=8y-17x \end{matrix}\right.$$

$\boxed{\text{Bài 9}}$ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} 8(x^2+y^2)+4xy+\frac{5}{(x+y)^2}=13 \\ 2x + \frac{1}{x+y}=1 \end{matrix}\right.$$

$\boxed{\text{Bài 10}}$ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} x^2(y+z)^2=(3x^2+x+1)y^2z^2 \\ y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2 \\  z^2(x+y)^2 = (5z^2+z+1)x^2y^2 \end{matrix}\right.$$

$\boxed{\text{Bài 11}}$ Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} x(y+1)^2=y^2+5 \\ y(z+3)^2=2(z^2+27) \\ z(x+1)^2=3(x^2+3) \end{matrix}\right.$$




#732124 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi WaduPunch trong 22-03-2020 - 17:33

Anh xin đề xuất một bài toán

$\boxed{\text{Bài 215}}$ Cho $x,y,z \geq 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$$P=x^2y+y^2z+z^2x$$




#731842 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi WaduPunch trong 15-03-2020 - 19:58

Chào tất cả mọi người, mình là WaduPunch :D .Các bạn học sinh lớp 9 đang chuẩn bị cho kì thi HSG Tỉnh, kì thi THPT và khó khăn nhất chính là kì thi chuyên Toán. Chúng ta cần ôn tập và nâng cao kiến thức để có một hành trang thật tốt trước khi "ra trận".

Sau khi thảo luận với Sin99 , mình quyết định lập topic về bất đẳng thức này.

 

Nội quy của TOPIC như sau: 

++ Không spam, làm loãng TOPIC.
++ Sau khi đề xuất các bài toán, nếu sau 1 ngày mà không có ai trả lời, người đề xuất bài toán cần phải đưa ra lời giải.

++ Mình mong các bạn giải bài Toán sẽ trình bày bài toán đầy đủ một chút, thuận tiện cho việc hiểu bài.
++ Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác.

++ Lời giải ưu tiên gọn nhẹ, sáng tạo phù hợp với THCS (Hạn chế sử dụng các công cụ của bậc THPT như đạo hàm,...).
++ Các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài, thay vào đó đề xuất một bài toán mới hoặc lời giải thứ 2 của một bài toán nào đó.

++ Sau khi lời giải của một bài toán nào đó được đưa ra thì bất kì lời giải nào giống với lời giải trước đều sẽ bị xóa, tránh làm loãng TOPIC.

++ Các bài giài đều phải trích dẫn đề bài để mọi người dễ đọc dễ hiểu 

 

Các bài toán đã được giải sẽ được tô màu đỏ. Các bạn chú ý nhé  :D 

Mong các bạn chấp hành đúng nội quy của TOPIC. Mình mong sẽ nhận được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn  :D 

-WaduPunch-

Mong các bạn đọc rõ Nội quy của TOPIC  :excl:  :excl:  :excl: 

Các bạn không nên đưa ra đánh giá cho lời giải của người khác như kiểu:" Bài này sao lại dùng cái này"; "Sao bài kia lại dùng cái nọ"; "Có cách khác hay hơn mà";.....thay vào đó các bạn có thể đưa ra lời giải khác của bài toán đó. Mong các bạn chú ý hơn!!!

 

-WaduPunch-




#731769 [TOPIC] ÔN THI HÌNH HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ...

Gửi bởi WaduPunch trong 14-03-2020 - 15:53

Chú ý:

++ Các bạn gửi bài để xuất nên đánh số thứ tự cho đúng.

