Câu 4:
Sử dụng bổ đề quen thuộc:
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$$
Quy bài toán về chứng minh:
$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \frac{9}{2}$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} $$
$$\ge\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\frac{{\sqrt {ab + bc + ca} }}{{\sqrt 3 }}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$
$$=\frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}} + \frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$
$$\ge \dfrac{9}{2}$$
Hoàn tất chứng minh.
bạn có thể hướng dẫn mình chứng minh bổ đề không ?