Quang Kien

Câu 4:

Sử dụng bổ đề quen thuộc:

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$$

Quy bài toán về chứng minh:

$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \frac{9}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} $$

$$\ge\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\frac{{\sqrt {ab + bc + ca} }}{{\sqrt 3 }}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$

$$=\frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}}  + \frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}}  + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$

$$\ge \dfrac{9}{2}$$

Hoàn tất chứng minh.

bạn có thể hướng dẫn mình chứng minh bổ đề không ?