++ Bạn nào chưa biết đánh Latex thì có thể xem thêm ở đây

++ Bạn nào chưa biết vẽ hình thì có thể xem thêm ở đây

++ Các bạn sau khi đăng bài, nếu bài toán đã có lời giải thì không nên xóa bài viết (Vì TOPIC là nơi để mọi người thảo luận chứ không phải chỉ là nơi để hỏi bài)

++ Khi giả bài thì các bạn nên trích dẫn đầu đề để người đọc có thể dễ theo dõi

++ Nghiêm cấm SPAM dưới mọi hình thức, tránh làm loãng TOPIC




#731316 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi WaduPunch trong 05-03-2020 - 16:34

Anh xin đề xuất một bài

$\boxed{\text{Bài 157}}$ Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$P=\frac{abc(a+b+c)^3+27}{(a+b+c+3abc)^2}$$




#731283 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi WaduPunch trong 05-03-2020 - 00:44

$\boxed{\text{Bài 118}}$  Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+1=z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+xz}+\frac{z^3}{z+xy}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$$

Mấy hôm nay đi học bận quá, nay anh mới lên giải bài được

Ta có:

$\frac{x^3}{x+yz}=\frac{x^3}{z-1-y+yz}=\frac{x^3}{(z-1)(y+1)}+\frac{z-1}{16}+\frac{y+1}{32}-\frac{2z+y-1}{32}\geq \frac{3}{8}x-\frac{2z+y-1}{32}$

Tương tự $\Rightarrow \frac{x^3}{x+yz}+\frac{y^3}{y+zx}+\frac{z^3}{z+xy}\geq \frac{189}{64}z-\frac{143}{64}$ ( Do $x+y+1=z$ )

Lại có: $\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}=\frac{28}{(z+1).2\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \frac{28}{(z+1)^2}$

$\Rightarrow P \geq \frac{189}{64}z-\frac{143}{64}+\frac{28}{(z+1)^2}=\frac{189}{128}(z+1)+\frac{189}{128}(z+1)+\frac{28}{(z+1)^2}-\frac{83}{16}\geq \frac{189}{16}-\frac{83}{16}=\frac{53}{8}$

Vậy $P_{min}=\frac{53}{8}$ 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{3};z=\frac{5}{3}$




#730906 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi WaduPunch trong 26-02-2020 - 11:12

Anh xin đề xuất thêm 1 vài bài để các bạn luyện tập

$\boxed{\text{Bài 101}}$ Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng 

$$a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$$

$\boxed{\text{Bài 102}}$ Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Chứng minh rằng

$$\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xyz}\geq 30$$

$\boxed{\text{Bài 103}}$ Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng

$$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$$




#730891 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi WaduPunch trong 25-02-2020 - 22:37

Anh xin đặt cột mốc 100 bài cho TOPIC

$\boxed{\text{Bài 99}}$ Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c}{a+b+c^2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2+a}{b+c+a^2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2+b}{c+a+b^2}}\geq 3$$

$\boxed{\text{Bài 100}}$ Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}\leq 1$$




#730887 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi WaduPunch trong 25-02-2020 - 21:48

$\boxed{\text{Bài 86}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

 

$\boxed{\text{Bài 88}}$ Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z+xyz=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$P=(1+\frac{x}{y}+zx)(1+\frac{y}{z}+xy)(1+\frac{z}{x}+yz)$$

$\boxed{\text{Bài 91}}$ Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\geq3\sqrt[3]{2}$$

Sau một vài ngày không ai đưa ra lời giải, anh xin đưa ra lời giải Bài 86, Bài 88, Bài 91

Bài 86:

Ta có:$1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \geq a^2+b^2+c^2 \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+c^2} \leq 1$

Và $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\geq \frac{1}{9} \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{1}{3}$

Khi đó: $\Rightarrow (3\sqrt{a^2+b^2+c^2}-1)(\sqrt{a^2+b^2+c^2}-1)\leq 0\Rightarrow 2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)+1}{2}$

$\Rightarrow M \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)+1}{2}+3(ab+bc+ca)=2$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(1,0,0)$ và các hoán vị

 

Bài 88:

Cách 1:

Ta có: $P=\frac{(y+x+xyz)(y+z+xyz)(z+x+xyz)}{xyz}=\frac{(4-x)(4-y)(4-z)}{xyz}$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{(4-x)(4-y)(4-z)}{xyz}\geq 27\Leftrightarrow 16-4(x+y+z)+(xy+yz+zx)\geq 7xyz$

Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$ ta có:ĐK $\Rightarrow p+r=4$

BĐT cần chứng minh $\Rightarrow 16-4p+q\geq 7r\Leftrightarrow q\geq 3r$

Mặt khác: $p=4-r\geq 4-\frac{p^3}{27}\Leftrightarrow (p-3)(p^2+3p+36)\geq 0 \Leftrightarrow p\geq 3 \Leftrightarrow r\leq 1\Leftrightarrow p\geq 3r$

Mà $q^2 \geq 3pr\geq 9r^2\Leftrightarrow q\geq 3r$ $\square$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Cách 2: 

Ta có: $P=(x+y+z+xyz)(x+y+z+xyz+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-1=4(4+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-1$

Lại có: $4=x+y+z+xyz\geq 3\sqrt[3]{xyz}+xyz\Leftrightarrow xyz\leq 1$

Do đó: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=3\Rightarrow P \geq 27$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

Bài 91: 

Ta có: ĐK $\Leftrightarrow (x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1) =(x+1)(y+1)(z+1)$

Đặt $\frac{1}{x+1}=a;\frac{1}{y+1}=b;\frac{1}{z+1}=c$ ta có: ĐK $\Rightarrow a+b+c=1$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{1-a}{a}}+\sqrt[3]{\frac{1-b}{b}}+\sqrt[3]{\frac{1-c}{c}}\geq 3\sqrt[3]{2}\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{b+c}{2a}}+\sqrt[3]{\frac{c+a}{2b}}+\sqrt[3]{\frac{b+a}{2c}}\geq 3$ 

Mặt khác: $\frac{3(b+c)}{3\sqrt[3]{2a(b+c)(b+c)}}\geq \frac{3(b+c)}{2a+2b+2c}$

Chứng minh tương tự rồi cộng vế các BĐT cùng chiều ta có ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$




#730835 giải hpt

Gửi bởi WaduPunch trong 24-02-2020 - 22:00

Giải hpt:

$\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{4}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y}}-1 & & \\ y+\frac{1}{\sqrt{y}}=2\sqrt{xy+y} & & \end{matrix}\right.$

Ta có:Đặt $\sqrt{x+1}=a;\sqrt{y}=b;a,b\geq0$ ta có:

$HPT \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a^2+\frac{1}{a}=\frac{4}{a+b}\\ b^2+\frac{1}{b}=2ab \end{matrix}\right.\Rightarrow\frac{4}{a+b}+2ab=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a^2+b^2\geq\frac{4}{a+b}+2ab$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b$

Đến đây thì dễ r

 

P\s: TOPIC về HPT-PT thì khoảng đầu tháng 4 anh sẽ lập nhé




#730828 [TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUY...

Gửi bởi WaduPunch trong 24-02-2020 - 20:45

Anh xin đề xuất thêm một số bài để các bạn luyện tập nhé!!!

$\boxed{\text{Bài 88}}$ Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z+xyz=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$P=(1+\frac{x}{y}+zx)(1+\frac{y}{z}+xy)(1+\frac{z}{x}+yz)$$

$\boxed{\text{Bài 89}}$ Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{x^4}{x^3+y^2+z^2}+\frac{y^4}{y^3+z^2+x^2}+\frac{z^4}{z^3+x^2+y^2}\geq \frac{1}{7}$$

$\boxed{\text{Bài 90}}$ Cho $m,n$ dương, $m<3n$. Chứng minh với mọi $a,b,c$ dương ta có:

$$mabc(a+b+c)+n(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\geq\sqrt{3}(m+3n)abc\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

$\boxed{\text{Bài 91}}$ Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\geq3\sqrt[3]{2}$$